1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 8
Текст из файла (страница 8)
6.7), ïîñêîëüêóäëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿêîìáèíàöèþ B -ñïëàéíîâ (òèïà (7.1)), ñóùåñòâóþò ýôôåêòèâíûå ìîäåëèðóþùèå àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.ËÅÌÌÀ 7.1 [4]. Ôóíêöèÿ β (l) (x) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûη = α1 + . . . + αl + αl+1 − (l + 1)/2,(7.2)ãäå αi íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå (ò. å.
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå â(0, 1)) ñëó÷àéíûå ÷èñëà.Ëåììà 7.1 äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé ïî l ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ β (0) (x) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû(α − 1/2), à ôóíêöèÿ f1 ∗ f2 (x) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû ξ1 +ξ2 íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi , ðàñïðåäåëåííûõ ñîãëàñíîïëîòíîñòÿì fi (x); i = 1, 2 [10]. Èç ëåììû 7.1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè {wi (g)}ïîëîæèòåëüíû, ïðèáëèæåíèå (7.1) ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, ìîäåëèðóåìîãî ìåòîäîì ñóïåðïîçèöèè.ÀËÃÎÐÈÒÌ 7.1.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ, èìåþùèé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) = CLM g(x). Äåéñòâóåì ñîãëàñíî àëãîðèòìó 6.1. Ïåðåïèøåì ïëîòíîñòü â âèäå (6.6). Äëÿáàçèñà (7.1) ïëîòíîñòè fi (x) èç (6.6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå(d)(1)χx(d)χx(1)(1)(d)× . . . × R i (d)= fi x(1) × . . . × fi x(d) .fi (x) = R i (1)χi (y) dyχi (y) dyÒàêèì îáðàçîì, êîìïîíåíòû ξ (1) , . .
. , ξ (d) âåêòîðà ξ íà âòîðîì øàãå àëãîðèòìà 6.1 (ïîñëå âûáîðà íîìåðà m) ñëåäóåò ìîäåëèðîâàòü íåçàâèñè(1)(d)ìî ñîãëàñíî ïëîòíîñòÿì fm (x), . . . , fm (x). Âñå ýòè ïëîòíîñòè èìåþò âèä fξ (x) = K3 χ(K1 x+K2 ), x ∈ R. Ïðîèçâåäÿ çàìåíó y = K1 x+K2 ,37áóäåì ìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó η = K1 ξ + K2 , êîòîðàÿ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fη (y) = K3 χ(y)/K1 . Äëÿ χ(y) = β (l) (y)èìååì, ÷òî K3 /K1 = 1 è ÷òî ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ η èìååòâèä (7.2). Ïîëó÷èâ ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , ïîäñ÷èòûâàåìíóæíîå çíà÷åíèå ïî ôîðìóëå ξ = (η − K2 )/K1 .×àùå âñåãî â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ ñïëàéíû ïåðâîãî ïîðÿäêà (èëè ¾ôóíêöèè-êðûøêè¿) 1 + x ïðè − 1 ≤ x ≤ 0;1 − x ïðè 0 ≤ x ≤ 1;χ(x) = β (1) (x) =0èíà÷å,è òîãäà ïðèáëèæåíèå (6.1), (7.1) íàçûâàåòñÿ ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèåé.7.3.
Àïïðîêñèìàöèîííûå ñâîéñòâà è óñòîé÷èâîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑòðåíãàÔèêñà. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿËÅÌÌÀ 7.2 [21]. À). Ïóñòü g(x) ∈ W2r+1 (X) è χ(x) ∈ W2r (R). Òîãäà íàéäóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû {wi (g)} èç ñîîòíîøåíèÿ (6.1), ÷òîñïðàâåäëèâà îöåíêàρW2s (X) (g, LM g) ≤ Hs0 hr+1−s kgkW r+1 (X) , 0 ≤ s ≤ r,2(7.3)ãäå êîíñòàíòû Hs0 íå çàâèñÿò îò g(x) è h.Á). Ïóñòü g(x) ∈ C r+1 (X) è χ(x) ∈ C r (R).
Òîãäà íàéäóòñÿ òàêèåêîýôôèöèåíòû {wi (g)} èç ñîîòíîøåíèÿ (6.1), ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêàρC s (X) (g, LM g) ≤ Hs00 hr+1−s kgkC r+1 (X) , 0 ≤ s ≤ r,(7.4)ãäå êîíñòàíòû Hs00 íå çàâèñÿò îò g(x) è h.Çäåñü C r (X) ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà X âìåñòå ñîñâîåé r-îé ïðîèçâîäíîé ñ íîðìîékgkC r (X) =Xm:|m|≤rsup Dm g(x); Dm g(x) =x∈X∂ |m|∂(x(1) )m(1) ..∂(x(d) )m(d)g(x),x = x(1) , . .
