1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Действительно,(−1)ρi(0)= c + ξ 1,i и ω i=ξ 2,i,kξ 2,i k(6.10)где ξ 1,i , ξ 2,i – выборочные значения случайного вектора ξ = ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) ,равномерно распределенного в шаре B (3,0,R) согласно плотности31при (u, v, w) ∈ B (3,0,R) ,= 4πR3B̄ (3,0,R)(6.11)fξ (u, v, w) =0 иначе;это частный случай плотности (6.8) для d = 3.6.4. Моделирование точки, равномерно распределенной вмногомерном шаре. В связи с утверждением 6.1 и формулами (6.10),(6.11) рассмотрим следующую проблему.ПРОБЛЕМА 6.1. Построить алгоритм численного моделирования(1)(d) выборочных значений ξ0 , ..., ξ0 случайного вектора ξ = ξ (1) , ..., ξ (d) ,равномерно распределенного в шаре B (d,0,R) (см.
соотношение (6.7)) согласно плотности (6.8).Заметим, что уже начиная с размерности d = 2 (в том числе длянужного нам случая d = 3 – см. формулы (6.10), (6.11)) решение проблемы 6.1 непосредственно в декартовых координатах не получается.Действительно, рассмотрим случайную точку ξ = ξ (1) , ξ (2) , равномерно распределенную в круге B (2,0,R) (см. формулу (6.7)). Это означает, что совместная плотность распределения вектора ξ имеет вид11при (u, v) ∈ B (2,0,R) ,= πR2B̄ (2,0,R)fξ (u, v) =(6.12)0 иначе;здесь B̄ (2,0,R) = πR2 – площадь круга B (2,0,R) .Рассмотрим одно из двух (эквивалентных, в силу симметрии графика функции (6.12) относительно осей координат 0u и 0v) разложенийвида (2.4), (2.5) и (2.6), (2.7) для плотности (6.12):fξ (u, v) = fξ(1) (u) × fξ(2) (v|u),86где√Zfξ(1) (u) =fξ(2) (v|u) =R2 −u2√− R2 −u2fξ (u, v)fξ(1) (u)2 p 2dv=R − u2 , −R < u < R;πR2πR2≡√(6.13)pp2, − R2 − u2 < v < R2 − u2 .
(6.14)R2 − u2Для каждого фиксированного u ∈ (−R, R) плотность (6.14) являетсяэлементарной:√ это плотность равномерного распределения в интервале√(− R2 − u2 , R2 − u2 ) с моделирующей формулойpp(2)ξ0 = − R2 − u2 + 2 R2 − u2 α2 ,см. табличную формулу (2.23); здесь α2 ∈ U (0, 1) – стандартное случайное число.Однако плотность (6.13) не является элементарной, так как уравнение метода обратной функции распределения (2.16) для этой плотности2πR2Z(1)ξ0pR2 − u2 du = α1 ,−Rгде α1 ∈ U (0, 1), сводится к соотношению(1)ξ0qR2−(1) 2ξ0(1)2+ R arcsinξ0R!+πR2= πR2 α1 ,2(1)которое неразрешимо в элементарных функциях относительно ξ0 .Таким образом, уже для d = 2 справедливо следующее замечание.ЗАМЕЧАНИЕ 6.1.
Прямое применение алгоритма 2.3 для моделирования случайной точки, равномерно распределенной в d-мерном шареB (d,0,R) , d > 1, не дает экономичных моделирующих формул метода обратной функции распределения для всех без исключения компонент этойточки.Для преодоления возникшей трудности можно использовать следующий факт.УТВЕРЖДЕНИЕ 6.2 (теорема о замене случайных переменных; см.,например, [9, 13]). Пусть y = Φ(x) илиy (i) = Φ(i) x(1) , . . . , x(d) , i = 1, . . . , d −(6.15)87это взаимно-однозначное дифференцируемоеобласти A отображениев пространстве с координатами {x(i) } = x(1) , . . .
