1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ñîîòíîøåíèÿ (5.9), (5.10)) äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ0 è η 0 ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ξ è η ñ ïëîòíîñòÿìè fη (y) è fξ (x|y) èìåþòñÿ ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû (ôîðìóëû) ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âèäàη 0 = ψη (ᾱ1 ), ξ 0 = ψξ (ᾱ2 ; y), ãäå ᾱi ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè (ñì., íàïðèìåð, [1]).ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.8. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ 0 ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ, èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà (5.14), ñîãëàñíî àëãîðèòìó (ôîðìóëå) ξ0 = ψξ (ᾱ2 ; η 0 ), ãäå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η 0 âåêòîðàη ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî àëãîðèòìó (ôîðìóëå) η 0 = ψη (ᾱ1 ).Ñèòóàöèÿ, êîãäà ïëîòíîñòü ìîäåëèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë (5.13), ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ðåäêîé.
Ãîðàçäî ÷àùå âêà÷åñòâå âåêòîðà η èñïîëüçóåòñÿ îäíîìåðíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà η ñ ðàñïðåäåëåíèåì P(η = i) = pi , i = 1, 2, . . . , M ; M ≤ ∞. Âýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (5.14) èìååò âèäf (x) =MXpi fi (x); fi (x) = fξ (x|η = i).(5.15)i=1Ñîãëàñíî òðåáîâàíèÿì, ïðè êîòîðûõ ïðèìåíèì àëãîðèòì 5.8, äîëæíûñóùåñòâîâàòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η (â ðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì 5.2 ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíîãîðàñïðåäåëåíèÿ èëè åãî ìîäèôèêàöèþ êâàíòèëüíûé ìåòîä àëãîðèòì5.3) è âåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi (x) äëÿ ëþáîãî i.
Òàêèì îáðàçîì,ñîîòíîøåíèå (5.15) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âçâåøåííóþ ñóììó (ñìåñü) ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåìûõ ïëîòíîñòåé {fi (x)}. Ìåòîä ñóïåðïîçèöèè äëÿïëîòíîñòè (5.15) ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.9. 1. Ðåàëèçîâàâ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå α1 ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà, ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì {pi }, èñïîëüçóÿ àëãî28ðèòì 5.2 èëè åãî ìîäèôèêàöèè (íàïðèìåð, àëãîðèòì 5.3), âûáèðàåìíîìåð η0 = m.2. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ ñîãëàñíîïëîòíîñòè fm (x).Àëãîðèòì 5.9 íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè èëèïðîñòî ìåòîäîì ñóïåðïîçèöèè (ñîîòâåòñòâåííî, àëãîðèòì 5.8 íàçûâàþòìåòîäîì èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèè) [1, 4].5.6.
Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíûé âåêòîð (ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó) ξ , ðàñïðåäåëåííûé â îáëàñòè X ∈ Rdñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x), êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà çàäàííîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè g(x), ò. å.Zg(x), Ḡ =g(x) dx.(5.16)f (x) =ḠXÏðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íè îäèí èç ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ìåòîäîâ íå äàåò ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ âåêòîðà ξ . Âûáåðåì ìàæîðàíòó g1 (x) ôóíêöèè g(x) òàêóþ, ÷òî g(x) ≤ g1 (x) ïðè x ∈ X . Ïåðâîåòðåáîâàíèå ê ìàæîðàíòå g1 (x) òàêîâî, ÷òî äëÿ ïëîòíîñòèZg1 (x)f1 (x) =, Ḡ1 =g1 (x) dx(5.17)Ḡ1Xèìååòñÿ ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì (ôîðìóëà) âèäà ξ 1 = ψ1 (ᾱ1 ) äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ 1 ñîãëàñíî îäíîìó èçâàðèàíòîâ àëãîðèòìà 5.6 (çäåñü ᾱ1 ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîð ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë). Ýòî äàåò ìàæîðàíòíûé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ.ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.10.
1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ 1 ñîãëàñíîïëîòíîñòè (5.17): ξ1 = ψ1 (ᾱ1 ), à òàêæå çíà÷åíèå η = α2 g1 (ξ1 ).2. Åñëèη < g(ξ 1 ),(5.18)òî â êà÷åñòâå èñêîìîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïðèíèìàåì ξ = ξ1 . Âñëó÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâî (5.18) íå âûïîëíåíî, ïîâòîðÿåì ï.
1 äàííîãîàëãîðèòìà è ò. ä.Íåñëîæíî ïîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [1, 4]), ÷òî òî÷êà (ξ 1 , η), ðåàëèçóåìàÿ â ï. 1 àëãîðèòìà 5.10, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ¾ïîäãðàôèêå¿G1 = {x ∈ X, 0 < y < g1 (x)} ôóíêöèè g1 (x). Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå(5.18), òî ïàðà (ξ 1 , η) ïðèíàäëåæèò îáëàñòè G = {x ∈ X, 0 < y < g(x)}è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ýòîé îáëàñòè, è òîãäà âåëè÷èíó ξ 1 ìîæíî29ïðèíÿòü â êà÷åñòâå èñêîìîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ðàñïðåäåëåííîé ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (5.16) (ñì., íàïðèìåð, [1, 4]).Òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà 5.10 ïðîïîðöèîíàëüíà ñðåäíåìó ÷èñëó ðåàëèçàöèé ïàðû (ξ 1 , η) äî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (5.18).
