Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 20

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 20 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 202021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

раздел 4), следует отметить, что в рамках применения метода выборки по важности нахождение оптимальной функции g(x) по сложности эквивалентно исходной задаче вычисления функционала. Поэтому в соотношениях (8.18), (8.20)–(8.22) в качестве g используют некоторое приближение этой функции:g̃(x) = (1 + ε(x))g(x), где |ε(x)| < δ.Например, в задаче переноса излучения через толстый слой вещества (см. раздел 6 данного пособия) в качестве g̃ используется экспоненциальная асимптотика решения соответствующей сопряженной задачи.Положительным свойством функции g из соотношений (8.18), (8.20)–(8.22) является то, что она может быть определена с точностью до постоянного множителя A (т. е.

использование g и Ag эквивалентно).При построении алгоритмов выборки по важности для случаяg(x) = ϕ∗ (x) (см. утверждения 8.6, 8.7) следует также учесть, что здесьP{N = ∞} = 1, и поэтому необходимо вводить слабое поглощение.125В заключение заметим, что для практического использования оценивателей (7.25) и (7.33) при приближении функционалов (7.5) от решения марковского уравнения (7.6) важным является то обстоятельство,что применение прямого моделирования дает конечную дисперсию: приπ(x) = f (x) и p(x0 , x) = k(x0 , x) имеем ϕ(x) ≡ ϕ̄(x) ≡ χ(x) иEζ 2 = (ϕ, h(2ϕ∗ − h)) ≤ kϕkL1 (X) khkL∞ (X) k2ϕ∗ − hkL∞ (X) < +∞;Eη 2 = (ϕ, h2 /pa ) ≤ kϕkL1 (X) kh2 /pa kL∞ (X) < +∞,а значит, и Dζ < +∞, Dη < +∞.8.6. Функциональные оцениватели. Кроме вычисления функционалов (7.6) определенный интерес вызывает задача приближениярешения ϕ(x) уравнения (7.7) на компактном множестве X̂ ⊆ Rd (см.,в частности, пример 7.1).Определенной трудностью при решении этой задачи является то обстоятельство, что приближаемая функция ϕ(x) задана в неявной (интегральной) форме (7.7) или (7.12).

Это означает невозможность явного (с использованием композиций элементарных функций) вычислениякак самой функции ϕ(x) в фиксированном наборе точекX(M ) = {x1 , ..., xM } ,(8.23)например, на аппроксимационной сетке (обозначим соответствующийнабор значений какϕ(M ) = {ϕ(x1 ), ..., ϕ(xM )}),(8.24)так и функционалов видаF(M ) =noϕ, χ(1) , ..., ϕ, χ(M ) ;ϕ, χ(i) def=Zϕ(y)χ(i) (y) dy (8.25)Xдля заданного набора «базисных» функцийnoΞ(M ) = χ(1) (x), ..., χ(M ) (x)(8.26)и достаточно большого M .Поэтому при построении алгоритмов аппроксимации функции ϕ(x)(мы будем называть их функциональными алгоритмами) предполагается численное приближение величин (8.24) и (или) (8.25). Особо126будут выделены рандомизированные функциональные алгоритмы, в которых величины (8.24) и (8.25) приближаются методом Монте-Карло.Для приближения функции ϕ(x) используем представления классической теории численной аппроксимации функций (см., например, [16]),имеющих общий видϕ(x) ≈ L(M ) ϕ(x) =MXw(i) χ(i) (x)(8.27)i=1для специально выбранного набора базисных функций (8.26) (вид этихфункций определяет тип аппроксимации (8.27)) и коэффициентовonW(M ) = w(1) , ..., w(M ) .(8.28)Выделим два типа функциональных алгоритмов, связанных с представлением (8.27): проекционные и сеточные численные методы.Для проекционных функциональных алгоритмов базисные функции(8.26) из аппроксимации (8.27) представляют собой отрезок ряда (длины M ) ортонормированных функций, для которыхZχ(i) , χ(j) =χ(i) (y)χ(j) (y) dy = δ (ij) ; i, j = 1, ..., M,X(ij)где δ– это символы Кронекера: δ (ii) = 1 и δ (ij) = 0 при i 6= j.Здесь коэффициенты (8.28) равны величинам (8.25), т.

