1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (844203)
Текст из файла
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÀ. Â. ÂîéòèøåêÎÑÍÎÂÛ ÌÅÒÎÄÀ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎÓ÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê2010ÁÁÊ Â193.3ÿ 731ÓÄÊ 519.676 654Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî: Ó÷åá. ïîñîáèå /Íîâîñèá. ãîñ. óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2010. 108 c.ISBNÄàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïóáëèêóåòñÿ â ðàìêàõ ¾Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ-ÍÃÓ¿ (íàïðàâëåíèå ¾Ìàòåìàòèêà, ôóíäàìåíòàëüíûå îñíîâûèíôîðìàòèêè è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè¿). Ïðè ýòîì àâòîð èñïîëüçîâàë ìíîãîëåòíèé îïûò ïðåïîäàâàíèÿ îñíîâ òåîðèè ÷èñëåííîãîñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì è ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ ÍÃÓ.
Èçäàíèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ êðàòêîãî êóðñà (ñåìü ëåêöèé è ñåìü ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé) äëÿ ìàãèñòðàíòîâ âóçîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîôèëÿ. Ïîìèìî êîíñïåêòèâíîãî èçëîæåíèÿ ëåêöèé ïîñîáèå ñîäåðæèò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷, à òàêæå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî îðãàíèçàöèè çàíÿòèé. Êðîìåòîãî, ñôîðìóëèðîâàíî òâîð÷åñêîå äîìàøíåå çàäàíèå è ïîäðîáíî ðàçîáðàíû âîçìîæíûå òåõíîëîãèè åãî âûïîëíåíèÿ. Ðàáîòà íàä ïîñîáèåìâûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 100100040à,090100035à) è Ïðåçèäåíòñêîé ïðîãðàììû ¾Âåäóùèå íàó÷íûå øêîëû¿.Ðåöåíçåíòêàíä. ôèç.ìàò. íàóê È. À. ØàëèìîâàISBNc Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2010ÏðåäèñëîâèåÑ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè âîçðàñòàåò èíòåðåñ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, â ÷àñòíîñòè ê ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ (èëè ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî) (ñì., íàïðèìåð, [1],à òàêæå ñïèñîê ëèòåðàòóðû â ýòîì ó÷åáíèêå).
Èñòîðè÷åñêè èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå òåîðèè è ïðèëîæåíèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áûëî ñâÿçàíîñ ðåøåíèåì àêòóàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â 50-õ ãã. XXñòîëåòèÿ. Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà ñôåðà ïðèìåíèìîñòè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëàñü. Ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íà îñíîâå êîòîðîé ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûåñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè.
Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàçðàáîòàíû òàêæå âñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå (ìåòîä Ìåòðîïîëèñà, ñõåìà Èçèíãà), â ôèçè÷åñêîé è õèìè÷åñêîé êèíåòèêå (ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è, ðåøåíèå óðàâíåíèé Áîëüöìàíà è Ñìîëóõîâñêîãî, ìîäåëèðîâàíèå ðåàêöèé è ôàçîâûõïåðåõîäîâ), â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, â òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, â ìàòåìàòè÷åñêîé áèîëîãèè è äð.Ïðè ðàçðàáîòêå äàííîãî ïîñîáèÿ, ðåàëèçîâàííîé â ðàìêàõ ¾Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ-ÍÃÓ¿ (íàïðàâëåíèå ¾Ìàòåìàòèêà, ôóíäàìåíòàëüíûå îñíîâû èíôîðìàòèêè è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè¿), àâòîðèñïîëüçîâàë ìíîãîëåòíèé îïûò ïðåïîäàâàíèÿ îñíîâ òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì è ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.Äëÿ îñâîåíèÿ êóðñà òðåáóþòñÿ ýëåìåíòàðíûå çíàíèÿ èç êóðñîâ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (ñì., íàïðèìåð, [2, 3]).Äàííîå èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîðàáîòàííóþ âåðñèþ ïîñîáèÿ[4].
Ñëåäóåò îñîáî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî èçó÷åíèÿ òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ó÷åáíèê [1] è ñîïóòñòâóþùèå ìîíîãðàôèè (ïðåäñòàâëåííûå âñïèñêå ëèòåðàòóðû â [1]). Îñîáåííîñòüþ äàííîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ òî,÷òî ïîìèìî êîíñïåêòèâíîãî èçëîæåíèÿ ëåêöèé îíî ñîäåðæèò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷, à òàêæå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî îðãàíèçàöèè çàíÿòèé (ñì.
