1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 20
Текст из файла (страница 20)
раздел 4), следует отметить, что в рамках применения метода выборки по важности нахождение оптимальной функции g(x) по сложности эквивалентно исходной задаче вычисления функционала. Поэтому в соотношениях (8.18), (8.20)–(8.22) в качестве g используют некоторое приближение этой функции:g̃(x) = (1 + ε(x))g(x), где |ε(x)| < δ.Например, в задаче переноса излучения через толстый слой вещества (см. раздел 6 данного пособия) в качестве g̃ используется экспоненциальная асимптотика решения соответствующей сопряженной задачи.Положительным свойством функции g из соотношений (8.18), (8.20)–(8.22) является то, что она может быть определена с точностью до постоянного множителя A (т. е.
использование g и Ag эквивалентно).При построении алгоритмов выборки по важности для случаяg(x) = ϕ∗ (x) (см. утверждения 8.6, 8.7) следует также учесть, что здесьP{N = ∞} = 1, и поэтому необходимо вводить слабое поглощение.125В заключение заметим, что для практического использования оценивателей (7.25) и (7.33) при приближении функционалов (7.5) от решения марковского уравнения (7.6) важным является то обстоятельство,что применение прямого моделирования дает конечную дисперсию: приπ(x) = f (x) и p(x0 , x) = k(x0 , x) имеем ϕ(x) ≡ ϕ̄(x) ≡ χ(x) иEζ 2 = (ϕ, h(2ϕ∗ − h)) ≤ kϕkL1 (X) khkL∞ (X) k2ϕ∗ − hkL∞ (X) < +∞;Eη 2 = (ϕ, h2 /pa ) ≤ kϕkL1 (X) kh2 /pa kL∞ (X) < +∞,а значит, и Dζ < +∞, Dη < +∞.8.6. Функциональные оцениватели. Кроме вычисления функционалов (7.6) определенный интерес вызывает задача приближениярешения ϕ(x) уравнения (7.7) на компактном множестве X̂ ⊆ Rd (см.,в частности, пример 7.1).Определенной трудностью при решении этой задачи является то обстоятельство, что приближаемая функция ϕ(x) задана в неявной (интегральной) форме (7.7) или (7.12).
Это означает невозможность явного (с использованием композиций элементарных функций) вычислениякак самой функции ϕ(x) в фиксированном наборе точекX(M ) = {x1 , ..., xM } ,(8.23)например, на аппроксимационной сетке (обозначим соответствующийнабор значений какϕ(M ) = {ϕ(x1 ), ..., ϕ(xM )}),(8.24)так и функционалов видаF(M ) =noϕ, χ(1) , ..., ϕ, χ(M ) ;ϕ, χ(i) def=Zϕ(y)χ(i) (y) dy (8.25)Xдля заданного набора «базисных» функцийnoΞ(M ) = χ(1) (x), ..., χ(M ) (x)(8.26)и достаточно большого M .Поэтому при построении алгоритмов аппроксимации функции ϕ(x)(мы будем называть их функциональными алгоритмами) предполагается численное приближение величин (8.24) и (или) (8.25). Особо126будут выделены рандомизированные функциональные алгоритмы, в которых величины (8.24) и (8.25) приближаются методом Монте-Карло.Для приближения функции ϕ(x) используем представления классической теории численной аппроксимации функций (см., например, [16]),имеющих общий видϕ(x) ≈ L(M ) ϕ(x) =MXw(i) χ(i) (x)(8.27)i=1для специально выбранного набора базисных функций (8.26) (вид этихфункций определяет тип аппроксимации (8.27)) и коэффициентовonW(M ) = w(1) , ..., w(M ) .(8.28)Выделим два типа функциональных алгоритмов, связанных с представлением (8.27): проекционные и сеточные численные методы.Для проекционных функциональных алгоритмов базисные функции(8.26) из аппроксимации (8.27) представляют собой отрезок ряда (длины M ) ортонормированных функций, для которыхZχ(i) , χ(j) =χ(i) (y)χ(j) (y) dy = δ (ij) ; i, j = 1, ..., M,X(ij)где δ– это символы Кронекера: δ (ii) = 1 и δ (ij) = 0 при i 6= j.Здесь коэффициенты (8.28) равны величинам (8.25), т.