. , x(d) , m = m(1) , . . . , m(d) , m(i) öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå÷èñëà, |m| = m(1) + . . . + m(d) . Ñîîòâåòñòâåííî W2r (X) ïðîñòðàíñòâîÑîáîëåâà (L2 -ðàñøèðåíèå ïðîñòðàíñòâà C r (X)) ñ íîðìîé1/2X Z2kgkW2r (X) = Dm g(x) dx .m:|m|≤rX38Ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç íîðìó: ρB (g1 , g2 ) = kg1 − g2 kB ,B = C r (X) ∨ W2r (X).Èç ëåììû 7.2 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêàïî h îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà ñëåäóåò âûáèðàòü áîëåå ãëàäêèå ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè.  äàííîé ïîñîáèè ëåììà 7.2áóäåò â îñíîâíîì èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà â ïðîñòðàíñòâàõ L2 (X) = W20 (X), C(X) = C 0 (X). ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé è ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèé (ò.
å. äëÿ χ(x) = β (0) (x) è χ(x) = β (1) (x)) îïòèìàëüíûéïîðÿäîê ñõîäèìîñòè â ëåììå 7.2 äàþò êîýôôèöèåíòû (6.2) (ïðè ýòîìâûïîëíåíî òðåáîâàíèå 1 èç ïîäðàçä. 6.7), è àïïðîêñèìàöèÿ (6.1) ÿâëÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèåé: LM g(xi ) = g(xi ). Áîëåå òîãî, äëÿ ýòèõ èíòåðïîëÿöèé è äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé g(x) (à èìåííî òàêèå â îñíîâíîì áóäóòðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì) îöåíêè (7.3), (7.4) ìîãóò áûòü óòî÷íåíû è óñèëåíû.
 ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [14] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿχ(x) = β (1) (x), g(x) ∈ C 2 (X) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîρC(X) (g, LM g) ≤ Ĥh2 , Ĥ =d ∂21X.sup g(x)8 s=1 x∈X ∂(x(s) )2(7.5)Èç (7.5) è îïðåäåëåíèÿ íîðìû ïðîñòðàíñòâà L2 (X) ñëåäóåò îöåíêà√ρL2 (X) (g, LM g) ≤ Ĥ mes Xh2 .(7.6) ñëó÷àå l > 1 âûáîð ïîäõîäÿùèõ (ñ òî÷êè çðåíèÿ ëåììû 7.2) êîýôôèöèåíòîâ {wi (g)} â (6.1) áîëåå ñëîæåí [14]. Ýòî çàòðóäíÿåò ðåàëèçàöèþ òàêèõ àëãîðèòìîâ íà ÝÂÌ è, êðîìå òîãî, óñëîæíÿåò èññëåäîâàíèåñâîéñòâà óñòîé÷èâîñòè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ê âîçìîæíîé îøèáêå çàäàíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ ñåòêè.Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâî ¾ñíîñà ïîãðåøíîñòè â óçëû¿ äëÿìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè, êîòîðîå îáîñíîâûâàåò óñòîé÷èâîñòüìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ê ïîãðåøíîñòè çàäàíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ (ñì. òðåáîâàíèå 4 èç ïîäðàçä.
6.7).ËÅÌÌÀ 7.3 [3]. Ïóñòü çàäàíû äâå ôóíêöèè g(x), g̃(x) ∈ C(X). Òîãäàäëÿ ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè èìååò ìåñòîsup ρC(X) (LM g, LM g̃) = max g(xi ) − g̃(xi ).(7.7)i=1,...,Mx∈XÈíûìè ñëîâàìè, åñëè ôóíêöèÿ g(x) çàäàíà ñ îøèáêîé, òî ïîñòðîåííàÿ ìóëüòèëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ îòëè÷àåòñÿ îò àïïðîêñèìàöèè,39ïîñòðîåííîé ïî òî÷íûì çíà÷åíèÿì, íà âåëè÷èíó, ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäÿùóþ ìàêñèìàëüíóþ îøèáêó â óçëàõ ñåòêè X (M ) .8. Ìîäåëèðóåìîñòü àïïðîêñèìàöèè Áåðíøòåéíà8.1. Àïïðîêñèìàöèÿ Áåðíøòåéíà. Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ(d = 1) ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé ïðèáëèæåíèÿ (6.1)ðàññìîòðèì ïîëèíîìû Áåðíøòåéíàiχi (x) = CMxi (1 − x)M −i ,Ïîëàãàåìi = 0, 1, . .
