1626435387-5d0ec7dd22f55dfcc65f3209f497fb0b (844202), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. Γε = {y ∈ D : d(y) < ε}. В свою очередь, δx (x0 ) –обобщенная плотность, соответствующая равномерному распределениювероятностей на максимальной сфере S (3,x,d(x)) с центром в точке x, лежащей в замыкании D̄ области D (d(x) – радиус этой сферы), т. е.10(3,x,d(x));4πd2 (x) , x ∈ S(7.10)δx (x0 ) =0(3,x,d(x))0, x ∈/S.105Особо отметим наличие интегрируемой особенности (7.10) в ядре(7.9) рассматриваемого здесь интегрального уравнения (7.7).
Описаниепримера 7.1 окончено.Как и для марковского уравнения (7.3), требуем, чтобы оператор Kиз соотношения (7.7) был сжимающим. Для простоты полагаемZ|k(x0 , x)| dx ≤ q < 1;(7.11)X(это аналог соотношения (6.4)), хотя это соотношение можно ослабить,требуя, чтобы спектральный радиус1/m1/mρ(K) = lim K m L (X) = inf K m L (X)m→∞m11был меньше единицы (см., в частности, [9], а также утверждения 7.3, 7.4, 8.1–8.7 данного пособия).По аналогии с соотношениями (7.1), (7.2) и (7.4) имеем, что привыполнении условия (7.11) решение уравнения (7.7) существует, единственно и представимо в виде ряда Нейманаϕ(x) =∞XK m f (x),(7.12)m=0гдеmZZK f (x) =...Xf y (0) k y (0) , y (1) × .. × k y (m−1) , x dy (0) ..dy (m−1) .X(7.13)Далее нам потребуются следующие два классических результата.УТВЕРЖДЕНИЕ 7.1 (теорема Леви; см., например, [19]). Еслиθ(m) (x) ≥ 0 при m = 0, 1, 2 .
. . и сумма интегралов Лебега по мере µ(x)конечна:∞ ZXθ(m) (x) dµ(x) < +∞,m=0тоZ∞X!θ(m)(x)dµ(x) =m=0∞ ZXθ(m) (x) dµ(x).m=0УТВЕРЖДЕНИЕ 7.2 (теорема Лебега; см., например, [19]). Еслипоследовательность функций {Ξ(n) (x); n = 0, 1, 2, . . .} сходится к Ξ(x)106и для всех n выполнено неравенство |Ξ(n) (x)| ≤ Ψ(x), где функция Ψ(x)интегрируема по мере µ(x), то предельная функция интегрируема иZZ(n)Ξ (x) dµ(x) → Ξ(x) dµ(x).Применим утверждения 7.1 и 7.2 для римановой меры µ(x) = xследующим образом.
Во-первых, учтем, что из определения меры пространства L1 (X) следует, что существует и единственно решение Φ(x)уравненияZΦ(x) =|k(x0 , x)|Φ(x0 ) dx0 + |f (x)| или Φ = K1 Φ + |f |;XP∞при этом Φ(x) = m=0 [K1m |f |](x).Тогда из теоремы Леви (утверждение 7.1) дляθ(m) (x) = [K1m |f |](x) × |h(x)|следует, чтоZI|h| =Φ(x)|h(x)| dx =X∞XZ=X∞ ZXm=0|h(x)| dx =m=0[K1m |f |](x)|h(x)| dx.XДалее можно применить соотношения (7.6), (7.12), (7.13) и теоремуЛебега (утверждение 7.2) для(n)ΞnX(x) =([K m f ](x) × h(x)) и Ψ(x) = Φ(x) × |h(x)|m=0и получитьZIh =X∞X!m[K f ](x) h(x) dx =m=0∞ ZXm=0X[K m f ](x)h(x) dx =∞X(K m f, h)m=0(7.14)(см.
также соотношение (1.9) из подраздела 1.6).Здесь (с точностью до переобозначения x = y (m) )ZZm(K f, h) =...f y (0) k y (0) , y (1) k y (1) , y (2) × · · ·XX107×k y (m−1) , y (m) h y (m) dy (0) dy (1) . . . dy (m)(7.15)(см. также соотношение (1.10) из подраздела 1.6).Таким образом, правая часть соотношения (7.14) представляет собойсумму интегралов (7.15) бесконечно возрастающей кратности.Отметим также, что реализованная здесь техника обоснования соотношения (7.14) (с использованием теорем Леви и Лебега для вероятностной меры µ(x)) будет применена далее в подразделе 7.4 при обосновании несмещенности основного оценивателя (см.