Ýòî ÷èñëî ðàâíîs=Ḡ1= 1ḠP (ξ 1 , η) ∈ G(ñì., íàïðèìåð, [1, 4]). Òàêèì îáðàçîì, ìàæîðàíòó g1 (x) ôóíêöèè g(x)ñëåäóåò ïîäáèðàòü òàê, ÷òîáû îáúåìû Ḡ1 è Ḡ áûëè áëèçêè; ýòî âûïîëíåíî ïðè g1 (x) ' g(x).5.7. Äâóñòîðîííèé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ. Ñëåäóþùàÿ ìîäèôèêàöèÿ àëãîðèòìà 5.10 ýôôåêòèâíà â äîñòàòî÷íî ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå,êîãäà òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðàξ , ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî ïðîïîðöèîíàëüíà ôóíêöèè g(x),âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé êîòîðîé âåñüìà òðóäîåìêî.
 ýòîì ñëó÷àå ïîìèìîìàæîðàòíòû g1 (x) ñòðîèì ìèíîðàíòó g2 (x) òàêóþ, ÷òîg2 (x) ≤ g(x) ≤ g1 (x); x ∈ X.(5.19)ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.11. 1). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ 1 = ψ1 (ᾱ1 )ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (5.17), à òàêæå çíà÷åíèå η = α2 g1 (ξ1 ).2). Âìåñòî íåðàâåíñòâà (5.18) ïðîâåðÿåì ñíà÷àëà ñîîòíîøåíèåη < g2 (ξ 1 ). Åñëè îíî âûïîëíåíî, òî ïàðà (ξ 1 , η) ïðèíàäëåæèò ¾ïîäãðàôèêó¿ ôóíêöèè g2 (x), à çíà÷èò, è îáëàñòè G. Òîãäà ìîæíî ïîëîæèòü,÷òî âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ ðàâíî ξ = ξ1 .
 ñëó÷àåæå η ≥ g2 (ξ1 ) ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî (5.18). Åñëè îíî âûïîëíåíî, òîξ = ξ 1 , èíà÷å ïîâòîðÿåòñÿ ï. 1 äàííîãî àëãîðèòìà è ò. ä. ñâÿçè ñ ñîîòíîøåíèåì (5.19) àëãîðèòì 5.11 ìîæíî íàçûâàòü äâóñòîðîííèì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà âñå òðè ôóíêöèè èçíåðàâåíñòâà (5.19) áëèçêè, à ìèíîðàíòà g2 (x) è ìàæîðàíòà g1 (x) ëåãêî âû÷èñëèìû, ïðîâåðêà (5.18), ñâÿçàííàÿ ñ òðóäîåìêèì âû÷èñëåíèåìçíà÷åíèÿ g(ξ 1 ), áóäåò ïðîèñõîäèòü îòíîñèòåëüíî ðåäêî, è äâóñòîðîííèéìåòîä ìîæåò äàòü ñóùåñòâåííûé âûèãðûø ïî ñðàâíåíèþ ñ ¾îäíîñòîðîííèì¿ àëãîðèòìîì 5.10.Ïðîâåäåííûå íàìè èññëåäîâàíèÿ (ñì. ðàáîòû [3, 9]) ïîêàçàëè, ÷òîâ êà÷åñòâå ôóíêöèé g2 (x) è g1 (x) öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü êóñî÷íîïîëèíîìèàëüíûå (â ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå è êóñî÷íî-ëèíåéíûå)ïðèáëèæåíèÿ ñíèçó è ñâåðõó äëÿ ôóíêöèè g(x).
 ýòîì ñëó÷àå ïðè30ðåàëèçàöèè ïåðâûõ ïóíêòîâ àëãîðèòìîâ 5.10 è 5.11 íóæíî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå àëãîðèòìû ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè äëÿ ¾ìîäåëèðóåìûõ¿ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ (ñì. äàëåå ðàçä. 6).5.8. Äðóãèå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îïèñàííûå â ïîäðàçä. 5.55.7 ìåòîäû ñó-ïåðïîçèöèè è èñêëþ÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ñïåöèàëüíûìè(îòëè÷íûìè îò ñòàíäàðòíûõ àëãîðèòìîâ 5.5 è 5.6), à ñ äðóãîé ñòîðîíû,îáëàäàþò îïðåäåëåííûìè ÷åðòàìè ¾óíèâåðñàëèçìà¿ (ò.