е. являютсялинейными функционалами вида (7.6) от приближаемого решения ϕ(x)уравнения (7.7).На этой основе (с учетом алгоритма 7.1) можно построить следующий рандомизированный проекционный функциональный алгоритм.АЛГОРИТМ 8.2. Моделируем n траекторий (7.31) прикладной цепиМаркова (7.22) и вычисляем значенияw̃(i)n Nj1 X X (m) (i) (m) Q χ ξj; i = 1, ..., M=n j=1 m=0 j(m)(здесь веса Qj вычисляются по формулам (7.32)), а затем используем приближениеϕ(x) ≈ L(M ) ϕ̃(x) =MXi=1127w̃(i) χ(i) (x).(8.29)Идея алгоритма 8.2 была впервые предложена более полувека назад в работе А. С. Фролова и Н. Н.
Ченцова [27], но более или менее интенсивное применение (во всяком случае, в российской науке) эта идеянашла лишь в последнее время.Для сеточных функциональных алгоритмов коэффициенты (8.28)представляют собой некоторые комбинации значений (8.24) в точкахдостаточно регулярной сетки (8.23):w(i) = w(i) ϕ(M ) ; чаще всего w(i) = ϕ(xi ).(8.30)Далее мы рассмотрим ряд способов получения приближенийϕ̃(i) ≈ ϕ(xi ); i = 1, ..., M значений (8.24) функции ϕ(x) в узлах сетки(8.23) для последующего подсчета приближений коэффициентов (8.30)по формуламw̃(i) = w(i) ϕ̃(M ) или w̃(i) = ϕ̃(i) ,(8.31)с целью последующего применения окончательного приближения (8.29).Упомянем прежде всего метод зависимых испытаний, основанный на применении функционального локального оценивателя (8.8).АЛГОРИТМ 8.3 (см., например, [9, 26]). Моделируем n траекторий(7.31) прикладной цепи Маркова (7.22) и получаем значенияϕ̃(i) =n Nj1 X X (m)(m)Qj k ξj , xi + f (xi ); i = 1, ..., M,n j=1 m=0а затем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).Метод зависимых испытаний, обладая рядом несомненных преимуществ (простота построения, экономичность, сохранение гладкости решения для приближения (8.29), независимость погрешности от числаузлов сетки (8.23)), используется относительно редко, так как требуетповышенной гладкости ядра k(x0 , x) и свободного члена f (x) уравнения(7.7) по переменной x (см., в частности, [9, 26, 27]).Гораздо более широкое применение находит функциональный метод сопряженных блужданий, основанный на применении оценивателей вида (8.9).АЛГОРИТМ 8.4 (см., например, [9, 26]).
Для каждого узла xi ;i = 1, . . . , M сетки (8.23) моделируем n(i) траекторий(i)(i)(i,0)ξj(i,1)≡ xi , ξj, . . . , ξji,Nj −1, ξj128i,Nj; j = 1, . . . , n(i)(8.32)прикладной цепи Маркова с переходной функцией p(i) (x0 , x) и получаемзначение(i)(i)ϕ̃N(i)jn1 X X (i,m)(i,m) = (i)Qjf ξj+ f (xi ); i = 1, ..., M,n j=1 m=1где(i,m)(i,0)Qj≡ 1,(i,m)Qj=(i,m−1)Qj×k ξj(i,m−1) , ξj(i,m−1)p(i) ξj(i,m) ., ξjЗатем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).Весьма существенным недостатком алгоритма 8.4 является то обстоятельство, что для каждого xi ; i = 1, . .
