1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (844203), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ÄèñïåðñèÿDζ (0) ðàâíà D(q(ξ) − q0 (ξ)) è ìîæåò áûòü ìàëîé, åñëè g0 (x) õîðîøîàïïðîêñèìèðóåò ôóíêöèþ g(x).5.2. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòè îáëàñòè. Ðàññìîòðèì òàêæå ñëåäóþùèé àíàëîãR àëãîðèòìà âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè. Äîïóñòèì, ÷òîèíòåãðàë I = X g(x) dx ïðåäñòàâëåí â âèäå (2.1) è óäàåòñÿ âû÷èñëèòü(àíàëèòè÷åñêè èëè ÷èñëåííî ñ ìàëûìè çàòðàòàìè è âûñîêîé òî÷íîñòüþ)èíòåãðàëû ïî íåêîòîðîé ÷àñòè X2 îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ X ⊆ Rd :ZZq(x)f (x) dx = I2 èf (x) dx = i2 ,X2X2ãäå 0 < i2 < 1. Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî f (x) = 0 ïðè x ∈/ X.Êàê ïðàâèëî, âûãîäíî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë (2.1) â âèäå ñóììûZZI = I2 +q(x)f (x) dx = I2 +i1 q(x)f1 (x) dx = Eζ (1) ,(5.1)X1X1ãäå X1 = X\X2 , i1 = 1 − i2 , ζ (1) = I2 + i1 q(ξ (1) ), à ξ (1) ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàñïðåäåëåííûé â X1 ñîãëàñíî óñå÷åííîé ïëîòíîñòèf1 (x) = f (x)/i1 .
Çàìåíà àëãîðèòìà (2.2) íà àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäñòàâëåíèþ (5.1), íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî÷àñòè îáëàñòè. Åñëè îáëàñòü X2 áëèçêà ê X , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîìû âûäåëÿåì ãëàâíóþ ÷àñòü. Îäíàêî îïèñàííûé ïðèåì âûãîäåí è òîãäà, êîãäà îáëàñòü X2 çàìåòíî ìåíüøå îáëàñòè X , ïðàâäà, è ïîíèæåíèåäèñïåðñèè â ýòîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî íåâåëèêî.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 5.1.
Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Dζ (1) ≤ i1 Dζ .5.3. Âûáîðêàïî ãðóïïàì. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (2.1) èíòåRãðàëà I = X g(x) dx. Çàïèøåì âåëè÷èíó I â âèäåI=M ZXm=1q(x)f (x) dx,Xm14ãäå Xm ïîäîáëàñòè X , èìåþùèå ïîïàðíûå ïåðåñå÷åíèÿ ìåðû íóëü,ïðè÷åì X = X1 ∪ . . . ∪ XM . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿZZf (x)pm =f (x) dx, Im =q(x)f (x) dx, fm (x) =pmXmXmïðè x ∈ Xm . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (x) = 0 ïðè x 6∈ X . Òîãäàp1 + .. + pM = 1,I1 + . . . + IM = I è Im = E pm q(ξ (m) ) ,ãäå ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ (m) ðàñïðåäåëåí â Xm ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fm (x).ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.1.
Ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ Im ñîãëàñíîñòàíäàðòíîìó àëãîðèòìó (2.2) ñ ÷èñëîì èñïûòàíèé nm :nmpm X(m)q(ξ im ),nm i =1Im ≈mè ïîëàãàåìI ≈ Zn(M ) =nmMXpm X(m)q(ξ im ),nmm=1i =1(5.2)mçäåñü n = n1 + . . . + nM .Àëãîðèòì 5.1 îïðåäåëÿåò ìåòîä ðàññëîåííîé âûáîðêè èëè âûáîðêó ïîãðóïïàì. Ýòîò àëãîðèòì îòëè÷àåòñÿ ïðè M = 2 îò ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòè îáëàñòè, òàê êàê ïîñëåäíèé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èíòåãðàëI2 èçâåñòåí (à â àëãîðèòìå 5.1 ýòîò èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïðèáëèæåííî(2)ïî âûáîðêå {ξ i2 }).Ñðàâíèì âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ DZn = Dζ/n ñòàíäàðòíîãî ìåòîäà(2.2) âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I (çäåñü ñëó÷àéíûå òî÷êè ξ âûáèðàþòñÿ âî(M )âñåé îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ X ) è ñîîòâåòñòâóþùóþ äèñïåðñèþ DZnìåòîäà ðàññëîåííîé âûáîðêè ïðè óñëîâèè, ÷òî ôèêñèðîâàíû ÷èñëî èñïûòàíèé (äëÿ âûáîðêè ïî ãðóïïàì ñóììàðíîå ÷èñëî èñïûòàíèé) n èðàçáèåíèå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ X = X1 ∪ .