. , M ;0 ≤ x ≤ 1.g(x) ≥ 0 ïðè x ∈ [0, 1] è wi (g) = g(ih).(8.1)(8.2)Ìîäåëèðóåìîñòü àïïðîêñèìàöèè (6.1), (8.1), (8.2) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè (ñì., íàïðèìåð, [22]). Ïóñòü θ1 , . . . , θn íàáîðíåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Âàðèàöè(n)(n)îííûì ðÿäîì θ1 , . . . , θn íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé ïî âîçðàñòàíèþíàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí θ1 , . . . , θn . Ïðè ýòîì r-é ÷ëåí âàðèàöèîííî(n)ãî ðÿäà θr íàçûâàåòñÿ r-îé ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêîé.  ÷àñòíîñòè,(n)(n)θ1 = min{θ1 , . .
. , θn } è θn = max{θ1 , . . . , θn }. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿËÅÌÌÀ 8.1 [22]. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû θ1 , . . . , θn èìåþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ (x) è ïëîòíîñòü fθ (x). Òîãäà r-ÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòà(n)òèñòèêà θr èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿr−1 r−1fr(n) (x) = n Cn−1Fθ (x) (1 − Fθ (x))n−r fθ (x),(8.3)k= N !/(k!(N − k)!) ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç N ýëåìåíòîâ ïî k .ãäå CNÐàññìîòðèì ñëó÷àé {θi = αi ∈ U (0, 1)}, êîãäà âåëè÷èíû θi èìåþòðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â èíòåðâàëå (0, 1), ïðè ýòîì ïëîòíîñòü (8.3)(n)(n)ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè θr = αr èìååò âèär−1 r−1fˆr(n) (x) = n Cn−1x(1 − x)n−r ,x ∈ (0, 1),(8.4)ò. ê.
Fα (x) = x, fα (x) ≡ 1 ïðè x ∈ (0, 1).Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 6.1 äëÿ àïïðîêñèìàöèè Áåðíøòåéíà (6.1), (8.1),(8.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîòíîñòü (6.3) â âèäå (6.6),ãäåCg(ih)iPi =, fi (x) = (M + 1)CMxi (1 − x)M −i ,(8.5)M +140è èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì 6.1. Íà âòîðîì øàãå ýòîãî àëãîðèòìà òðåáóåòñÿìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fm (x) âèäà(6.6).
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (8.4), â ýòîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ðåàëèçîâàòü(M +1)(m + 1)-þ ïîðÿäêîâóþ ñòàòèñòèêó αm+1 íåçàâèñèìîé âûáîðêè îáúåìà(M + 1) èç ñîâîêóïíîñòè ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì â èíòåðâàëå(0, 1).8.2. Ìîäåëèðîâàíèå ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê. Äëÿ ÷èñëåííîãîìîäåëèðîâàíèÿ (ò. å. äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé) ñëó÷àéíîé(n)âåëè÷èíû θr ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èìååòñÿ ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì âûáîðà ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà AK è íîìåðà K ñîîòâåòñòâóþùåé ÿ÷åéêè ìàññèâà (a1 , . .
. , ar ),ñîñòîÿùåãî èç r êîìïîíåíò.ÀËÃÎÐÈÒÌ 8.1 (ñì., íàïðèìåð, [4]). 1). Ðåàëèçóåì r âûáîðî÷íûõçíà÷åíèé Θ̂ = (θ1 , . . . , θr ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû θ ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ (x) (èëè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fθ (x)), ïàðàëëåëüíîâûáèðàÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò AK ïîëó÷àåìîãî ìàññèâà Θ̂. Ïîëàãà(n)åì θr := AK .2). Äëÿ s = r + 1, . . . , n ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ θs . Åñëèθs < AK , òî çàìåíÿåì K -þ êîìïîíåíòó ìàññèâà Θ̂: θK := θs è íàõîäèììàêñèìàëüíûé ýëåìåíò AK è íîìåð K äëÿ ïðåîáðàçîâàííîãî ìàññèâà(n)Θ̂. Ïîëàãàåì θr := AK .Íåäîñòàòêîì àëãîðèòìà 8.1 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü ïðîâåäåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ñðàâíåíèé (ïîðÿäêà O(r × n)).Íàìè áûëè ïîäðîáíî èçó÷åíû âîçìîæíûå ìîäèôèêàöèè àëãîðèòìà8.1; ïðè ýòîì îñîáîå âíèìàíèå áûëî óäåëåíî ñëó÷àþ {θi = αi } [23].
Óäàëîñü âûÿñíèòü, ÷òî äëÿ áîëüøèõ n ê ñóùåñòâåííîìó óìåíüøåíèþ ÷èñëàñðàâíåíèé ìîæåò ïðèâåñòè èñïîëüçîâàíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ.Áûëî òàêæå çàìå÷åíî, ÷òî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè(n)αr ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (8.4) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå (îòëè÷íûå îò àëãîðèòìà 8.1) ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íàòóðàëüíûìè ïàðàìåòðàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