е. являютсялинейными функционалами вида (7.6) от приближаемого решения ϕ(x)уравнения (7.7).На этой основе (с учетом алгоритма 7.1) можно построить следующий рандомизированный проекционный функциональный алгоритм.АЛГОРИТМ 8.2. Моделируем n траекторий (7.31) прикладной цепиМаркова (7.22) и вычисляем значенияw̃(i)n Nj1 X X (m) (i) (m) Q χ ξj; i = 1, ..., M=n j=1 m=0 j(m)(здесь веса Qj вычисляются по формулам (7.32)), а затем используем приближениеϕ(x) ≈ L(M ) ϕ̃(x) =MXi=1127w̃(i) χ(i) (x).(8.29)Идея алгоритма 8.2 была впервые предложена более полувека назад в работе А. С. Фролова и Н. Н.

Ченцова [27], но более или менее интенсивное применение (во всяком случае, в российской науке) эта идеянашла лишь в последнее время.Для сеточных функциональных алгоритмов коэффициенты (8.28)представляют собой некоторые комбинации значений (8.24) в точкахдостаточно регулярной сетки (8.23):w(i) = w(i) ϕ(M ) ; чаще всего w(i) = ϕ(xi ).(8.30)Далее мы рассмотрим ряд способов получения приближенийϕ̃(i) ≈ ϕ(xi ); i = 1, ..., M значений (8.24) функции ϕ(x) в узлах сетки(8.23) для последующего подсчета приближений коэффициентов (8.30)по формуламw̃(i) = w(i) ϕ̃(M ) или w̃(i) = ϕ̃(i) ,(8.31)с целью последующего применения окончательного приближения (8.29).Упомянем прежде всего метод зависимых испытаний, основанный на применении функционального локального оценивателя (8.8).АЛГОРИТМ 8.3 (см., например, [9, 26]). Моделируем n траекторий(7.31) прикладной цепи Маркова (7.22) и получаем значенияϕ̃(i) =n Nj1 X X (m)(m)Qj k ξj , xi + f (xi ); i = 1, ..., M,n j=1 m=0а затем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).Метод зависимых испытаний, обладая рядом несомненных преимуществ (простота построения, экономичность, сохранение гладкости решения для приближения (8.29), независимость погрешности от числаузлов сетки (8.23)), используется относительно редко, так как требуетповышенной гладкости ядра k(x0 , x) и свободного члена f (x) уравнения(7.7) по переменной x (см., в частности, [9, 26, 27]).Гораздо более широкое применение находит функциональный метод сопряженных блужданий, основанный на применении оценивателей вида (8.9).АЛГОРИТМ 8.4 (см., например, [9, 26]).

Для каждого узла xi ;i = 1, . . . , M сетки (8.23) моделируем n(i) траекторий(i)(i)(i,0)ξj(i,1)≡ xi , ξj, . . . , ξji,Nj −1, ξj128i,Nj; j = 1, . . . , n(i)(8.32)прикладной цепи Маркова с переходной функцией p(i) (x0 , x) и получаемзначение(i)(i)ϕ̃N(i)jn1 X X (i,m)(i,m) = (i)Qjf ξj+ f (xi ); i = 1, ..., M,n j=1 m=1где(i,m)(i,0)Qj≡ 1,(i,m)Qj=(i,m−1)Qj×k ξj(i,m−1) , ξj(i,m−1)p(i) ξj(i,m) ., ξjЗатем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).Весьма существенным недостатком алгоритма 8.4 является то обстоятельство, что для каждого xi ; i = 1, . .