ïðèë. 4) è èòîãîâîãî ýêçàìåíà (ñì. ïðèë. 2).Êðîìå òîãî, ñôîðìóëèðîâàíî òâîð÷åñêîå äîìàøíåå çàäàíèå è ïîäðîáíîðàçîáðàíû âîçìîæíûå òåõíîëîãèè åãî âûïîëíåíèÿ (ñì. ïðèë. 3).31. Âû÷èñëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èäèñïåðñèè ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî1.1. Îáùàÿ ñõåìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Ïîä ÷èñëåííûì ñòàòèñòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì îáû÷íî ïîíèìàþò ðåàëèçàöèþ ñ ïîìîùüþêîìïüþòåðà âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè íåêîòîðîãî îáúåêòà ñ öåëüþ îöåíèâàíèÿ ñðåäíèõ õàðàêòåðèñòèê ìîäåëè íà îñíîâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. ñàìîì îáùåì âèäå ñõåìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì., íàïðèìåð, [1]).
Ïóñòü íàì òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü íåêîòîðóþ âåëè÷èíó I . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîæíî ïîñòðîèòü ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó ζ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Eζ , ðàâíûì I , è ñ êîíå÷íîéäèñïåðñèåé Dζ , ïðè÷åì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ζj ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζäîñòàòî÷íî ïðîñòî ðåàëèçóþòñÿ íà êîìïüþòåðå (çäåñü è äàëåå îáîçíà÷åíèå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéãðå÷åñêóþ áóêâó ñ íèæíèì èíäåêñîì, à îáîçíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íèæíåãî èíäåêñà íå èìååò). Ïîñòðîèâ äîñòàòî÷íîáîëüøîå êîëè÷åñòâî n âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . .
. , ζn , íà îñíîâå çàêîíàáîëüøèõ ÷èñåë (ñì., íàïðèìåð, [2, 3]) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå èñêîìîéâåëè÷èíû:ζ1 + . . . + ζn.(1.1)I = Eζ ≈ Zn =nÁàçîâàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ íàçûâàåòñÿ îöåíêîé âåëè÷èíû I . Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå îöåíêè â òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò àíàëîãè÷íîãî òåðìèíà â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå(ñì., íàïðèìåð, [3]), â êîòîðîé îöåíêîé âåëè÷èíû I íàçûâàåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå Zn . Âûáîð îöåíêè ζ , êàê ïðàâèëî, íåîäíîçíà÷åí.Ïîýòîìó ãëàâíûìè ïðîáëåìàìè ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãîñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûáîð îïòèìàëüíîé îöåíêè ζèñêîìîé âåëè÷èíû I è ðàçðàáîòêà àëãîðèòìîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòüâûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ {ζi } íà ÝÂÌ.×àùå âñåãî îöåíêà ζ èç ñîîòíîøåíèÿ (1.1) èìååò âèäζ = q(ξ),(1.2)ãäå ξ = ξ (1) , .
. . , ξ (d) ñëó÷àéíûé âåêòîð èëè ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (íàïðèìåð, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà öåïüÌàðêîâà, äëÿ êîòîðîé, âîîáùå ãîâîðÿ, d → ∞) ñ çàäàííûì àáñîëþòíîíåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, à q(x) ôóíêöèÿ (íåñëó÷àéíàÿ) d ïåðå-4ìåííûõ. Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå (1.1) ïðèîáðåòàåò âèänI≈1Xq(ξ i ),n i=1(1.3)ãäå ξ 1 , . . . , ξ n âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ .1.2. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè áàçîâîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïðè èññëåäîâàíèè ïîãðåøíîñòè è òðóäîåìêîñòè ìåòîäà(1.1) òðåáóåòñÿ ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü íåèçâåñòíóþ âåëè÷èíó äèñïåðñèè Dζ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ (ñì. ðàçä.
3).Âåëè÷èíà Dζ äîïóñêàåò ýôôåêòèâíîå îöåíèâàíèå ñ ïîìîùüþ ðåàëèçóåìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . . , ζn̂ (ïðè ýòîì ÷èñëî âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé n̂, êàê ïðàâèëî, çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷èíû n èç ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà (1.1) ñì. ïîäðàçä. 3.4). Ïðîñòåéøåå ïðèáëèæåíèå íåñëîæíî ïîëó÷èòü èç ñîîòíîøåíèé (1.2), (1.3) äëÿ u = u ∈ R èq(u) = u2 :n̂Dζ = Eζ 2 − (Eζ)2 ≈(1)Dn̂1X 2ζ −=n̂ i=1 in̂1Xζin̂ i=1!2.(1.4)Åñëè â ðàâåíñòâå (1.4) òðàêòîâàòü ζ1 , . . . , ζn̂ êàê íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå (òàê æå, êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ ) ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, òî íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî1(1)EDn̂ = 1 −Dζ.(1.5)n̂(1)Äåéñòâèòåëüíî, EDn̂ = Eζ 2 − EZn̂2 = Dζ − DZn̂ , òàê êàê EZn̂ = Eζ .(1)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî DZn̂ = Dζ/n̂, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1.5).