утверждение 7.3), атакже в подразделе 8.5 при доказательстве утверждения 8.2 о дисперсииосновного оценивателя.7.3. Использование метода выборки по важности.Случайные веса. Алгоритм 1.2 метода Монте-Карло для приближенного вычисления интегралов не позволяет вычислять сумму (7.14) изза необходимости моделирования векторов ξ бесконечно возрастающейразмерности.Однако специальный вид подынтегральных функций из соотношений (7.15), в которых при переходе от номера m к номеру m + 1 происходит умножение на функцию двух переменных k y (m) , y (m+1) (и меняется аргумент функции h y (m+1) ) и приведенные в разделе 4 соображения метода выборки по важности (который подразумевает выбор плотности распределения случайного вектора ξ, близкой к модулюподынтегральной функции – см.
соотношение (4.7)) наводят на мысльоб использовании для построения оценивателей интегралов (7.15) плот(m+1)ностей распределения векторов ξ̃= ξ˜(0) , ξ˜(1) , . . . , ξ˜(m) видаf(ξ̃(0) ,ξ̃(1) ,...,ξ̃(m) ) y (0) , y (1) , . . . , y (m) = π̃ y (0) r y (0) , y (1) ××r y (1) , y (2) × . . . × r y (m−1) , y (m) ,(7.16)где r(x0 , x) = r(x|x0 ) – некоторая условная плотность. Учитывая соот(m+1)ношение (2.27) из подраздела 2.8, получаем, что вектор ξ̃представляет собой отрезок «классической» (бесконечной) однородной цепиМаркова ξ˜(0) , ξ˜(1) , ξ˜(2) , .
. . с начальной плотностью π̃(x) и переходнойплотностью r(x0 , x). Численное моделирование траекторий такой цепиосуществляется согласно алгоритму 2.6.Согласно соотношению (1.8) (или (4.1)), при выборе плотности вида(7.16) имеем(K m f, h) = Eζ̃ (m) ,(7.17)108гдеζ̃(m)f ξ˜(0) k=π̃ ξ˜(0) rξ˜(0) , ξ˜(1) × . . . × kξ˜(0) , ξ˜(1) × . . .
× rξ˜(m−1) , ξ˜(m) × h ξ˜(m) .(m−1)(m)˜˜ξ,ξ(7.18)Для оценивателей (7.18) удобно использовать рекуррентную записьζ̃ (m) = Q̃(m) h ξ˜(m) ,(7.19)где(0)Q̃f ξ˜(0)k ξ˜(i−1) , ξ˜(i)(i)(i−1)=× , Q̃ = Q̃ −π̃ ξ˜(0)r ξ˜(i−1) , ξ˜(i)(7.20)случайные веса; здесь i = 1, . . . , m.7.4. Введение прикладных цепей Маркова. Основнойоцениватель (монте-карловская оценка по столкновениям).По аналогии с приведенным ниже утверждением 7.3, используя формулы (7.6), (7.12)–(7.20) и утверждения 7.1 и 7.2 для соответствующихвероятностных мер, можно получить, чтоIh = Eζ̃, ζ̃ =∞Xζ̃ (m) =m=0∞XQ̃(m) h ξ˜(m) .(7.21)m=0Отметим, что обоснование формулы (7.21) с помощью указанныхформул и утверждений во многом аналогично приведенному выше обоснованию формулы (7.14) (см. также далее доказательство утверждения 7.3).Определенным недостатком формулы (7.21) является то, что онасодержит бесконечную сумму.Для преодоления этого недостатка, по аналогии с «физическими»соображениями из теории переноса частиц (см., например, [9, 20], а также раздел 6 данного пособия), целесообразно рассмотреть прикладнуюцепь Маркова (или однородную цепь Маркова, обрывающуюся с вероятностью единица)ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (N ) ;(7.22)здесь N – случайный номер обрыва (см. также соотношение (6.2)).Для вводимой прикладной цепи Маркова (7.22) определяются начальная плотность π(x) (это плотность распределения случайной величины ξ (0) ) и переходная функцияp(x0 , x) = r(x0 , x) × 1 − p(a) (x0 )(7.23)109(см. также формулу (6.3)).Напомним, что r(x0 , x) – по-прежнему некоторая условная вероятностная плотность, а значение 0 ≤ p(a) (x0 ) ≤ 1 играет роль вероятности обрыва траектории.Численное моделирование траектории прикладной цепи Маркова реализуется согласно алгоритму 2.8 из подраздела 2.8 данного пособия.Докажем следующее утверждение.УТВЕРЖДЕНИЕ 7.3 (см., например, [9]). Если в уравнении (7.7)свободный член f (x) принадлежит пространству L1 (X); X ⊆ Rd , афункция k(x0 , x) такова, что спектральный радиус интегрального оператора Фредгольма K1 : L1 (X) → L1 (X) с ядром |k(x0 , x)| меньшеединицы, а такжеπ(x) 6= 0 при f (x) 6= 0 и p(x0 , x) 6= 0 при k(x0 , x) 6= 0,(7.24)то для функционала (7.6) справедливо представление:Ih = (ϕ, h) = Eζ,ζ=NXQ(m) h ξ (m) ,(7.25)m=0где h ∈ L∞ (X), а ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (N ) – однородная цепь Маркова (7.22),обрывающаяся с вероятностью единица, с начальной плотностью π(x)и переходной функцией p(x0 , x) вида (7.23); случайные веса Q(m) определяются рекуррентно по аналогии с соотношениями (7.20):k ξ (m−1) , ξ (m)f ξ (0)(m)(m−1)(0); Q.=Q×(7.26)Q =π ξ (0)p ξ (m−1) , ξ (m)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случайную величину, представляющую собой бесконечную сумму:∞Xζ̄ =∆(m) Q̄(m) h ξ (m) ,(7.27)1 до первого обрыва,0 после первого обрыва,(7.28)m=0где∆(m) =а случайные веса Q̄(m) имеют вид (m−1) (m) f ξ (0) k ξ,ξ(0)(m)(m−1) ; Q̄ .Q̄ == Q̄×(0)(m−1)(m)π ξp ξ,ξ110Несложно получить следующий аналог соотношения (7.17):ihhiE ∆(m) Q̄(m) h ξ (m) = E(ξ(0) ,...,ξ(m) ) E ∆(m) Q̄(m) h ξ (m) ξ (0) , .