å. îíè ïðèìåíèìû äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêèõ êëàññîâ ðàñïðåäåëåíèé).Ñóùåñòâóåò òàêæå íåìàëî ïðèìåðîâ ýôôåêòèâíûõ ¾÷èñòî ñïåöèàëüíûõ¿ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâàíèè îñîáûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñâîéñòâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé (ñì., íàïðèìåð, [1, 4]). Íàïðèìåð, ïàðà ôîðìóë (4.2)äàåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû γ ñ ïëîòíîñòüþ21e−x /2 , −∞ < x < +∞.f (x) = √2πÝòî ðàñïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì: èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòèñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ (5.7) íå áåðåòñÿ.6. Èñïîëüçîâàíèå êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõïðèáëèæåíèé ôóíêöèé â ìåòîäàõ Ìîíòå-Êàðëî.Ìîäåëèðóåìûå áàçèñû6.1.
Ïîëèíîìèàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé.  ýòîì ðàçäåëåðàññìîòðåíû àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìèàëüíûå è êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèéâèäàMXg(x) ≈ LM g(x) =wi (g)χi (x)(6.1)i=1íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ⊂ Rd .  ôîðìóëå (6.1) LM g(x) îáîçíà÷àåòàïïðîêñèìàöèþ (èëè èíòåðïîëÿöèþ) ôóíêöèè g(x) íà ñåòêå X (M ) ={x1 , .
. . , xM }. Áàçèñíûå ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè Ξ(M ) = {χ1 , . . . , χM }è êîýôôèöèåíòû W (M ) (g) = {w1 (g), . . . , wM (g)} îïðåäåëåííûì îáðàçîìñâÿçàíû ñ óçëàìè ñåòêè X (M ) .  ÷àñòíîñòè, êîýôôèöèåíòû W (M ) (g)ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, êîìáèíàöèÿìè çíà÷åíèé g = (g(x1 ), .
. . , g(xM ));31÷àùå âñåãîwi (g) = g(xi ),i = 1, . . . , M.(6.2)Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ïðèìåðû ñèòóàöèé, â êîòîðûõ íóæíî ðåøàòü ñëåäóþùóþÇÀÄÀ×À 6.1. Ïîñòðîèòü àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ, èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿZf (x) = C LM g(x), C = 1/c, c =LM g(y) dy; g(x) ≥ 0.(6.3)Rd6.2. Èñïîëüçîâàíèå ãèñòîãðàììû è ïîëèãîíà ÷àñòîò. Ïóñòüïàðàìåòð θ ìîäåëèðóåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà U ñëó÷àåí è èìååòñÿ(U )(U )âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ θ1 , . .
. , θk ýòîãî ïàðàìåòðà ñ ïîìîùüþ ïðîâåäåíèÿ äîñòàòî÷íî äîðîãèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïóñòüòàêæå VU ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé ïðîöåññ Uè âêëþ÷àþùåé ïàðàìåòð θ, ïðè÷åì ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ìîäåëè VUòðåáóåò ìîäåëèðîâàíèÿ áîëüøîé âûáîðêè(VU )θ1(V ), . . . , θK U , ãäå K k.(6.4)(U )(U ) ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ðàçäåëèòü èíòåðâàë [a, b], a = min(θ1 , . . . , θk ),(U )(U )b = max(θ1 , . . . , θk ) íà ïîëóèíòåðâàëû [zi , zi+1 ); i = 1, . . .
, M − 1;a = z1 < z2 < . . . < zM = b è âû÷èñëèòü ÷àñòîòû νi∗ = mi /k (çäåñü(U )mi åñòü ÷èñëî çíà÷åíèé {θj }, ïîïàâøèõ â i-é ïîëóèíòåðâàë). Ïóñòüxi = (zi + zi+1 )/2 è g(xi ) = νi∗ /(zi+1 − zi ). Òîãäà ïëîòíîñòü âèäà (6.3)ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðêè (6.4). Äëÿ êóñî÷íîïîñòîÿííîãî ñëó÷àÿ èìååì χi (x) ≡ 1 ïðè u ∈ [zi , zi+1 ]; wi (g) = g(xi ) èC = 1; ïðè ýòîì ôóíêöèÿ (6.3) íàçûâàåòñÿ ãèñòîãðàììîé [12].
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ âåðñèÿ ôóíêöèè (6.3) íàçûâàåòñÿ ïîëèãîíîì ÷àñòîò [12].6.3. Èñïîëüçîâàíèå àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé â ìåòîäå èñêëþ÷åíèÿ.  àëãîðèòìàõ ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ (àëãîðèòì 5.10) è äâóñòî-ðîííåãî ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ (àëãîðèòì 5.11) òðåáóåòñÿ ñòðîèòü ìàæîðàíòó g1 (x) è ìèíîðàíòó g2 (x) ôóíêöèè g(x), ïðîïîðöèîíàëüíîé ïëîòíîñòè f (x), äëÿ êîòîðîé íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìàðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé. Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ 5.10 è 5.11 ñâÿçàíà ñ âûáîðîì ôóíêöèé g1 (x), g2 (x), áëèçêèõê ôóíêöèè g(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
