Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 19

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 19 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 192021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

подраздел 4.3 данного пособия) подобно тому, как этоделалось при построении оценивателя (8.9): такие же, как в функцияхf (x) и k(x0 , x), дельта-особенности должны присутствовать в плотности π(x) и переходной функции p(x0 , x) (и при подсчете весов (7.32) эти119дельта-функции формально «сокращаются»).Поэтому при оценке функционалов от решения марковского интегрального уравнения (7.7), соответствующего модели переноса частициз раздела 6, следует использовать переходную функцию p̃(x0 , x), отражающую прямолинейность движения модельных «частиц» с помощьювключения в нее множителя (6.36). Варьировать (в определенных пределах) можно вероятность поглощения p(a) , распределение длины свободного пробега (6.40) и индикатрису рассеяния g(w|w0 ).Учет дельта-функции в ядре (7.9) обосновывает эффективность (идаже необходимость) применения процесса «блуждания по сферам»,представленного на рис.

8.1.8.4. Оптимизация алгоритмов 7.1, 7.2. Конечность среднегочисла состояний прикладной цепи Маркова. Оптимальный выборфункций π(x) и p(x0 , x) для моделирования траекторий (7.31) при численной реализации алгоритмов 7.1, 7.2 производится по стандартномукритерию минимальной трудоемкости S = t × Dζ (см. формулу (1.18)из подраздела 1.9 данного пособия).Здесь, в отличие от случая приближения одного интеграла, для которого удается разработать целый спектр модификаций (в том числедискретно-стохастических), позволяющих уменьшать величины t и Dζ(см., например, [5, 9, 17], а также подраздел 5.4 данного пособия), частоприходится ограничиваться немногочисленными модификациями оценивателей (7.25), (7.33) и использовать при их сравнении подход из подраздела 1.10, подразумевающий приближенное вычисление величин t иDζ по выборочным значениям ζi ; i = 1, .

. . , n̂; n̂ n согласно формулам (1.19), (1.20) и (1.22).Что касается теоретических результатов об оценке величин t и Dζ,то они носят характер «теорем существования». В этом и следующемподразделе приведены соответствующие утверждения (см. также [9]).Величина t для алгоритмов 7.1, 7.2 связана со средней длиной ENтраекторий цепи Маркова (7.22). Несложно доказать следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 8.1 (см., например, [9]).

Если переходная функцияp(x0 , x) прикладной цепи Маркова (7.22) является ядром интегрального оператора, спектральный радиус которого в пространстве L1 (X)меньше единицы, то EN < +∞.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим марковское интегральное уравнение (7.3), соответствующее цепи (7.22), а также основной оцениватель(7.25) для этой же цепи и функции h(x) ≡ 1.120Здесь все веса Q(m) тождественно равны единице (это частный случай прямого моделирования, рассмотренного в предыдущем подразделе8.3) и, согласно соотношению (8.11)," N#ZX(m)Eζ̂ = Eh ξ= EN = Ih = (ψ, h) =ψ(x) dx < +∞,Xm=0так как ψ ∈ L1 (X).

Утверждение 8.1 доказано.8.5. Теоремы о дисперсии основного оценивателя иоценивателя по поглощениям. Оптимальные плотности. Определенная трудность изучения дисперсий Dζ и Dη оценивателей (7.25)и (7.33) связана с тем, что они задаются неявно, с помощью вспомогательного интегрального уравненияZf 2 (x)f2k 2 (x0 , x) χ(x0 ) dx0+илиχ=Kχ+.(8.12)χ(x) =pp(x0 , x)π(x)πXУТВЕРЖДЕНИЕ 8.2 (см., например, [9]). Если функции f (x), h(x) иf 2 (x)/π(x) принадлежат пространству L1 (X), а спектральныерадиусы интегральных операторов Фредгольма K1 , K ∗ , Kp :L1 (X) → L1 (X) (с ядрами k1 (x0 , x) = |k(x0 , x)|, k ∗ (x0 , x) = k(x, x0 ),kp (x0 , x) = k 2 (x0 , x)/p(x0 , x) соответственно) меньше единицы, а также выполнены условия (7.24), то дисперсия основного оценивателя(7.25) дается выражениемDζ = Eζ 2 − (Eζ)2 = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − Ih2 ,(8.13)где χ – решение уравнения (8.12), а ϕ∗ – решение сопряженного уравнения (8.1).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Как и в доказательстве утверждения 7.3, соотношение вида (8.13) сначала доказывается с помощью теоремы Леви(утверждение 7.1) для оценивателя ζ̄ вида (7.27), для которогоEζ̄ = Iˆ|h| = (ϕ̄, |h|) и функция ϕ̄ является решением интегральногоуравнения ϕ̄ = K1 ϕ̄ + |f |.С учетом соотношений (7.25), (7.26) несложно получить, что случайные величины 2 (0) π ξ (0)f ξ2f 2 ξ (0) π ξ (0)(0) 2(0)Q== Q̄=;π ξ (0)π ξ (0)121k 2 ξ (m−1) , ξ (m) p ξ (m−1) , ξ (m)=Q= Q×p ξ (m−1) , ξ (m) 2 (m−1) (m) (m−1) (m) p ξk ξ,ξ,ξ(m) 2(m−1) 2= Q̄= Q̄×(m−1)(m)p ξ,ξ(m) 2(m−1) 2являются случайными весами основных оценивателей функционалов отрешения уравнения (8.12):#" N#" ∞XX(m)(m)(m)(m) 2(m) 2H ξ,(χ, H) = EH ξ=E∆Q̄Q̄m=0m=0(8.14)где случайные величины (индикаторы обрыва траектории прикладнойцепи Маркова (7.22)) ∆(m) определяются соотношением (7.28).Заметим, что исходное уравнение ϕ̄ = K1 ϕ̄ + |f | является сопряженным (относительно функционала I¯|h| = (ϕ̄, |h|) = (ϕ̄∗ , |f |)) для уравнения ϕ̄∗ = K1∗ ϕ̄∗ + |h| и потому можно выписать следующий аналогформулы (8.9):"∗ϕ̄ (x̃) = E |h|(x̃) +ÑX(s) Q̃#(s) ˜h ξ;s=1(0)Q̃(s)≡ 1; Q̃(s−1)= Q̃ (s−1) (s) k ξ˜, ξ˜ × ;p ξ˜(s−1) , ξ˜(s)здесь прикладная цепь Маркова ξ˜(0) , ξ˜(1) , .

. . , ξ˜(Ñ ) «стартует» из точкиξ˜(0) ≡ x̃ и имеет переходную функцию p(x0 , x).Из последнего соотношения, взятого в случайной точке x̃ = ξ (m) ,получается равенство#" ∞(s) XQ̄E∆(s) (m) h ξ (s) ξ (0) , . . . , ξ (m) ; ∆(m) =Q̄s=m+1 = ∆(m) ϕ̄∗ ξ (m) − h ξ (m) .(8.15)Рассматривая конечные отрезки соответствующих бесконечных суммположительных слагаемых и применяя теорему Леви (утверждение7.1),а также учитывая соотношение (8.14) для H(x) = h2 (x) и122H(x)∆(m)2h(x) ϕ̄∗ (x) − h(x) , соотношение (8.15) и то, что=2= ∆(m) , получаем∞X"2Eζ̄ = E∆(m)(m) Q̄h ξ(m)#2" ∞#X2 2 (m) (m)(m) =E +h ξ∆Q̄m=0m=0∞∞XX"+2E(m)∆∞X"∆(s)(m)Q̄(s) Q̄h ξ(m)#(s) = (χ, |h|2 )+h ξm=0 s=m+1+22 E ∆(m) Q̄(m) h ξ (m) ×(8.16)m=0×E∞X∆(s)s=m+1∞X"2= (χ, |h| ) + 2E∆Q̄(s) (s) (0)hξξ , .

. . , ξ (m) ; ∆(m)Q̄(m)(m) (m) 2 Q̄h ξ(m)!#=# ∗ (m) (m) ϕ̄ ξ =− h ξm=0= (χ, |h|2 ) + 2 (χ, |h|[ϕ̄∗ − |h|]) = (χ, |h|[2ϕ̄∗ − |h|]) .Далее, по аналогии с доказательством утверждения 7.3, замечаем,что" n#2X2(n)(n)(m) (m)(m)ζ = lim Ξ , где Ξ =∆ Q h ξ.n→∞m=0Имеем (n) Ξ ≤ ζ̄ 2 и Eζ̄ 2 = (χ, |h|[2ϕ̄∗ − |h|]) < +∞,и поэтому, согласно теореме Лебега (утверждение 7.2) для соответствующей вероятностной меры µ(x), формулы и выкладки, аналогичные(8.14)–(8.16) для произвольных функций k(x0 , x), f (x) и h(x), дают соотношениеEζ 2 = (χ, h[2ϕ∗ − h]) ,и, с учетом того, что Eζ = Ih , имеем2Dζ = Eζ 2 − Eζ = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − Ih2 .Утверждение 8.2 доказано.123Аналогичным образом доказывается следующая теорема о дисперсии оценивателя (7.33).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.3 (см., например, [9]).

Если выполнены условияутверждения 8.2 и h2 (x)/p(a) (x) ∈ L∞ (X), то!2hDη = Eη 2 − (Eη)2 = χ, (a) − Ih2 ,(8.17)pгде функция χ(x) является решением уравнения (8.12).Таким образом, формулы (8.13) и (8.17), представляющие дисперсииоценивателей (7.25) и (7.33) функционала (7.5), являются намного болеесложными и менее приспособленными для конструктивных примененийна практике, чем соотношения (3.16), (4.2) для дисперсии оценивателямногократного интеграла (4.1).Иллюстрацией последнего комментария являются приводимые ниже(без доказательства) утверждения о минимальных дисперсиях оценивателей (7.25) и (7.33) (аналоги утверждения 4.1).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.4 [8]. В условиях утверждения 8.2 минимальная дисперсия (8.13) реализуется приπ (opt,ζ) (x) =|k(x0 , x)||g(x)||f (x)||g(x)|,; p(opt,ζ) =(|f |, |g|)[K̄ ∗ |g|](x0 )(8.18)где K̄ ∗ – интегральный оператор с ядром k̄ ∗ (x0 , x) = |k(x, x0 )|, а функция g(x) является решением следующего нелинейного интегральногоуравнения:"Z#212∗000g (x) = f (x)[2ϕ (x)−f (x)]+|k(x, x )||g(x )| dx .

(8.19)1 − p(a) (x) XУТВЕРЖДЕНИЕ 8.5 [8]. В условиях утверждения 8.3 минимальная дисперсия (8.17) реализуется приπ (opt,η) (x) =|f (x)||g(x)||k(x0 , x)||g(x)|; p(opt,η) =,g(x0 )(|f |, |g|)(8.20)где функция g(x) является решением уравнения (8.19).Для случая неотрицательных функций h(x), k(x0 , x) и f (x) (и, соответственно, ϕ(x) и ϕ∗ (x)) можно получить следующие аналоги утверждения 4.2 о нулевой дисперсии (4.2).124УТВЕРЖДЕНИЕ 8.6 (см., например, [9]). Если функции k(x0 , x), f (x)и h(x) неотрицательны и выполнены условия утверждения 8.2, тодисперсия (8.13) приπ (opt,ζ) (x) =f (x)g(x)k(x0 , x)g(x); p(opt,ζ) =(f, g)[K ∗ g](x0 )(8.21)для g(x) = ϕ∗ (x) равна нулю: Dζ = 0; здесь ϕ∗ (x) – решение уравнения(8.1).УТВЕРЖДЕНИЕ 8.7 (см., например, [9]). Если функции k(x0 , x), f (x)и h(x) неотрицательны и выполнены условия утверждения 8.3, тодисперсия (8.14) приπ (opt,η) (x) =k(x0 , x)g(x)f (x)g(x); p(opt,η) =(f, g)g(x0 )(8.22)для g(x) = ϕ∗ (x) равна нулю: Dη = 0.Заметим, что для неотрицательных функций h(x), k(x0 , x), f (x) и для(a)p (x) ≡ 0 функция g(x) = ϕ∗ (x) является решением уравнения (8.19).Функция g(x) из соотношений (8.18)–(8.22) называется функцией ценности, а выбор этой функции, обеспечивающий близость начальной плотности π(x) и переходной функции p(x0 , x) используемойприкладной цепи Маркова (7.22) к оптимальным выражениям (8.18),(8.20)–(8.22), определяет метод выборки по важности.Как и в случае вычисления интегралов (см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее