1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 19
Текст из файла (страница 19)
подраздел 4.3 данного пособия) подобно тому, как этоделалось при построении оценивателя (8.9): такие же, как в функцияхf (x) и k(x0 , x), дельта-особенности должны присутствовать в плотности π(x) и переходной функции p(x0 , x) (и при подсчете весов (7.32) эти119дельта-функции формально «сокращаются»).Поэтому при оценке функционалов от решения марковского интегрального уравнения (7.7), соответствующего модели переноса частициз раздела 6, следует использовать переходную функцию p̃(x0 , x), отражающую прямолинейность движения модельных «частиц» с помощьювключения в нее множителя (6.36). Варьировать (в определенных пределах) можно вероятность поглощения p(a) , распределение длины свободного пробега (6.40) и индикатрису рассеяния g(w|w0 ).Учет дельта-функции в ядре (7.9) обосновывает эффективность (идаже необходимость) применения процесса «блуждания по сферам»,представленного на рис.
8.1.8.4. Оптимизация алгоритмов 7.1, 7.2. Конечность среднегочисла состояний прикладной цепи Маркова. Оптимальный выборфункций π(x) и p(x0 , x) для моделирования траекторий (7.31) при численной реализации алгоритмов 7.1, 7.2 производится по стандартномукритерию минимальной трудоемкости S = t × Dζ (см. формулу (1.18)из подраздела 1.9 данного пособия).Здесь, в отличие от случая приближения одного интеграла, для которого удается разработать целый спектр модификаций (в том числедискретно-стохастических), позволяющих уменьшать величины t и Dζ(см., например, [5, 9, 17], а также подраздел 5.4 данного пособия), частоприходится ограничиваться немногочисленными модификациями оценивателей (7.25), (7.33) и использовать при их сравнении подход из подраздела 1.10, подразумевающий приближенное вычисление величин t иDζ по выборочным значениям ζi ; i = 1, .
. . , n̂; n̂ n согласно формулам (1.19), (1.20) и (1.22).Что касается теоретических результатов об оценке величин t и Dζ,то они носят характер «теорем существования». В этом и следующемподразделе приведены соответствующие утверждения (см. также [9]).Величина t для алгоритмов 7.1, 7.2 связана со средней длиной ENтраекторий цепи Маркова (7.22). Несложно доказать следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 8.1 (см., например, [9]).
Если переходная функцияp(x0 , x) прикладной цепи Маркова (7.22) является ядром интегрального оператора, спектральный радиус которого в пространстве L1 (X)меньше единицы, то EN < +∞.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим марковское интегральное уравнение (7.3), соответствующее цепи (7.22), а также основной оцениватель(7.25) для этой же цепи и функции h(x) ≡ 1.120Здесь все веса Q(m) тождественно равны единице (это частный случай прямого моделирования, рассмотренного в предыдущем подразделе8.3) и, согласно соотношению (8.11)," N#ZX(m)Eζ̂ = Eh ξ= EN = Ih = (ψ, h) =ψ(x) dx < +∞,Xm=0так как ψ ∈ L1 (X).