. . ∪ XM . Íåñëîæíî âû÷èñëèòü äèñïåðñèþ2 XnmM MXXpmp2m Dq(ξ (m) )(m)(M )DZn =Dq(ξ im ) =,nmnmm=1m=1i =1mãäåDq(ξ (m) ) =1pmZq 2 (x)f (x) dx −Xm15Impm2;(m)çäåñü èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ òî÷åê {ξ im }.(M )ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 5.2. Ìèíèìóì âåëè÷èíû DZn!2qM1 X(m)2dn =pm Dq(ξ ) .n m=1ðàâåíÝòà âåëè÷èíà íå ïðåâîñõîäèò DZn è ðåàëèçóåòñÿ ïðè, MqqX0(m)nm = npm Dq(ξ )pm0 Dq(ξ (m ) ).(5.3)m0 =1Çàìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþòñÿ áîëåå ïðîñòûå, ÷åì (5.3),ñîîòíîøåíèÿ nm = npm , êîòîðûå òàêæå äàþò íå áîëüøóþ, ÷åì DZn ,(M )äèñïåðñèþ DZn .Äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé 5.1 è 5.2, à òàêæå ïðèìåðû ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ ñôîðìóëèðîâàííûõ ìåòîäîâ ïîíèæåíèÿ äèñïåðñèèïðåäñòàâëåíû, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [1, 6]. Çäåñü æå îïèñàí ðÿä äðóãèõïðèåìîâ, óìåíüøàþùèõ äèñïåðñèþ îñíîâíîãî àëãîðèòìà (2.2): ìåòîäìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ, ñèììåòðèçàöèÿ ïåðåìåííûõ, èñïîëüçîâàíèå ïîïðàâî÷íîãî ìíîæèòåëÿ è äð.6.
Ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû â çàäà÷àõ òåîðèè ïåðåíîñà6.1. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ïåðåíîñà ÷àñòèö. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî óñïåøíî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ. Òèïè÷íîé ìîäåëüþ ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ.Ïóñòü èìååòñÿ âûïóêëàÿ îáëàñòü G (êàê ïðàâèëî, G ⊆ R3 ), âîîáùå ãîâîðÿ, íåîäíîðîäíîãî âåùåñòâà, â ïîäîáëàñòè êîòîðîé G0 ⊆ G (èëèíà ãðàíèöå ∂G) ðàñïîëîæåí èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ (íàïðàâëåííûé èëèñòîõàñòè÷åñêèé). Ìàëûå ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿ (¾ôîòîíû¿), ñòàëêèâàÿñüñ áîëåå êðóïíûìè ÷àñòèöàìè âåùåñòâà â ñëîå, ëèáî ïîãëîùàþòñÿ ýòèìè ÷àñòèöàìè, ëèáî ðàññåèâàþòñÿ ñîãëàñíî íåêîòîðîìó ñòîõàñòè÷åñêîìóçàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ èíäèêàòðèñîé ðàññåÿíèÿg(r, ω 0 , ω) (ýòî óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî íàïðàâëåíèÿ ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿ ïîñëå ðàññåÿíèÿ ω̂ ïðè óñëîâèè, ÷òî çàôèêñèðîâàíà òî÷êà ñòîëêíîâåíèÿ r̂ = r è ïðåäûäóùåå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ÷àñòèöû ω̂ 0 = ω 0 ).
Ïðèëîæåíèé ó ïîäîáíûõ ìîäåëåé ìíîæåñòâî: çàùèòàÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ, êëèìàòè÷åñêèå çàäà÷è, çàäà÷è ëàçåðíîãî çîíäèðîâàíèÿ àòìîñôåðû è îêåàíà è äð.16Ñòàâèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ îäíîé èëè íåñêîëüêèõ âåðîÿòíîñòíûõõàðàêòåðèñòèê îïèñàííîãî ïðîöåññà áëóæäàíèÿ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè,äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèé àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè P òîãî, ÷òî ÷àñòèöà èçëó÷åíèÿ ïîãëîòèòñÿ â îáëàñòè G (èëè,äðóãèìè ñëîâàìè, îïðåäåëèòü, êàêàÿ ÷àñòü èçëó÷àåìîãî ïîòîêà îñòàíåòñÿ â îáëàñòè G).6.2.
Çàäàíèå âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ïðîöåññà ïåðåíîñà. Îäèí èç ñïîñîáîâ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñîñòîèò âðåàëèçàöèè íà ÝÂÌ òðàåêòîðèé ÷àñòèö èçëó÷åíèÿ (ñîîòâåòñòâóþùèé÷èñëåííûé àëãîðèòì íàçûâàþò ïðÿìûì ìîäåëèðîâàíèåì). Ïðè ýòîìäîëæíû áûòü çàäàíû ñëåäóþùèå ñòîõàñòè÷åñêèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ.Âî-ïåðâûõ, ïëîòíîñòü g (0) (r, ω) ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîé òî÷êè r(0) ∈ G0 è íà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ω (0) äâèæåíèÿ ÷àñòèöû.Âî-âòîðûõ, çàäàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå òàê íàçûâàåìîé äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû (ò. å. äëèíû îòðåçêà ïóòè ÷àñòèöû, íà êîòîðîìîíà íå èñïûòûâàåò ñòîëêíîâåíèé).
Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùååïðåäïîëîæåíèå: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòèöà, âûëåòåâøàÿ èç òî÷êès, èñïûòàåò ñòîëêíîâåíèå íà èíòåðâàëå (s, s + δs) (îñü s ñîâïàäàåò ñíàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû), ðàâíàΣ(r) δs + o(δs).(6.1)Ôóíêöèÿ Σ(r) (r îáîçíà÷àåò êîîðäèíàòó ÷àñòèöû âî ¾âíåøíåé¿ ñèñòåìå êîîðäèíàò) ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñå÷åíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñî ñðåäîé. Èç ñîîòíîøåíèÿ (6.1) íåñëîæíî âûâåñòè, ÷òî äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Z uF (u) = 1 − exp −Σ(r + ω s) ds .(6.2)0Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âåùåñòâî, çàïîëíÿþùåå îáëàñòü G, îäíîðîäíî, âûïîëíåíî òîæäåñòâî Σ(r) ≡ const è ðàâåíñòâî (6.2) îïðåäåëÿåòýêñïîíåíöèàëüíóþ (èëè ïîêàçàòåëüíóþ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîñòîé àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì ðàññìîòðåí â ðàçä.
13 (ñì. ïðèìåð 13.1).Ïîëíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììóΣ(r) = Σ(a) (r) + Σ(s) (r),17ãäå Σ(a) (r) ñå÷åíèå ïîãëîùåíèÿ, Σ(s) (r) ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ; ýòè ôóíêöèè òàêæå ïðåäïîëàãàþòñÿ çàäàííûìè. Âåëè÷èíà q (a) (r) = Σ(a) (r)/Σ(r)îïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñòîëêíîâåíèè ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿñ ÷àñòèöåé âåùåñòâà â òî÷êå r ∈ G ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå ìàëîé ÷àñòèöû áîëåå êðóïíîé (ïðè ýòîì òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿ ïðåðûâàåòñÿ). Ðîçûãðûø ñîáûòèÿ ïîãëîùåíèÿ ïðîèñõîäèò ïî ïðîñòîìó àëãîðèòìó: åñëè α0 ≤ p(a) (r), òî ïðîèçîøëî ïîãëîùåíèå; åñëèα0 > p(a) (r), òî ïðîèçîøëî ðàññåÿíèå (ñì.
àëãîðèòì 11.3). Çäåñü α0 ðåàëèçàöèÿ ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà α (ò. å. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå (0, 1)), ïîëó÷àåìàÿ ñ ïîìîùüþãåíåðàòîðà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ñì. ðàçä. 10).Íàêîíåö, òðåáóåòñÿ çàäàòü èíäèêàòðèñó ðàññåÿíèÿ g(r, ω 0 , ω). Ââåäåì òàêæå ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó β , êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå â ñëó÷àå,åñëè ÷àñòèöà èçëó÷åíèÿ ïîãëîòèëàñü â îáëàñòè G, è ðàâíà íóëþ âî âñåõîñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Çàìåòèì, ÷òî Eβ = P .6.3. Àëãîðèòì ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ðåàëèçóåì n òðàåêòîðèé ÷àñòèö è äëÿ j -é òðàåêòîðèè (j = 1, . . . , n) äåëàåìñëåäóþùåå.1. Ìîäåëèðóåì íà÷àëüíóþ êîîðäèíàòó è íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èçëó÷åíèÿ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè g (0) (r, ω).2. Ðåàëèçóåì äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (6.2).3. Ïðîâåðÿåì, íå âûëåòåëà ëè ÷àñòèöà èç îáëàñòè G.
Åñëè âûëåòïðîèçîøåë, òî çàêàí÷èâàåì òðàåêòîðèþ è ïîëàãàåì βj = 0.4. Âû÷èñëÿåì êîîðäèíàòó r î÷åðåäíîé òî÷êè ñòîëêíîâåíèÿ, çíàÿïðåäûäóùóþ êîîðäèíàòó r0 , íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ω 0 è äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà l.5. Îïðåäåëÿåì òèï ñòîëêíîâåíèÿ (ïîãëîùåíèå èëè ðàññåÿíèå) ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòè p(a) (r).
Åñëè ðåàëèçîâàëîñü ïîãëîùåíèå, òî îáðûâàåì òðàåêòîðèþ è ïîëàãàåì βj = 1.6. Åñëè ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèå, òî ñîãëàñíî èíäèêàòðèñå g(r, ω 0 , ω)ðåàëèçóåì íîâîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû è ïåðåõîäèì íà ï. 2äëÿ äàëüíåéøåãî ìîäåëèðîâàíèÿ òðàåêòîðèè.Ïðèáëèæåíèåì èñêîìîé âåðîÿòíîñòè P ïîãëîùåíèÿ ÷àñòèöû â îáëàñòè G áóäåò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âèäà (1.1):P = Eβ ≈β1 + . . . + βn.n187. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ðîäà, ðÿäÍåéìàíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