. . , ξ (m) =ih = E(ξ(0) ,...,ξ(m) ) Q̄(m) h ξ (m) E ∆(m) ξ (0) , . . . , ξ (m) =#"Y m−1(k)(m) (m) 1−p ξ== E(ξ(0) ,...,ξ(m) ) Q̄h ξk=0m+1zZ}| Z {=...X×"m−1#Yh x(m) π x(0)r x(k) , x(k+1) ×X"m−1Yk=0(7.29)k=0# f x(0) k x(k) , x(k+1) ×r x(k) , x(k+1) 1 − p x(k)π x(0)m+1"m−1#z }| Z {ZYhi(k)(0)(m)f x(0) h x(m) ×...×1−p xdx . . . dx=Xk=0X"m−1#Yk x(k) , x(k+1) dx(0) . . .
dx(m) = (K1m |f |, |h|) ,×k=0так какhino m−1YhiE ∆(m) ξ (0) , . . . , ξ (m) = P ∆(m) = 1ξ (0) , . . . , ξ (m) =1 − p ξ (k) .k=0Из условий утверждения 7.3 следует, что решение ϕ̄ интегральногоуравнения ϕ̄ = K1 ϕ̄ + |fсуществует, единственно и представимо в видеP|∞ряда Неймана ϕ̄(x) = m=0 K1m |f |(x), и поэтому величинаI¯|h| =∞X(K1m |f |, |h|) = (ϕ̄, |h|)m=0конечна.111Отсюда,теоремуЛеви (утверждение 7.1) дляPm используяθ(m) = j=0 ∆(j) Q̄(j) h ξ (j) и соответствующей вероятностной мерыµ(x), получаем#" ∞∞hXXi(m) (m) (m) =Eζ̄ = Eh ξE ∆(m) Q̄(m) h ξ (m) =∆ Q̄m=0m=0=∞X(K1m |f |, |h|) = (ϕ̄, |h|) = I¯|h| < +∞.m=0Теперь, по аналогии с соотношением (7.27), представим оцениватель(7.25) в виде бесконечной суммы∞Xζ=∆(m) Q(m) h ξ (m) ,(7.30)m=0где случайные величины ∆(m) определяются соотношением (7.28).Заметим, чтоζ = lim Ξ(n) , где Ξ(n) =n→∞nX∆(m) Q(m) h ξ (m) .m=0По аналогии с выкладками (7.29) получаем, чтоEΞ(n) =nX(K m f, h) .m=0Кроме того, учитывая соотношенияn (n) XΞ ≤∆(m) Q̄(m) h ξ (m) ≤ ζ̄ и Eζ̄ < +∞m=0и используя теорему Лебега (утверждение 7.2) для соответствующейвероятностной меры µ(x), получаемEζ = lim EΞn =n→∞∞X(K m f, h) = (ϕ, h) = Ih .m=0Утверждение 7.3 доказано.112Случайная величина ζ из соотношения (7.25) называется основным несмещенным (так как Eζ = Ih ) весовым оценивателем илимонте-карловской оценкой по столкновениям функционала Ih .Отметим, что несколько странное, на первый взгляд, название оценка «по столкновениям» для случайной величины (7.25) (в общем случае неясно, что в выражении (7.25) отражает «столкновения») связанос «уважительным» отношением к исторически важной задаче переносамалых частиц, представленной в разделе 6 данного пособия.Равенство (7.25) дает следующий способ вычисления функционала(7.6) согласно обшей схеме метода Монте-Карло (1.1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