, x(d) на область Bв пространстве с координатами {y (j) } = y (1) , . . . , y (d) . Если плотность случайного вектора ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) в A равна fξ x(1) , . . . , x(d) ,то плотность распределения случайного вектораθ = θ(1) , . . . , θ(d) = Φ(ξ) ∈ B, где θ(i) = Φ(i) ξ (1) , .
. . , ξ (d) , (6.16)имеет видfθ y (1) , . . . , y (d) = fθ (y) = ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) = fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) .(1)(d)∂ y ,...,y(6.17)В правой части последнего соотношения (6.17) компоненты x(i) долж ∂ (x(1) (y),...,x(d) (y)) (1)(d) естьны быть выражены через y = y , . . . , y, а ∂ y(1) ,...,y(d)() якобиан перехода от координат {x(i) } к координатам {y (j) } – обратного к отображению Φ, описываемому соотношением (6.15).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть B 0 – произвольное борелевское подмножество области B, а A0 – его прообраз для рассматриваемого отображения Φ, описываемого соотношением (6.15). По правилу замены переменных под знаком интеграла имеемZP{ξ ∈ A0 } =fξ x(1) , . . . , x(d) dx(1) .
. . dx(d) =A0 ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) (1)=fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) dy . . . dy (d) .(1)(d)∂ y ,...,yB0ZВ силу взаимной однозначности преобразования (6.15) имеем такжеZP{ξ ∈ A0 } = P{θ ∈ B 0 } =fθ y (1) , . . . , y (d) dy (1) . . . dy (d) .B0Итак, для произвольного борелевского множества B 0 ⊆ B имеемZfθ y (1) , . . . , y (d) dy (1) . . .
dy (d) =B0 ∂ x(1) (y), . . . , x(d) (y) (1)=fξ x(1) (y), . . . , x(d) (y) dy . . . dy (d) ,(1)(d)∂ y ,...,yB0Z88а значит, справедливо соотношение (6.17). Утверждение 6.2 доказано.В обозначениях, используемых в формулировке утверждения 6.2,введем следующее понятие.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Взаимно-однозначное отображение Φ, описываемое соотношением (6.15), назовем вычислимым моделируемым преобразованием декартовыхкоординат для случайноговектора ξ = ξ (1) , .
. . , ξ (d) с заданной совместной плотностьюf x(1) , . . . , x(d) , если в декартовых координатах x(i) для вектора ξне удается построить разложение (2.11) с моделируемыми(элементарными) условными плотностями fξ(i1 ) x(i1 ) , fξ(i2 ) x(i2 ) |x(i1 ) , . . . ,fξ(id ) x(id ) |x(i1 ) , x(i2 ) , . . . , x(id−1 ) (и соответствующий эффективныйалгоритм 2.3), а для вектора θ = Φ(ξ) вида (6.16) такие разложение и эффективный вариант алгоритма 2.3 построить удается; кроме того, обратное к (6.15) отображение можно представить в видевычислимых на компьютере композиций элементарных функций:x(i) = Φ(i)−1y (1) , .
. . , y (d) , i = 1, . . . , d.(6.18)Отметим, что построение вычислимых моделируемых преобразований декартовых координат для случайных векторов ξ с различнымимногомерными распределениями представляет собой содержательную(часто непростую) исследовательскую задачу.В частности, для рассматриваемой намипроблемы 6.1 вычислимыемоделируемые преобразования Φ(x) = Φ(i) x(1) , . . .
, x(d) } вида (6.15)следует искать среди преобразований, дающих аналитическое описаниемногомерного шара B (d,0,R) из соотношения (6.7).Единственным известным преобразованием Φ(x) такого рода является переход от декартовых координат x(i) к гиперсферическимкоординатам {r, φ} = r, φ(1) , . .