Ðàçäåëèâ Dn̂íà (1 − 1/n̂)n̂(2)Dn̂11 X 2ζi −=n̂ − 1 i=1n̂(n̂ − 1)ïîëó÷àåì íåñìåùåííóþ îöåíêó äèñïåðñèè.5n̂Xi=1!2ζi,(1.6)2. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî2.1. Îñíîâíûå ïðîáëåìû òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.  ñâÿçè ñ çàäà÷åé (1.1) âîçíèêàåò ðÿä âîïðîñîâ.1. Êàêèå âåëè÷èíû I äîïóñêàþò ïðåäñòàâëåíèå (1.1)?2. Åäèíñòâåíåí ëè âûáîð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ , è åñëè íååäèíñòâåíåí, òî êàê îïòèìèçèðîâàòü ýòîò âûáîð?3. Ñêîëüêî âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , .
. . , ζn òðåáóåòñÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîãî óðîâíÿ ïîãðåøíîñòè?4. Êàê ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . . , ζn íà ÝÂÌ?Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ 4 áóäåò èññëåäîâàòüñÿ â ðàçä.1017; âîïðîñû 2 è 3 îáñóæäàþòñÿ â ðàçä. 3.2.2. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííîé ôîðìóëû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäóåì âîï-ðîñ 1. Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè îöåíêà ζ èìååò âèä (1.2), òîZ(2.1)I = Eζ = q(x)f (x) dx,ãäå f (x) = f x(1) , .
. . , x(d) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ .  ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî îáúÿâèòü, ÷òî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ òåîðèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ðàçäåëîì÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [5]). Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ðàçäåë âêëþ÷àåò (åñëè èìåòü â âèäó èìåííî ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî) è òàêóþâàæíóþ òåìó, êàê ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà (ñì.,íàïðèìåð, [1], à òàêæå ðàçä. 79). Ýòè óðàâíåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîãóòîïèñûâàòü ìíîãèå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåíîñîì èçëó÷åíèÿ è ÷àñòèö (ñì. ðàçä. 6). Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè èìåþòñÿ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíîãî è âåðîÿòíîñòíîãîïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèÿ è êîíñòðóèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (ñì., íàïðèìåð, [1]).2.3. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîðåøåíèåI íåêîòîðîé çàäà÷è äîïóñêàåò èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèåRI = g(x) dx. Âûáåðåì ïëîòíîñòü f (x) òàêóþ, ÷òî f (x) 6= 0 ïðè g(x) 6= 0.Òîãäà íà îñíîâå ñîîòíîøåíèé (1.2), (1.3) è (2.1) èìååì!ZZ1 g(ξ 1 )g(ξ n )g(x)f (x) dx = Eζ ≈+...+, (2.2)I = g(x) dx =f (x)n f (ξ 1 )f (ξ n )6ïðè ýòîì ζ = q(ξ) = g(ξ)/f (ξ). Ðàâåíñòâî (2.2) îòðàæàåò ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ âåñîâîé îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ èíòåãðàëà I .3.
Ïîãðåøíîñòü è òðóäîåìêîñòü ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî3.1. Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ èñïîëüçîâàíèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû. Ïîãðåøíîñòü δn = |Zn − I|ìåòîäà (1.1) ïðåäñòàâèìà â âèäå S − nI √Dζ S − nEζ n nδn = = √ √ √ ,nnDζ n ãäå Sn = ζ1 +. . .+ζn . Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñì., íàïðèìåð, [2]) ñëåäóåò,÷òî√ √ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn − nEζ)/( Dζ n)áëèçêà ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå γ ∈ N (0, 1). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿ êîíñòàíòàHε , äëÿ êîòîðîé ïðè n 1 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå!√Dζ≈ P(|γ| < Hε ) ≥ 1 − ε.(3.1)P δ n ≤ Hε √nÍàïðèìåð, äëÿ ε = 0.003 èìååì Hε ≈ 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