. , M приходится моделироватьна ЭВМ индивидуальный набор траекторий (8.32).Наконец, крайне важной видится возможность рассмотрения модификации проекционного функционального алгоритма 8.2, в которойрассматриваются дополнительные финитные функции no(M )H X= h(x1 ) (x), ..., h(xM ) (x) ,(8.33)носители которых сосредоточены вблизи соответствующих узлов xi регулярной сетки (8.23) так, чтоZϕ(x)h(xi ) (x) dx ≈ ϕ(xi ).(8.34)XСоотношения (8.34) позволяют приближенно вычислять значения(8.24) решения ϕ(x) уравнения (7.7) в узлах сетки (8.23), используясоответствующие варианты основного весового оценивателя (7.25).АЛГОРИТМ 8.5 [26]. Моделируем n траекторий (7.31) прикладнойцепи Маркова (7.22) и получаем значенияϕ̃(i) =n Nj1 X X (m) (xi ) (m) Q hξj; i = 1, ..., Mn j=1 m=0 j(m)(здесь веса Qj вычисляются по формулам (7.32)).Затем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).129Алгоритм 8.5 назовем проекционно-сеточным функциональным методом (терминология здесь несколько отличается от книги[18], где проекционно-сеточными называются алгоритмы, соответствующие сеточным методам типа алгоритмов 8.3 и 8.4).В книге [26] и статье [28] проекционно-сеточный функциональныйалгоритм 8.5 построен и исследован для случая, когда функции (8.33)являются кусочно-постоянными, а в качестве функций (8.26) представлен базис Стренга – Фикса с производящими функциями, являющимися B-сплайнами нулевого и первого порядка (см.
[18], а также формулу(8.37)); при этом получаются метод гистограмм и многомерный аналогметода полигона частот соответственно.Отметим также возможности построения сеточных алгоритмов численного решения уравнения (7.7), основанных на применении детерминированных и рандомизированных квадратурных и (или) кубатурных формул как для непосредственногоR подсчета интегралов (7.15), таки для приближения первого члена X k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 в правой частиуравнения (7.7), но эти вычислительные конструкции являются крайненеэффективными для решения практически важных интегральных уравнений.8.7. Условная оптимизация функциональных алгоритмов.Определенным «слабым» (неразработанным) свойством проекционныхфункциональных алгоритмов (типа алгоритма 8.2) является отсутствиесоображений теории условной оптимизации (см., в частности, [9, 26]).В этой теории речь идет о согласованном выборе параметров M(число узлов (8.23) и базисных функций (8.26)) и n (число реализуемых на компьютере траекторий прикладной цепи Маркова) используемых функциональных алгоритмов, обеспечивающем заданный уровеньпогрешности (обозначим его γ) при минимальных вычислительных затратах S(M, n).Строится верхняя граница U P (M, n) погрешности алгоритма δ(M, n),зависящая от параметров M и n:δ(M, n) ≤ U P (M, n).Эта функция двух переменных приравнивается величине γ.Из уравнения видаU P (M, n) = γ(8.35)(8.36)один из параметров (например, n) выражается через другой: n = ψ(M ).130Это соотношение подставляется в выражение для затрат S(M, n)(которое тоже зависит от параметров M и n; как правилоS(M, n) = H × M × n; H = const).В результате получается функция S̃(M ) одного переменного M , которая исследуется на минимум с помощью известных приемов математического или численного анализа.Найденные значения Mmin (γ), n = ψ[Mmin (γ)] объявляются условно-оптимальными параметрами соответствующего функционального алгоритма.«Условность» такого способа оптимизации связана с тем, что в левой части уравнения вида (8.36) используется не сама погрешность алгоритма δ(M, n), а ее верхняя граница U P (M, n) (а вдруг эта границанеточная, грубая?!).ПРИМЕР 8.1 (см., например, [9, 26]).