. , φ(d−1) . Обратное к Φ(x) преобразование вида (6.18) описывается известными формулами (см., например, [21]):x(1) = r sin φ(1) sin φ(2) × · · · × sin φ(d−1) ,...x(i)= r cos φ(i−1)sin φ(i)× · · · × sin φ(d−1) ; i = 2, . . . , d − 1,(6.19)...x(d)= r cos φ(d−1); r ≥ 0; 0 ≤ φ(1)< 2π, 0 ≤ φ(i) < π, i = 2, . . . , d − 1.89Якобиан этого (обратного к Φ(x)) преобразования равен ∂ x(1) (r, φ), . .
. , x(d) (r, φ) = rd−1 sin φ(2) sin2 φ(3) × · · · × sind−2 φ(d−1) .∂ r, φ(1) , . . . , φ(d−1)(6.20)Согласно утверждению 6.2, плотность случайного вектораρ, ϕ(1) , . . . , ϕ(d−1) = Φ(ξ) = Φ ξ (1) , . . . , ξ (d)(6.21)(здесь вектор ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) имеет плотность распределения (6.8))имеет видf(ρ,ϕ(1) ,...,ϕ(d−1) ) r, φ(1) , . .
. , φ(d−1) ==Γ(d/2 + 1)rd−1 sin φ(2) sin2 φ(3) × · · · × sind−2 φ(d−1),π d/2 Rd(6.22)0 ≤ r < R; 0 ≤ φ(1) < 2π; 0 ≤ φ(i) < π, i = 2, . . . , d − 1.Плотность (6.22) можно представить в виде произведения d−1 1sin φ(2)dr(1)(d−1)f(ρ,ϕ(1) ,...,ϕ(d−1) ) r, φ , .
. . , φ×××=Rd2π2 3 sin3 φ(4)8 sin4 φ(5)2 sin2 φ(3)××× ···×(6.23)×π43π!!(i − 1)! sini−1 φ(i)(d − 2)! sind−2 φ(d−1);×× ··· ×2i−1 Γ2 2i2d−2 Γ2 d−12здесь использованы следующие формулы (см., например, [22, разделы 3.62, 8.33, 8.38]):!Z πZ π/22i Γ2 i+1i+1i+1iii2,=;sin u du = 2sin u du = 2 B22i!00Γ(u) = (u − 1)Γ(u − 1), Γ(1/2) =Γ(i + 1) = i!, B(ν, µ) =Γ(ν) =π,Γ(ν)Γ(µ), ν > 0, µ > 0;Γ(ν + µ)при этомZ√+∞tν−1 e−t dt −090гамма-функция, аZB(ν, µ) =1tν−1 (1 − t)µ−1 dt −0бета-функция.Соотношение (6.23) означает, что компоненты вектора (6.21) независимы.
Однако соответствующие эффективные (экономичные) моделирующие формулы удается построить только для размерностей d = 2и d = 3.Разберем эту ситуацию подробнее.Для двумерного случая d = 2 рассмотрим взаимно однозначноепреобразование Φ(u, v), описывающее переход от двумерных декартовых координат {u, v} к полярным координатам {r, φ}. Обратное кΦ(u, v) преобразование определяется следующим частным видом формул (6.19):u = r sin φ, v = r cos φ; r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π.(6.24)Рассмотрим также случайный вектор(ρ, ϕ) = Φ ξ (1) , ξ (2) ,(6.25)где вектор ξ = ξ (1) , ξ (2) имеет плотность распределения (6.12).Согласно утверждению 6.2, с учетом того, что якобиан ∂(u(r,φ),v(r,φ))∂(r,φ)равен r (это следствие соотношений (6.20), (6.24)), получаем, что плотность распределения вектора (6.25) равнаf(ρ,ϕ) (r, φ) =r; 0 ≤ r < R, 0 ≤ φ < 2π.πR2(6.26)Выкладки, подтверждающие соотношение (6.23) для рассматриваемого случая d = 2, выглядят следующим образом:Z 2πr dφ2rfρ (r) == 2 , 0 ≤ r < R;(6.27)2πRR0Z rf(ρ,ϕ) (r, φ)1r dr≡== fϕ (φ), 0 ≤ φ < 2π.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
