Главная » Просмотр файлов » 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b

1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 14

Файл №844202 1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (Войтишек - Лекции по численным методам Монте-Карло) 14 страница1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202) страница 142021-07-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Действительно,(−1)ρi(0)= c + ξ 1,i и ω i=ξ 2,i,kξ 2,i k(6.10)где ξ 1,i , ξ 2,i – выборочные значения случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) ,равномерно распределенного в шаре B (3,0,R) согласно плотности31при (u, v, w) ∈ B (3,0,R) ,= 4πR3B̄ (3,0,R)(6.11)fξ (u, v, w) =0 иначе;это частный случай плотности (6.8) для d = 3.6.4. Моделирование точки, равномерно распределенной вмногомерном шаре. В связи с утверждением 6.1 и формулами (6.10),(6.11) рассмотрим следующую проблему.ПРОБЛЕМА 6.1. Построить алгоритм численного моделирования(1)(d) выборочных значений ξ0 , ..., ξ0 случайного вектора ξ = ξ (1) , ..., ξ (d) ,равномерно распределенного в шаре B (d,0,R) (см.

соотношение (6.7)) согласно плотности (6.8).Заметим, что уже начиная с размерности d = 2 (в том числе длянужного нам случая d = 3 – см. формулы (6.10), (6.11)) решение проблемы 6.1 непосредственно в декартовых координатах не получается.Действительно, рассмотрим случайную точку ξ = ξ (1) , ξ (2) , равномерно распределенную в круге B (2,0,R) (см. формулу (6.7)). Это означает, что совместная плотность распределения вектора ξ имеет вид11при (u, v) ∈ B (2,0,R) ,= πR2B̄ (2,0,R)fξ (u, v) =(6.12)0 иначе;здесь B̄ (2,0,R) = πR2 – площадь круга B (2,0,R) .Рассмотрим одно из двух (эквивалентных, в силу симметрии графика функции (6.12) относительно осей координат 0u и 0v) разложенийвида (2.4), (2.5) и (2.6), (2.7) для плотности (6.12):fξ (u, v) = fξ(1) (u) × fξ(2) (v|u),86где√Zfξ(1) (u) =fξ(2) (v|u) =R2 −u2√− R2 −u2fξ (u, v)fξ(1) (u)2 p 2dv=R − u2 , −R < u < R;πR2πR2≡√(6.13)pp2, − R2 − u2 < v < R2 − u2 .

(6.14)R2 − u2Для каждого фиксированного u ∈ (−R, R) плотность (6.14) являетсяэлементарной:√ это плотность равномерного распределения в интервале√(− R2 − u2 , R2 − u2 ) с моделирующей формулойpp(2)ξ0 = − R2 − u2 + 2 R2 − u2 α2 ,см. табличную формулу (2.23); здесь α2 ∈ U (0, 1) – стандартное случайное число.Однако плотность (6.13) не является элементарной, так как уравнение метода обратной функции распределения (2.16) для этой плотности2πR2Z(1)ξ0pR2 − u2 du = α1 ,−Rгде α1 ∈ U (0, 1), сводится к соотношению(1)ξ0qR2−(1) 2ξ0(1)2+ R arcsinξ0R!+πR2= πR2 α1 ,2(1)которое неразрешимо в элементарных функциях относительно ξ0 .Таким образом, уже для d = 2 справедливо следующее замечание.ЗАМЕЧАНИЕ 6.1.

Прямое применение алгоритма 2.3 для моделирования случайной точки, равномерно распределенной в d-мерном шареB (d,0,R) , d > 1, не дает экономичных моделирующих формул метода обратной функции распределения для всех без исключения компонент этойточки.Для преодоления возникшей трудности можно использовать следующий факт.УТВЕРЖДЕНИЕ 6.2 (теорема о замене случайных переменных; см.,например, [9, 13]). Пусть y = Φ(x) илиy (i) = Φ(i) x(1) , . . . , x(d) , i = 1, . . . , d −(6.15)87это взаимно-однозначное дифференцируемоеобласти A отображениев пространстве с координатами {x(i) } = x(1) , . . .