. , M приходится моделироватьна ЭВМ индивидуальный набор траекторий (8.32).Наконец, крайне важной видится возможность рассмотрения модификации проекционного функционального алгоритма 8.2, в которойрассматриваются дополнительные финитные функции no(M )H X= h(x1 ) (x), ..., h(xM ) (x) ,(8.33)носители которых сосредоточены вблизи соответствующих узлов xi регулярной сетки (8.23) так, чтоZϕ(x)h(xi ) (x) dx ≈ ϕ(xi ).(8.34)XСоотношения (8.34) позволяют приближенно вычислять значения(8.24) решения ϕ(x) уравнения (7.7) в узлах сетки (8.23), используясоответствующие варианты основного весового оценивателя (7.25).АЛГОРИТМ 8.5 [26]. Моделируем n траекторий (7.31) прикладнойцепи Маркова (7.22) и получаем значенияϕ̃(i) =n Nj1 X X (m) (xi ) (m) Q hξj; i = 1, ..., Mn j=1 m=0 j(m)(здесь веса Qj вычисляются по формулам (7.32)).Затем вычисляем коэффициенты (8.30) по формулам (8.31) и используем приближение (8.29).129Алгоритм 8.5 назовем проекционно-сеточным функциональным методом (терминология здесь несколько отличается от книги[18], где проекционно-сеточными называются алгоритмы, соответствующие сеточным методам типа алгоритмов 8.3 и 8.4).В книге [26] и статье [28] проекционно-сеточный функциональныйалгоритм 8.5 построен и исследован для случая, когда функции (8.33)являются кусочно-постоянными, а в качестве функций (8.26) представлен базис Стренга – Фикса с производящими функциями, являющимися B-сплайнами нулевого и первого порядка (см.

[18], а также формулу(8.37)); при этом получаются метод гистограмм и многомерный аналогметода полигона частот соответственно.Отметим также возможности построения сеточных алгоритмов численного решения уравнения (7.7), основанных на применении детерминированных и рандомизированных квадратурных и (или) кубатурных формул как для непосредственногоR подсчета интегралов (7.15), таки для приближения первого члена X k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 в правой частиуравнения (7.7), но эти вычислительные конструкции являются крайненеэффективными для решения практически важных интегральных уравнений.8.7. Условная оптимизация функциональных алгоритмов.Определенным «слабым» (неразработанным) свойством проекционныхфункциональных алгоритмов (типа алгоритма 8.2) является отсутствиесоображений теории условной оптимизации (см., в частности, [9, 26]).В этой теории речь идет о согласованном выборе параметров M(число узлов (8.23) и базисных функций (8.26)) и n (число реализуемых на компьютере траекторий прикладной цепи Маркова) используемых функциональных алгоритмов, обеспечивающем заданный уровеньпогрешности (обозначим его γ) при минимальных вычислительных затратах S(M, n).Строится верхняя граница U P (M, n) погрешности алгоритма δ(M, n),зависящая от параметров M и n:δ(M, n) ≤ U P (M, n).Эта функция двух переменных приравнивается величине γ.Из уравнения видаU P (M, n) = γ(8.35)(8.36)один из параметров (например, n) выражается через другой: n = ψ(M ).130Это соотношение подставляется в выражение для затрат S(M, n)(которое тоже зависит от параметров M и n; как правилоS(M, n) = H × M × n; H = const).В результате получается функция S̃(M ) одного переменного M , которая исследуется на минимум с помощью известных приемов математического или численного анализа.Найденные значения Mmin (γ), n = ψ[Mmin (γ)] объявляются условно-оптимальными параметрами соответствующего функционального алгоритма.«Условность» такого способа оптимизации связана с тем, что в левой части уравнения вида (8.36) используется не сама погрешность алгоритма δ(M, n), а ее верхняя граница U P (M, n) (а вдруг эта границанеточная, грубая?!).ПРИМЕР 8.1 (см., например, [9, 26]).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее