1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïîýòîìó ãëàâíûìè ïðîáëåìàìè ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûáîð îïòèìàëüíîé îöåíêè ζ èñêîìîé âåëè÷èíû I èðàçðàáîòêà àëãîðèòìîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ{ζi } íà ÝÂÌ.×àùå âñåãî îöåíêà ζ èç ñîîòíîøåíèÿ (1.1) èìååò âèäζ = q(ξ),(1.2)ãäå ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) ñëó÷àéíûé âåêòîð èëè ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (íàïðèìåð, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà öåïüÌàðêîâà, äëÿ êîòîðîé, âîîáùå ãîâîðÿ, d → ∞) ñ çàäàííûì àáñîëþòíîíåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, à q(x) ôóíêöèÿ (íåñëó÷àéíàÿ) d ïåðåìåííûõ. Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå (1.1) ïðèîáðåòàåò âèänI≈1Xq(ξ i ),n i=16(1.3)ãäå ξ 1 , . .
. , ξ n âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ .1.2. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà.  ñâÿçè ñ çàäà÷åé (1.1) âîçíèêàåòðÿä âîïðîñîâ.1. Êàêèå âåëè÷èíû I äîïóñêàþò ïðåäñòàâëåíèå (1.1)?2. Åäèíñòâåíåí ëè âûáîð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ , è åñëè íååäèíñòâåíåí, òî êàê îïòèìèçèðîâàòü ýòîò âûáîð?3. Ñêîëüêî âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . . , ζn òðåáóåòñÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîãî óðîâíÿ ïîãðåøíîñòè?4. Êàê ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . .
. , ζn íà ÝÂÌ?Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ 4 áóäåò èññëåäîâàòüñÿ â ðàçä.5; âîïðîñû 2 è 3 îáñóæäàþòñÿ â ïîäðàçä. 1.3.Èññëåäóåì âîïðîñ 1. Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè îöåíêà ζ èìååòâèä (1.2), òîZI = Eζ =q(x)f (x) dx,(1.4)ãäå f (x) = f x(1) , . . . , x(d) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ .  ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî îáúÿâèòü, ÷òî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ òåîðèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ðàçäåëîì÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ðàçäåë âêëþ÷àåò (åñëè èìåòü â âèäó èìåííî ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî) è òàêóþ âàæíóþ òåìó,êàê ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà (ñì. äàëåå ðàçä. 3).Ýòè óðàâíåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîãóò îïèñûâàòü ìíîãèå ôèçè÷åñêèåïðîöåññû, ñâÿçàííûå, â ÷àñòíîñòè, ñ ïåðåíîñîì ÷àñòèö. Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè èìåþòñÿ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíîãî è âåðîÿòíîñòíîãî ïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèÿ è êîíñòðóèðîâàíèÿñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèåI íåêîòîðîé çàäà÷è äîïóñêàåò èíòåãðàëüRíîå ïðåäñòàâëåíèå I = g(x) dx. Âûáåðåì ïëîòíîñòü f (x) òàêóþ, ÷òîf (x) 6= 0 ïðè g(x) 6= 0.
Òîãäà íà îñíîâå ñîîòíîøåíèé (1.2)(1.4) èìååì!ZZ1 g(ξ 1 )g(ξ n )g(x)f (x) dx = Eζ ≈ ζ̄n =+ ... +,I = g(x) dx =f (x)n f (ξ 1 )f (ξ n )(1.5)ïðè ýòîì ζ = q(ξ) = g(ξ)/f (ξ). Ðàâåíñòâî (1.5) îòðàæàåò ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ñòàíäàðòíîé âåñîâîé îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ èíòåãðàëà I . Â äàëüíåéøåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî â ñîîòíîøåíèè (1.5)áóäåì íàçûâàòü ÀËÃÎÐÈÒÌÎÌ 1.1.71.3.
Ïîãðåøíîñòü è òðóäîåìêîñòü ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Ïî-ãðåøíîñòü δn = |ζ̄n − I| ïðèáëèæåíèÿ (1.1) ïðåäñòàâèìà â âèäå S − nI √Dζ S − nEζ n nδn = = √ √ √ ,nn Dζ n ãäå Sn = ζ1 +. . .+ζn . Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñì., íàïðèìåð, [10]) ñëåäóåò,÷òî√ √ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn − nEζ)/( Dζ n)áëèçêà ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå γ ∈ N (0, 1).
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿ êîíñòàíòàHε , äëÿ êîòîðîé ïðè n 1 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå!√Dζ≈ P(|γ| < Hε ) ≥ 1 − ε.(1.6)P δ n ≤ Hε √nÍàïðèìåð, äëÿ ε = 0.003 èìååì Hε ≈ 3 (ýòî ñîîòíîøåíèå îòðàæàåò¾ïðàâèëî òðåõ ñèãìà¿). Èç ñîîòíîøåíèÿ (1.6) ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé n−1/2 , ò. å.
îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé çíàê ïîñëåçàïÿòîé âåëè÷èíû I (ò. å. óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü ïðèìåðíî â 10 ðàç)òðåáóåòñÿ â 100 ðàç óâåëè÷èòü ÷èñëî èñïûòàíèé n. Ïîýòîìó õàðàêòåðíûå ÷èñëà èñïûòàíèé â ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ïî ìåòîäó ÌîíòåÊàðëî âåñüìà âåëèêè.RbÄëÿ ñðàâíåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè îäíîìåðíîãî èíòåãðàëà I = a g(x) dxñ ãëàäêîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé g(x) ïîãðåøíîñòü ïðîñòåéøåéôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîân−1Xxi+1 + xiI≈(xi+1 − xi )g; a = x0 < x1 < . . .
< xn−1 < xn = b,2i=0(1.7)îïðåäåëÿåìàÿ ÷èñëîì n âû÷èñëåíèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) èçðàâåíñòâà (1.5), èìååò ïîðÿäîê n−2 (íà ÷åòûðå ïîðÿäêà ëó÷øå ìåòîäàÌîíòå-Êàðëî), à ÷óòü áîëåå ñëîæíàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíàn−11Xxi+1 + xiI≈(xi+1 − xi ) g(xi ) + 4g+ g(xi+1 )(1.8)6 i=02èìååò åùå áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè n−3 . Óïîìÿíóòûå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òàê íàçûâàåìûõ êâàäðàòóðíûõ ôîð8ìóë ÍüþòîíàÊîòåñà (ñì., íàïðèìåð, [2]), ïîñòðîåíèå êîòîðûõ îñíîâàíî íà èíòåãðèðîâàíèè ïîëèíîìèàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êðàòíîñòÿìd èíòåãðàëà (1.5), áîëüøèõ åäèíèöû, è ïðè ðàññìîòðåíèè íåãëàäêèõïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé g(x) ïîñòðîåíèå õîðîøèõ àïïðîêñèìàöèéäëÿ g(x) è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êóáàòóðíûõ ôîðìóë çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ (ïîäðîáíåå ýòîò âîïðîñ áóäåò ðàññìîòðåí äàëåå â ðàçä. 21).
Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (1.5) n−1/2 íå çàâèñèò îò êðàòíîñòè d (ýòà ñêîðîñòü ñîõðàíÿåòñÿ â òîì ÷èñëå è äëÿ ñóìì èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè ñì. äàëåå ðàçä. 3). Ñâîéñòâàôóíêöèè g(x) âëèÿþò ëèøü íà âåëè÷èíó Dζ â ñîîòíîøåíèè (1.6).Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå ê ñëîæíûì ìíîãîìåðíûì çàäà÷àì êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî âîçðàñòàåò. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü,÷òî äëÿ 1 ≤ d ≤ 3 ïðåäïî÷òèòåëüíåå èñïîëüçîâàòü êóáàòóðíûå ôîðìóëû, äëÿ d ≥ 10 íå èìååò êîíêóðåíòîâ ïðîñòåéøèé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî,à äëÿ ðàçìåðíîñòåé 3 < d < 10 èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ñìåøàííûåäèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîäòâåðæäåíèþ ýòîãî âûâîäà ïîñâÿùåí, â ÷àñòíîñòè, äàííûé êóðñ.Âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîòàó÷åòà âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, ïîçâîëÿþùàÿ ïðîâîäèòü îïòèìèçàöèþîöåíêè ζ çà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî âûáîðà ïëîòíîñòè f (x).
Äåéñòâèòåëüíî,çàòðàòû íà âû÷èñëåíèå âåëè÷èíû ζ̄n ðàâíû s = nt, ãäå t ñðåäíåå âðåìÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ζj ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû√ζ . Èç√ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ èçâåñòíî, ÷òî ïðè áîëüøèõ n ôîðìóëàH Dζ/ n (çäåñü 0 < H < Hε ñì. ñîîòíîøåíèå (1.6)) îïðåäåëÿåò ïîâåäåíèå ïîãðåøíîñòè δn .
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè çàäàííîì óðîâíåïîãðåøíîñòè∆ âåëè÷èíà Dζ ïðîïîðöèîíàëüíà n, ò. å. èç ñîîòíîøåíèÿ√√∆ = H Dζ/ n ñëåäóåò ðàâåíñòâî n = (H/∆)2 × Dζ . Ïîýòîìó ìîæíîçàìåíèòü âåëè÷èíó s íàS = t × Dζ.(1.9)Âåëè÷èíà (1.9), íàçûâàåìàÿ òðóäîåìêîñòüþ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì êà÷åñòâà àëãîðèòìà 1.1, îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèåì(1.5). Òîò âûáîð ïëîòíîñòè f (x) ñ÷èòàåòñÿ ëó÷øå, äëÿ êîòîðîãî âåëè÷èíà S ìåíüøå.1.4. Îöåíêà òðóäîåìêîñòè ñ ïîìîùüþ ïðåäâàðèòåëüíûõðàñ÷åòîâ. Ñðåäíåå âðåìÿ t íåñëîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî,ïðåäâàðèòåëüíî (äî èñïîëüçîâàíèÿ àëãîðèòìà (1.5) äëÿ n 1) ðåàëèçóÿîòíîñèòåëüíî íåáîëüøîå êîëè÷åñòâî n̂ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . .
, ζn̂ ,è äåëÿ ñîîòâåòñòâóþùåå âðåìÿ ñ÷åòà íà n̂.9Íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà Dζ èç ñîîòíîøåíèé (1.5) è (1.9) òàêæå äîïóñêàåò ïðåäâàðèòåëüíîå îöåíèâàíèå ñ ïîìîùüþ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèéζ1 , . . . , ζn̂ . Ïðîñòåéøåå ïðèáëèæåíèå íåñëîæíî ïîëó÷èòü èç ñîîòíîøåíèé (1.2), (1.3) äëÿ u = u ∈ R è q(u) = u2 :n̂Dζ = Eζ 2 − (Eζ)2 ≈(1)Dn̂1X 2ζ −=n̂ i=1 in̂1Xζin̂ i=1!2.(1.10)Åñëè â ðàâåíñòâå (1.10) òðàêòîâàòü ζ1 , .
. . , ζn̂ êàê íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå (òàê æå, êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ ) ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, òî íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî1(1)Dζ.(1.11)EDn̂ = 1 −n̂(1)Äåéñòâèòåëüíî, EDn̂ = Eζ 2 − Eζ̄n̂2 = Dζ − Dζ̄n̂ , òàê êàê Eζ̄n̂ = Eζ .(1)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Dζ̄n̂ = Dζ/n̂, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1.11). Ðàçäåëèâ Dn̂íà (1 − 1/n̂)n̂(2)Dn̂11 X 2ζi −=n̂ − 1 i=1n̂(n̂ − 1)n̂X!2ζi,(1.12)i=1ïîëó÷àåì íåñìåùåííóþ îöåíêó äèñïåðñèè.2.
Ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè. Âêëþ÷åíèåîñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü2.1. Ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè. Ñïîñîáû óìåíüøåíèÿ âðåìåíè t èç (1.9) íàïðàâëåíû, êàê ïðàâèëî, íà îïòèìèçàöèþ ìîäåëèðîâàíèÿñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ (ñîîòâåòñòâóþùèå àëãîðèòìû è èõ äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèå ìîäèôèêàöèè ïîäðîáíåå ðàññìîòðåíû äàëåå â ðàçä. 59è 19).Èìååòñÿ òàêæå öåëûé ðÿä ïðèåìîâ, ïîçâîëÿþùèõ óìåíüøàòü äèñïåðñèþZ 2g (x) dxDζ =− I2(2.1)f (x)äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ = g(ξ)/f (ξ) èç ðàâåíñòâà (1.5) (ýòè ïðèåìûðàññìîòðåíû äàëåå â ðàçä. 1018, 20).10 ýòîì ïîäðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì íàèáîëåå óïîòðåáèìûé ñïîñîáóìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè (2.1) ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè (ñì., íàïðèìåð, [1]).ËÅÌÌÀ 2.1. Ìèíèìàëüíàÿ äèñïåðñèÿ (Dζ)min ðåàëèçóåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü f (x) ïðîïîðöèîíàëüíà ìîäóëþ ïîäûíòåãðàëüíîéôóíêöèè:|g(x)|,(2.2)fmin (x) = R|g(y)| dy2Rè ðàâíà (Dζ)min =|g(x)| dx − I 2 .Ñôîðìóëèðóåì òàêæå âàæíîå ñëåäñòâèå ëåììû 2.1 äëÿ ñëó÷àÿ çíàêîïîñòîÿííîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x).ËÅÌÌÀ 2.2.
Ïóñòüg(x) ≥ 0 ïðè x ∈ Rd .Åñëèf (x) =g(x)ïðè x ∈ Rd ,I(2.3)(2.4)òî (Dζ)min = 0.Ïëîòíîñòè (2.2) è (2.4) íå èñïîëüçóþòñÿ äëÿR âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàI ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî íàõîæäåíèå âåëè÷èíû |g(y)| dy èç ñîîòíîøåíèÿ(2.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó, ýêâèâàëåíòíóþ ïî ñëîæíîñòè èñõîäíîéçàäà÷å (1.5) (â ñëó÷àå (2.3) â òî÷íîñòè ýêâèâàëåíòíóþ). Áîëåå òîãî, äëÿñëó÷àÿ (2.3) àëãîðèòì 1.1 ¾âûðîæäàåòñÿ¿, èPïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâîn(1.5) ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî I = (1/n) × i=1 I .Èç ëåìì 2.1 è 2.2 ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâìîæíî äîáèòüñÿ óìåíüøåíèÿ òðóäîåìêîñòè (1.9) àëãîðèòìà 1.1, âûáèðàÿ ïëîòíîñòü f (x), áëèçêîé (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ)ê ôóíêöèè (2.2):f (x) ≈ H |g(x)|;(2.5)çäåñü H = const. Àëãîðèòì (1.5) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé ïîâàæíîñòè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò àíãëèéñêîìó òåðìèíó ¾important sampling¿.Òàêîå íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî åñëè f (x) ïðîïîðöèîíàëüíà ìîäóëþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x), òî â òåõ ÷àñòÿõ îáëàñòè X , â êîòîðûõ |g(x)| áîëüøå è âêëàä êîòîðûõ â èíòåãðàë I áîëåå ñóùåñòâåíåí,áóäåò âûáèðàòüñÿ áîëüøå ñëó÷àéíûõ òî÷åê {ξ i }.2.2.
Âêëþ÷åíèå îñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü. Îäíà èç ïðèíöèïèàëüíûõ ñèòóàöèé, â êîòîðûõ ïðèìåíÿåòñÿ âûáîðêà ïî âàæíîñòè, ñâÿçà11íà ñ äîâîëüíî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì ñëó÷àåì, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè èìåþò îñîáåííîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ îáîáùåííûìèôóíêöèÿìè:ZAXI = G(x) gj (x)δ(Ψj (x)) dx, A = M ∨ ∞.(2.6)j=1Çäåñü ôóíêöèè gj (x) ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ Γj , îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèÿìè Ψj (x) = 0. Ñèìâîëû δ(u)îáîçíà÷àþò äåëüòà-ôóíêöèþÄèðàêà, ò. å.
äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêRöèè z(u) âûïîëíåíî z(u)δ(u − u0 ) du = z(u0 ). Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (2.6) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê èíòåãðàë ïî îáúåäèíåíèþ ãèïåðïîâåðõíîñòåé Γj . Êàê ïðàâèëî, ¾êëàññè÷åñêèå¿ êóáàòóðíûå ôîðìóëû (0.1) íåäàþò ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ òàêèõ èíòåãðàëîâ.Äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ïîëåçíî ðàññìîòðåòü îáîáùåíèå òåîðèè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, â êîòîðîì êëþ÷åâûìÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ðàñïðåäåëåííîé ñîãëàñíî äåëüòà-ïëîòíîñòè fξ (x) = δ(x − a) (çäåñü a = const), êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òîξ = a ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (ò.
å. ïî ñóòè ¾îáû÷íîå¿ ÷èñëî a òðàêòóåòñÿ êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà). Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò, â òîì ÷èñëå,ðàññìàòðèâàòü äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó êàê ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ñìåñü äåëüòàïëîòíîñòåé (ñì., íàïðèìåð, [1]). Ïî àíàëîãèè ñ ýòèì ïðèåìîì äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (2.6) ìîæíî âûáðàòü äîïóñòèìóþ ïëîòíîñòü âèäàf (x) =AXpj fj (x) δ(Ψj (x)).j=1Çäåñü ôóíêöèè fj (x) ÿâëÿþòñÿ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ íà ãèïåðïîPAâåðõíîñòÿõ Γj , à ÷èñëà {pj } âåðîÿòíîñòè (ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
