1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 18
Текст из файла (страница 18)
алгоритм 1.1из подраздела 1.4 данного пособия).АЛГОРИТМ 7.1 (см., например, [9, 13]). Моделируем n траекторий(0)(Nj −1)(1)ξj , ξj , . . . , ξj(Nj ), ξj; j = 1, . . . , n(7.31)прикладной цепи Маркова (7.22) с начальной плотностью π(x) и переходной функцией p(x0 , x) вида (7.23) согласно алгоритму 2.8 и вычисляем среднее арифметическое вида (1.1):Ih ≈Zn(ζ)NjXζ1 + · · · + ζn(m)(m) Qj h ξj,, где ζj ==nm=0 (m)а случайные веса Qj ; m = 0, 1, . . . , Nj ; j = 1, . .
. , n подсчитываются по рекуррентным формулам вида (7.26):(0) (0)Qj=f ξj(0) π ξj;(m)Qj=(m−1)Qj×(m−1), ξj(m−1), ξjk ξjp ξj(m) (m) .(7.32)Таким образом, нам удалось построить численный метод для приближенного вычисления функционала (7.6), представляющего собой бесконечную сумму (7.14) интегралов возрастающей кратности (7.15).7.5. Оцениватель по поглощениям. Другой стандартной монтекарловской оценкой для функционала Ih = (ϕ, h) из (7.6) является случайная величинаQ(N ) h ξ (N )η = (a) (N ) ,(7.33)pξкоторая называется оценивателем по поглощениям.113УТВЕРЖДЕНИЕ 7.4 (см., например, [9]).
Если выполнены условияутверждения 7.3, а такжеp(a) (x) 6= 0 при h(x) 6= 0,то Eη = Ih .Доказательство утверждения 7.4 проводится в точности так же, какдоказательство утверждения 7.3 с заменой соотношений (7.27) и (7.30)на соотношения∞X∆(m) − ∆(m+1) Q̄(m) h ξ (N ) иη̄ =p(a) ξ (N )m=0∞X∆(m) − ∆(m+1) Q(m) h ξ (N )η=p(a) ξ (N )m=0соответственно.АЛГОРИТМ 7.2 (см., например, [9]). Моделируем n траекторий(7.31) прикладной цепи Маркова (7.22) с начальной плотностью π(x)и переходной функцией p(x0 , x) вида (7.23) согласно алгоритму 2.8 ивычисляем среднее арифметическое вида (1.1):(N )(N ) Qj j h ξj jη1 + · · · + ηn(η), где ηj =,Ih ≈ Zn =(N ) np(a) ξ jj(N )Qj j ;а случайные весаj = 1, ..., n подсчитываются по рекуррентнымформулам (7.32).Основной оцениватель (7.25) и соответствующий ему алгоритм 7.1позволяет учесть больше информации о траекториях (7.31) прикладнойцепи Маркова (7.22), чем оцениватель по поглощениям (7.33) и алгоритм 7.2. Отметим также, что рассмотренные в разделе 6 алгоритм 6.2и оценка (6.46) являются частными случаями алгоритма 7.2 и оценки(7.33) для оценки P = Iˆh = (ψ, h) – доли «физических» траекторий(полученных с помощью прямого моделирования – см.
подраздел 8.3),имеющих состояния поглощения внутри рассматриваемой области G;здесь ψ(x) – решение марковского интегрального уравнения (7.3) с ядром (6.45) и свободным членом (6.43), а функция h(x) имеет вид (6.46).Величину P = Iˆh = (ψ, h) можно (и даже целесообразно) подсчитывать и с помощью использования основного оценивателя (7.25) и алгоритма 7.1 (из общих «физических» соображений такая возможность нестоль очевидна).1148. Использование и оптимизация алгоритмас основным оценивателем. Функциональныеалгоритмы8.1. Сопряженное интегральное уравнение. Двойственноепредставление функционала.