, x(d) на область Bв пространстве с координатами {y (j) } = y (1) , . . . , y (d) . Если плотность случайного вектора ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) в A равна fξ x(1) , . . . , x(d) ,то плотность распределения случайного вектораθ = θ(1) , . . . , θ(d) = Φ(ξ) ∈ B, где θ(i) = Φ(i) ξ (1) , .

. . , ξ (d) , (6.16)имеет видfθ y (1) , . . . , y (d) = fθ (y) = ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) = fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) .(1)(d)∂ y ,...,y(6.17)В правой части последнего соотношения (6.17) компоненты x(i) долж ∂ (x(1) (y),...,x(d) (y)) (1)(d) естьны быть выражены через y = y , . . . , y, а ∂ y(1) ,...,y(d)() якобиан перехода от координат {x(i) } к координатам {y (j) } – обратного к отображению Φ, описываемому соотношением (6.15).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть B 0 – произвольное борелевское подмножество области B, а A0 – его прообраз для рассматриваемого отображения Φ, описываемого соотношением (6.15). По правилу замены переменных под знаком интеграла имеемZP{ξ ∈ A0 } =fξ x(1) , . . . , x(d) dx(1) .

. . dx(d) =A0 ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) (1)=fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) dy . . . dy (d) .(1)(d)∂ y ,...,yB0ZВ силу взаимной однозначности преобразования (6.15) имеем такжеZP{ξ ∈ A0 } = P{θ ∈ B 0 } =fθ y (1) , . . . , y (d) dy (1) . . . dy (d) .B0Итак, для произвольного борелевского множества B 0 ⊆ B имеемZfθ y (1) , . . . , y (d) dy (1) . . .

dy (d) =B0 ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) (1)=fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) dy . . . dy (d) ,(1)(d)∂ y ,...,yB0Z88а значит, справедливо соотношение (6.17). Утверждение 6.2 доказано.В обозначениях, используемых в формулировке утверждения 6.2,введем следующее понятие.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Взаимно-однозначное отображение Φ, описываемое соотношением (6.15), назовем вычислимым моделируемым преобразованием декартовыхкоординат для случайноговектора ξ = ξ (1) , .

. . , ξ (d) с заданной совместной плотностьюf x(1) , . . . , x(d) , если в декартовых координатах x(i) для вектора ξне удается построить разложение (2.11) с моделируемыми(элементарными) условными плотностями fξ(i1 ) x(i1 ) , fξ(i2 ) x(i2 ) |x(i1 ) , . . . ,fξ(id ) x(id ) |x(i1 ) , x(i2 ) , . . . , x(id−1 ) (и соответствующий эффективныйалгоритм 2.3), а для вектора θ = Φ(ξ) вида (6.16) такие разложение и эффективный вариант алгоритма 2.3 построить удается; кроме того, обратное к (6.15) отображение можно представить в видевычислимых на компьютере композиций элементарных функций:x(i) = Φ(i)−1y (1) , .

. . , y (d) , i = 1, . . . , d.(6.18)Отметим, что построение вычислимых моделируемых преобразований декартовых координат для случайных векторов ξ с различнымимногомерными распределениями представляет собой содержательную(часто непростую) исследовательскую задачу.В частности, для рассматриваемой намипроблемы 6.1 вычислимыемоделируемые преобразования Φ(x) = Φ(i) x(1) , . . .

, x(d) } вида (6.15)следует искать среди преобразований, дающих аналитическое описаниемногомерного шара B (d,0,R) из соотношения (6.7).Единственным известным преобразованием Φ(x) такого рода является переход от декартовых координат x(i) к гиперсферическимкоординатам {r, φ} = r, φ(1) , . .