Утверждение 8.1 доказано.8.5. Теоремы о дисперсии основного оценивателя иоценивателя по поглощениям. Оптимальные плотности. Определенная трудность изучения дисперсий Dζ и Dη оценивателей (7.25)и (7.33) связана с тем, что они задаются неявно, с помощью вспомогательного интегрального уравненияZf 2 (x)f2k 2 (x0 , x) χ(x0 ) dx0+илиχ=Kχ+.(8.12)χ(x) =pp(x0 , x)π(x)πXУТВЕРЖДЕНИЕ 8.2 (см., например, [9]). Если функции f (x), h(x) иf 2 (x)/π(x) принадлежат пространству L1 (X), а спектральныерадиусы интегральных операторов Фредгольма K1 , K ∗ , Kp :L1 (X) → L1 (X) (с ядрами k1 (x0 , x) = |k(x0 , x)|, k ∗ (x0 , x) = k(x, x0 ),kp (x0 , x) = k 2 (x0 , x)/p(x0 , x) соответственно) меньше единицы, а также выполнены условия (7.24), то дисперсия основного оценивателя(7.25) дается выражениемDζ = Eζ 2 − (Eζ)2 = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − Ih2 ,(8.13)где χ – решение уравнения (8.12), а ϕ∗ – решение сопряженного уравнения (8.1).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Как и в доказательстве утверждения 7.3, соотношение вида (8.13) сначала доказывается с помощью теоремы Леви(утверждение 7.1) для оценивателя ζ̄ вида (7.27), для которогоEζ̄ = Iˆ|h| = (ϕ̄, |h|) и функция ϕ̄ является решением интегральногоуравнения ϕ̄ = K1 ϕ̄ + |f |.С учетом соотношений (7.25), (7.26) несложно получить, что случайные величины 2 (0) π ξ (0)f ξ2f 2 ξ (0) π ξ (0)(0) 2(0)Q== Q̄=;π ξ (0)π ξ (0)121k 2 ξ (m−1) , ξ (m) p ξ (m−1) , ξ (m)=Q= Q×p ξ (m−1) , ξ (m) 2 (m−1) (m) (m−1) (m) p ξk ξ,ξ,ξ(m) 2(m−1) 2= Q̄= Q̄×(m−1)(m)p ξ,ξ(m) 2(m−1) 2являются случайными весами основных оценивателей функционалов отрешения уравнения (8.12):#" N#" ∞XX(m)(m)(m)(m) 2(m) 2H ξ,(χ, H) = EH ξ=E∆Q̄Q̄m=0m=0(8.14)где случайные величины (индикаторы обрыва траектории прикладнойцепи Маркова (7.22)) ∆(m) определяются соотношением (7.28).Заметим, что исходное уравнение ϕ̄ = K1 ϕ̄ + |f | является сопряженным (относительно функционала I¯|h| = (ϕ̄, |h|) = (ϕ̄∗ , |f |)) для уравнения ϕ̄∗ = K1∗ ϕ̄∗ + |h| и потому можно выписать следующий аналогформулы (8.9):"∗ϕ̄ (x̃) = E |h|(x̃) +ÑX(s) Q̃#(s) ˜h ξ;s=1(0)Q̃(s)≡ 1; Q̃(s−1)= Q̃ (s−1) (s) k ξ˜, ξ˜ × ;p ξ˜(s−1) , ξ˜(s)здесь прикладная цепь Маркова ξ˜(0) , ξ˜(1) , .
. . , ξ˜(Ñ ) «стартует» из точкиξ˜(0) ≡ x̃ и имеет переходную функцию p(x0 , x).Из последнего соотношения, взятого в случайной точке x̃ = ξ (m) ,получается равенство#" ∞(s) XQ̄E∆(s) (m) h ξ (s) ξ (0) , . . . , ξ (m) ; ∆(m) =Q̄s=m+1 = ∆(m) ϕ̄∗ ξ (m) − h ξ (m) .(8.15)Рассматривая конечные отрезки соответствующих бесконечных суммположительных слагаемых и применяя теорему Леви (утверждение7.1),а также учитывая соотношение (8.14) для H(x) = h2 (x) и122H(x)∆(m)2h(x) ϕ̄∗ (x) − h(x) , соотношение (8.15) и то, что=2= ∆(m) , получаем∞X"2Eζ̄ = E∆(m)(m) Q̄h ξ(m)#2" ∞#X2 2 (m) (m)(m) =E +h ξ∆Q̄m=0m=0∞∞XX"+2E(m)∆∞X"∆(s)(m)Q̄(s) Q̄h ξ(m)#(s) = (χ, |h|2 )+h ξm=0 s=m+1+22 E ∆(m) Q̄(m) h ξ (m) ×(8.16)m=0×E∞X∆(s)s=m+1∞X"2= (χ, |h| ) + 2E∆Q̄(s) (s) (0)hξξ , .
. . , ξ (m) ; ∆(m)Q̄(m)(m) (m) 2 Q̄h ξ(m)!#=# ∗ (m) (m) ϕ̄ ξ =− h ξm=0= (χ, |h|2 ) + 2 (χ, |h|[ϕ̄∗ − |h|]) = (χ, |h|[2ϕ̄∗ − |h|]) .Далее, по аналогии с доказательством утверждения 7.3, замечаем,что" n#2X2(n)(n)(m) (m)(m)ζ = lim Ξ , где Ξ =∆ Q h ξ.n→∞m=0Имеем (n) Ξ ≤ ζ̄ 2 и Eζ̄ 2 = (χ, |h|[2ϕ̄∗ − |h|]) < +∞,и поэтому, согласно теореме Лебега (утверждение 7.2) для соответствующей вероятностной меры µ(x), формулы и выкладки, аналогичные(8.14)–(8.16) для произвольных функций k(x0 , x), f (x) и h(x), дают соотношениеEζ 2 = (χ, h[2ϕ∗ − h]) ,и, с учетом того, что Eζ = Ih , имеем2Dζ = Eζ 2 − Eζ = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − Ih2 .Утверждение 8.2 доказано.123Аналогичным образом доказывается следующая теорема о дисперсии оценивателя (7.33).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.3 (см., например, [9]).
Если выполнены условияутверждения 8.2 и h2 (x)/p(a) (x) ∈ L∞ (X), то!2hDη = Eη 2 − (Eη)2 = χ, (a) − Ih2 ,(8.17)pгде функция χ(x) является решением уравнения (8.12).Таким образом, формулы (8.13) и (8.17), представляющие дисперсииоценивателей (7.25) и (7.33) функционала (7.5), являются намного болеесложными и менее приспособленными для конструктивных примененийна практике, чем соотношения (3.16), (4.2) для дисперсии оценивателямногократного интеграла (4.1).Иллюстрацией последнего комментария являются приводимые ниже(без доказательства) утверждения о минимальных дисперсиях оценивателей (7.25) и (7.33) (аналоги утверждения 4.1).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.4 [8]. В условиях утверждения 8.2 минимальная дисперсия (8.13) реализуется приπ (opt,ζ) (x) =|k(x0 , x)||g(x)||f (x)||g(x)|,; p(opt,ζ) =(|f |, |g|)[K̄ ∗ |g|](x0 )(8.18)где K̄ ∗ – интегральный оператор с ядром k̄ ∗ (x0 , x) = |k(x, x0 )|, а функция g(x) является решением следующего нелинейного интегральногоуравнения:"Z#212∗000g (x) = f (x)[2ϕ (x)−f (x)]+|k(x, x )||g(x )| dx .
(8.19)1 − p(a) (x) XУТВЕРЖДЕНИЕ 8.5 [8]. В условиях утверждения 8.3 минимальная дисперсия (8.17) реализуется приπ (opt,η) (x) =|f (x)||g(x)||k(x0 , x)||g(x)|; p(opt,η) =,g(x0 )(|f |, |g|)(8.20)где функция g(x) является решением уравнения (8.19).Для случая неотрицательных функций h(x), k(x0 , x) и f (x) (и, соответственно, ϕ(x) и ϕ∗ (x)) можно получить следующие аналоги утверждения 4.2 о нулевой дисперсии (4.2).124УТВЕРЖДЕНИЕ 8.6 (см., например, [9]). Если функции k(x0 , x), f (x)и h(x) неотрицательны и выполнены условия утверждения 8.2, тодисперсия (8.13) приπ (opt,ζ) (x) =f (x)g(x)k(x0 , x)g(x); p(opt,ζ) =(f, g)[K ∗ g](x0 )(8.21)для g(x) = ϕ∗ (x) равна нулю: Dζ = 0; здесь ϕ∗ (x) – решение уравнения(8.1).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.7 (см., например, [9]). Если функции k(x0 , x), f (x)и h(x) неотрицательны и выполнены условия утверждения 8.3, тодисперсия (8.14) приπ (opt,η) (x) =k(x0 , x)g(x)f (x)g(x); p(opt,η) =(f, g)g(x0 )(8.22)для g(x) = ϕ∗ (x) равна нулю: Dη = 0.Заметим, что для неотрицательных функций h(x), k(x0 , x), f (x) и для(a)p (x) ≡ 0 функция g(x) = ϕ∗ (x) является решением уравнения (8.19).Функция g(x) из соотношений (8.18)–(8.22) называется функцией ценности, а выбор этой функции, обеспечивающий близость начальной плотности π(x) и переходной функции p(x0 , x) используемойприкладной цепи Маркова (7.22) к оптимальным выражениям (8.18),(8.20)–(8.22), определяет метод выборки по важности.Как и в случае вычисления интегралов (см.