Метод сопряженных блужданий.При использовании оценивателей вида (7.25) или (7.33) может оказаться полезным следующее соображение (см., например, [9]).Помимо уравнения ϕ = Kϕ + f из (7.7) целесообразно рассмотретьсопряженное (относительно функционала Ih = (ϕ, h) из (7.6)) интегральное уравнениеZk ∗ (x0 , x)ϕ∗ (x0 ) dx0 + h(x) или ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + h;(8.1)ϕ∗ (x) =X∗здесь ϕ , h ∈ L∞ (X), а ядро k ∗ (x0 , x) интегрального оператора K ∗ таково, что k ∗ (x0 , x) = k(x, x0 ), где k(x0 , x) – ядро исходного интегральногоуравнения (7.7).Справедливо следующее двойственное представление функционала (7.6):Ih = (ϕ, h) = (ϕ∗ , f ),(8.2)где ϕ(x) – решение, а f (x) – свободный член исходного интегральногоуравнения (7.7).Для обоснования формулы (8.2) заметим, что непосредственно изуравнений (7.7) и (8.1) получаются равенства:(ϕ, ϕ∗ ) = (Kϕ, ϕ∗ ) + (f, ϕ∗ ) = (ϕ, K ∗ ϕ∗ ) + (ϕ, h).(8.3)Кроме того заметим, чтоZ Z∗000(Kϕ, ϕ ) =k(x , x)ϕ(x ) dx ϕ∗ (x) dx =XZ=0Zk (x, x )ϕ (x) dx dx0 = (ϕ, K ∗ ϕ∗ ).∗ϕ(x )XX0∗(8.4)XИз соотношений (8.3), (8.4) следует равенство (8.2).Таким образом, вместо оценивателя (7.25) для функционала (8.2)можно использовать случайную величину∗∗ζ =NXQ∗(m) f ξ ∗(m)m=0115(8.5)и следующий аналог алгоритма 7.1, который называют методом сопряженных блужданий.АЛГОРИТМ 8.1 (см., например, [9, 13]).
Моделируем n траекторий∗(0)ξj∗(1), ξj∗(Nj∗ −1), . . . , ξj∗(Nj∗ ), ξj; j = 1, . . . , n(8.6)прикладной цепи Маркова с начальной плотностью π ∗ (x) и переходнойфункцией p∗ (x0 , x) согласно алгоритму 2.8 и вычисляем среднее арифметическое вида (1.1):N∗Ih ≈jXζ ∗ + · · · + ζn∗∗(m)∗(m) , где ζj∗ == 1Qj f ξj,nm=0∗Zn(ζ ) ∗(m)а веса Qj ; m = 0, 1, . . .
, Nj∗ ; j = 1, . . . , n подсчитываются по рекуррентным формулам вида (7.32):∗(0)Qj∗(0) =h ξj∗(0) π ∗ ξj∗(m);∗(m)Qj=∗(m−1)Qj×k ξj∗(m−1) , ξj∗(m−1)p∗ ξj∗(m) .(8.7), ξj8.2. Локальные оцениватели. В ряде задач (см., например,[9, 26], а также пример 7.1 и подраздел 8.6 данного пособия) требуетсяполучать значение самого решения ϕ(x) в заданной точке x̃.Здесь можно использовать оцениватели (7.25) и (8.5) следующимидвумя способами (см., например, [9]).Первый способ связан с рассмотрением функционального локального оценивателя видаϕ(x̃) = Eζ(x̃); ζ(x̃) =NXQ(m) k ξ (m) , x̃ + f (x̃),(8.8)m=0где ξ (0) , ξ (1) , . .
. , ξ (N ) – это прикладная цепь Маркова (7.22), а веса Q(m)имеют вид (7.26).Идея построения оценивателя (8.8) состоит в том, что первое слагаемое в правой части интегрального уравнения (7.7) имеет вид функционала (7.6):Zk(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 = Ihx = (ϕ, hx ); hx (x0 ) = k(x0 , x).X116Важным положительным качеством оценивателя (8.8) является то,что он позволяет получать приближения значений функции ϕ(x) одновременно в нескольких точках.Однако препятствием к широкому использованию оценивателя (8.8)является то, что в нем требуется осуществлять непосредственное вычисление ядра k(x0 , x), а это на практике затруднено или невозможно из-заналичия интегрируемых особенностей (например, дельта-функций, какв ядре (6.45) марковского интегрального уравнения переноса частицили в ядре (7.9) интегрального уравнения, получающегося при решении задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца).Вторая идея вычисления значения ϕ(x̃) состоит в формальном представлении этого значения в виде функционала (7.6):Zϕ(x̃) = ϕ, ĥx̃ =ϕ(x)ĥx̃ (x) dx; ĥx̃ (x) = δ(x − x̃).XОцениватель (7.25) для такого функционала непосредственноне применим из-за необходимости вычисления значений ĥx̃ ξ (m) .Можно попытаться применить двойственное представление (8.2) иоцениватель (8.5), но и здесь дельта-функция δ(x − x̃) сохраняется в∗(0)начальных весах Qj из (8.7).Положение спасают соображения о включении особенности в плотность (см.
подраздел 4.3 данного пособия). Выберем в качестве начальной плотности сопряженного блуждания π ∗ (x) = δ(x − x̃). При этомξ ∗(0) ≡ x̃ и Q∗(0) ≡ 1.Таким образом, получаем локальный оцениватель метода сопряженных блужданий∗ϕ(x̃) = Eζ∗(x̃); ζ∗(x̃)= f (x̃) +NXQ̃∗(m) f ξ˜∗(m) ;(8.9)m=1∗ здесь ξ˜∗(0) , ξ˜∗(1) , . . . , ξ˜∗(N ) – прикладная цепь Маркова с начальнымсостоянием ξ ∗(0) ≡ x̃ и переходнойфункцией p∗ (x0 , x), а случайные весаQ̃∗(m) ; m = 0, 1, . .
. , N ∗ имеют видk ξ˜∗(m) , ξ˜∗(m−1)∗(0)∗(m)∗(m−1)Q̃≡ 1; Q̃= Q̃×.p∗ ξ˜∗(m−1) , ξ˜∗(m)В отличие от случайной величины (8.8), оцениватель (8.9) позволяетстроить аналог алгоритма 8.1 для приближения только одного значения ϕ(x̃). Тем не менее имеются практически значимые применения117Рис. 8.1. Применение метода сопряженных блужданий (8.9): процесс«блуждания по сферам»оценивателя (8.9). В частности, на рис. 8.1 показана схема алгоритма«блуждания по сферам», представляющего собой частный случай аналога алгоритма 8.1 с оценивателем (8.9) и предназначенного для решения краевых задач типа (7.8) (см. пример 7.1).8.3.
Использование прямого моделирования. Включениеособенностей свободного члена и ядра интегральногоуравнения в начальную плотность и переходную функциюиспользуемой прикладной цепи Маркова. Несмотря на отмеченное в подразделе 7.2 разнообразие прикладных (практически значимых)интегральных уравнений вида (7.7), особое место во многих важныхприложениях занимает оценка функционалов вида (7.5) от решениямарковских интегральных уравнений (7.3), для которыхf (x) = π(x),k(x0 , x) = p(x0 , x),(8.10)и поэтому ϕ(x) = ψ(x) (см., в частности, практически важную модельпереноса частиц, представленную в разделе 6 данного пособия).В этом случае при использовании прикладной цепи Маркова (7.22)с распределением (8.10) для построения оценивателей (7.25) и (7.33)получается ситуация прямого моделирования, при которой все слу-118чайные веса (7.26) равны единице иIh = Eζ̂ = Eη̂; ζ̂ =NXh ξ(m)m=0h ξ (N ); η̂ = (a) (N ) .pξ(8.11)В частности, оценка (6.46) является оценивателем (монте-карловскойоценкой) по поглощениям η̂ из (8.11) для вычисления величины Iˆh = Pс помощью алгоритма 6.2 для случая прямого моделирования (8.10).Определенной ценностью представленной в разделе 7 теории весовых оценивателей (7.25) и (7.33) состоит в том, что даже если свободныйчлен f (x) и ядро k(x0 , x) исходного уравнения (7.7) являются начальнойплотностью и переходной функцией некоторой прикладной цепи Маркова соответственно (а значит, уравнение (7.7) является марковским),но при этом моделирование траекторий этой цепи Маркова согласно алгоритму 2.8 затруднено, то можно использовать другую, удобную длямоделирования, прикладную цепь Маркова (7.22), при этом отличие отпрямого моделирования будет компенсироваться не единичными случайными весами в оценивателях (7.25), (7.33).Однако произвол в выборе цепи (7.22) существенно ограничен в весьма распространенном на практике случае, когда функции f (x) и k(x0 , x)имеют особенности.
Примерами такой ситуации являются, например,факты наличия дельта-функций в ядре (6.45) марковского интегрального уравнения переноса частиц и в ядре (7.9) интегрального уравнения,получающегося при решении задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.Упомянутые особенности отражают определенные «физические характеристики» моделируемых процессов. В частности, дельта-функция(6.36) из ядра (6.45) марковского интегрального уравнения переносачастиц (7.3) отражает прямолинейность движения фотона, а дельтафункция из ядра (7.9) подчеркивает то, что соответствующая функцияГрина рассматривается на поверхности сферы.Эти «физические особенности» должны учитываться при выбореприкладной цепи Маркова (7.22) для успешной реализации алгоритмов 7.1, 7.2, в первую очередь, для корректного подсчета весов (7.32).Конкретнее, нужно использовать соображения включения особенностив плотность (см.