. , φ(d−1) . Обратное к Φ(x) преобразование вида (6.18) описывается известными формулами (см., например, [21]):x(1) = r sin φ(1) sin φ(2) × · · · × sin φ(d−1) ,...x(i)= r cos φ(i−1)sin φ(i)× · · · × sin φ(d−1) ; i = 2, . . . , d − 1,(6.19)...x(d)= r cos φ(d−1); r ≥ 0; 0 ≤ φ(1)< 2π, 0 ≤ φ(i) < π, i = 2, . . . , d − 1.89Якобиан этого (обратного к Φ(x)) преобразования равен ∂ x(1) (r, φ), . .

. , x(d) (r, φ) = rd−1 sin φ(2) sin2 φ(3) × · · · × sind−2 φ(d−1) .∂ r, φ(1) , . . . , φ(d−1)(6.20)Согласно утверждению 6.2, плотность случайного вектораρ, ϕ(1) , . . . , ϕ(d−1) = Φ(ξ) = Φ ξ (1) , . . . , ξ (d)(6.21)(здесь вектор ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) имеет плотность распределения (6.8))имеет видf(ρ,ϕ(1) ,...,ϕ(d−1) ) r, φ(1) , . .

. , φ(d−1) ==Γ(d/2 + 1)rd−1 sin φ(2) sin2 φ(3) × · · · × sind−2 φ(d−1),π d/2 Rd(6.22)0 ≤ r < R; 0 ≤ φ(1) < 2π; 0 ≤ φ(i) < π, i = 2, . . . , d − 1.Плотность (6.22) можно представить в виде произведения d−1 1sin φ(2)dr(1)(d−1)f(ρ,ϕ(1) ,...,ϕ(d−1) ) r, φ , .

. . , φ×××=Rd2π2 3 sin3 φ(4)8 sin4 φ(5)2 sin2 φ(3)××× ···×(6.23)×π43π!!(i − 1)! sini−1 φ(i)(d − 2)! sind−2 φ(d−1);×× ··· ×2i−1 Γ2 2i2d−2 Γ2 d−12здесь использованы следующие формулы (см., например, [22, разделы 3.62, 8.33, 8.38]):!Z πZ π/22i Γ2 i+1i+1i+1iii2,=;sin u du = 2sin u du = 2 B22i!00Γ(u) = (u − 1)Γ(u − 1), Γ(1/2) =Γ(i + 1) = i!, B(ν, µ) =Γ(ν) =π,Γ(ν)Γ(µ), ν > 0, µ > 0;Γ(ν + µ)при этомZ√+∞tν−1 e−t dt −090гамма-функция, аZB(ν, µ) =1tν−1 (1 − t)µ−1 dt −0бета-функция.Соотношение (6.23) означает, что компоненты вектора (6.21) независимы.

Однако соответствующие эффективные (экономичные) моделирующие формулы удается построить только для размерностей d = 2и d = 3.Разберем эту ситуацию подробнее.Для двумерного случая d = 2 рассмотрим взаимно однозначноепреобразование Φ(u, v), описывающее переход от двумерных декартовых координат {u, v} к полярным координатам {r, φ}. Обратное кΦ(u, v) преобразование определяется следующим частным видом формул (6.19):u = r sin φ, v = r cos φ; r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π.(6.24)Рассмотрим также случайный вектор(ρ, ϕ) = Φ ξ (1) , ξ (2) ,(6.25)где вектор ξ = ξ (1) , ξ (2) имеет плотность распределения (6.12).Согласно утверждению 6.2, с учетом того, что якобиан ∂(u(r,φ),v(r,φ))∂(r,φ)равен r (это следствие соотношений (6.20), (6.24)), получаем, что плотность распределения вектора (6.25) равнаf(ρ,ϕ) (r, φ) =r; 0 ≤ r < R, 0 ≤ φ < 2π.πR2(6.26)Выкладки, подтверждающие соотношение (6.23) для рассматриваемого случая d = 2, выглядят следующим образом:Z 2πr dφ2rfρ (r) == 2 , 0 ≤ r < R;(6.27)2πRR0Z rf(ρ,ϕ) (r, φ)1r dr≡== fϕ (φ), 0 ≤ φ < 2π.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6710
Авторов
на СтудИзбе
287
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее