1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèÿ ¾ñâåðõó¿ è ¾ñíèçó¿ äëÿ ïëîòíîñòè f (x) (çäåñü,32îñîáåííî â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, ýôôåêòèâíûìè îêàçûâàþòñÿ êóñî÷íîïîëèíîìèàëüíûå, â ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå àïïðîêñèìàöèè); âýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü f1 (x) = g1 (x)/Ḡ1 èìååò âèä (6.3).6.4.
Ïðèáëèæåíèå ¾ñëîæíûõ¿ ïëîòíîñòåé.  ñëó÷àå, êîãäàôóíêöèÿ g(x) ïðîïîðöèîíàëüíà ¾íåìîäåëèðóåìîé¿ ïëîòíîñòè f˜(x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èëè âåêòîðà θ , êðîìå ìàæîðàíòíîãî ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèåì. Âûáåðåì ¾áëèçêóþ¿ êf˜(x) ïëîòíîñòü (6.3) è áóäåì ìîäåëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ñëó÷àéíûéâåêòîð ξ âìåñòî θ . Ïðè ýòîì ïðèáëèæåíèå (6.1) äîëæíî îáëàäàòü äîñòàòî÷íî õîðîøèìè àïïðîêñèìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè, ò. å.
ðàññòîÿíèåρB(X) (g, LM g) äîëæíî áûòü ìàëî; çäåñü ρB(X) ìåòðèêà ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà B(X). Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî èìååòñÿ õîðîøîðàçâèòàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ òåîðèÿ ïðèáëèæåíèÿ ïëîòíîñòåé, â êîòîðîé âîñíîâíîì èçó÷àåòñÿ ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà B(X) = L1 (X) (ñì., â ÷àñòíîñòè, [13]).
Îäíàêî ìåòðèêà ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ íåäîñòàòî÷íî¾ñèëüíîé¿ äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî (çäåñüòðåáóþòñÿ ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâ L2 (X), C(X) è äàæå W2r (X) è C r (X)) ñì., â ÷àñòíîñòè, ðàáîòû [1, 3, 5, 9, 14], à òàêæå ðàçä. 7, 10, 12, 19, 20.6.5.
Èñïîëüçîâàíèå ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé â ÷èñëåííîì ñòîõàñòè÷åñêîì è äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîì èíòåãðèðîâàíèè.Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè. Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ìåòî-äà Ìîíòå-Êàðëî(1.5) ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ìíîãîêðàòíîãî èíòåRãðàëà I = g(x) dx. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè îïòèìèçàöèè ýòîãî àëãîðèòìàñëåäóåò ñòðåìèòüñÿ ê òîìó, ÷òîáû âåëè÷èíà òðóäîåìêîñòè (1.9) áûëàíàèìåíüøåé.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó âûáîðêè ïî âàæíîñòè (ñì. ïîäðàçä.2.1), óìåíüøèòü äèñïåðñèþ Dζ èç ñîîòíîøåíèÿ (1.9) ìîæíî çà ñ÷åò âûáîðà ïëîòíîñòè f (x), áëèçêîé ê H|g(x)| (çäåñü H ñîîòâåòñòâóþùàÿíîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà) ñì. ñîîòíîøåíèå (2.5). Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè g(x) â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) ìîæíî âûáðàòü ôóíêöèþ(6.3); ïðè ýòîì ïîëó÷àåì äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêóþ âåðñèþ âûáîðêèïî âàæíîñòè (ýòîò àëãîðèòì ïîäðîáíî èçó÷åí äàëåå â ðàçä. 10; ñì.òàêæå ðàáîòû [1, 3, 5, 14]).  ñâîþ î÷åðåäü, ê óìåíüøåíèþ âåëè÷èíû tìîæåò ïðèâåñòè èñïîëüçîâàíèå âçâåøåííîé ðàâíîìåðíîé âûáîðêè (ñì.,íàïðèìåð, [15, 16]):, nnXXI≈q(αi )f (αi ).i=1i=1Çäåñü èíòåãðàë I áåðåòñÿ ïî åäèíè÷íîìó êóáó Qd , è âåêòîðû {αi } ðàâíî33ìåðíî ðàñïðåäåëåíû â Qd .
Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêàÿ âåðñèÿ âçâåøåííîé ðàâíîìåðíîé âûáîðêè ðàññìîòðåíà äàëåå â ðàçä. 19 (ñì. òàêæå ðàáîòû [9, 17]).Äðóãîé ñïîñîá ïîíèæåíèÿ äèñïåðñèè äàåò ìåòîä âûäåëåíèÿ ãëàâíîé÷àñòè (ñì., íàïðèìåð, [1]), èäåÿ êîòîðîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòüôóíêöèþ g0 (x), áëèçêóþ ê ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) è òàêóþ, ÷òîèíòåãðàë I0 áåðåòñÿ àíàëèòè÷åñêè;ïðè ýòîì èñêîìûé èíòåãðàë ïðåäñòàRâèì â âèäå ñóììû I = I0 + (g(x)−g0 (x)) dx, è ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî (1.5)ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îöåíêè âòîðîãî ñëàãàåìîãî ýòîé ñóììû. Åñëè âçÿòüg0 (x) = LM g(x) (ñì.
ñîîòíîøåíèå (6.1)), òî ïîëó÷àåòñÿ (â ðÿäå ñëó÷àåââåñüìà ýôôåêòèâíàÿ) äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêàÿ âåðñèÿ âûáîðêè âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè (ýòîò àëãîðèòì ïîäðîáíî èçó÷åí äàëåå â ðàçä.12; ñì. òàêæå ðàáîòû [3, 9, 14]).Åùå îäèí äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ñ ïîïðàâî÷íûì ìíîæèòåëåì [16] ñâÿçàí ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíêè!!nn1X1Xq(ξ i ) ×H(ξ i ) ,I≈n i=1n i=1ãäå H(x) = 2 − CLM q(x) (ýòîò àëãîðèòì èçó÷åí äàëåå â ðàçä. 20; ñì.òàêæå ðàáîòû [9, 17]).Ê ñóùåñòâåííîìó óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû t èç ñîîòíîøåíèÿ (1.9) ìîæåò ïðèâåñòè èñïîëüçîâàíèå äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîé âåðñèè äâóñòîðîííåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, â êîòîðîé, ïî àíàëîãèè ñ äâóñòîðîííèì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ, ñòðîÿòñÿ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ (6.1) ¾ñâåðõó¿ è ¾ñíèçó¿ äëÿ ñëîæíî âû÷èñëèìîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) (ýòîò àëãîðèòì ïîäðîáíî èçó÷åíäàëåå â ðàçä.
9; ñì. òàêæå ðàáîòó [9]).Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé (6.1) èñïîëüçóþòñÿ òàêæå ïðè ðåàëèçàöèèòàê íàçûâàåìûõ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ïðîöåäóð ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå [3, 5]. Îñíîâíûìè ïðèìåðàìè òàêèõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà, è ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà. Äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðåäâàðèòåëüíóþ äèñêðåòèçàöèþ çàäà÷è (ââåäåíèå ñåòêè), îöåíêó ðåøåíèÿ â óçëàõ ñåòêè ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî ñ ïîñëåäóþùèì êîíå÷íî-ýëåìåíòíûì âîñïîëíåíèåì ðåøåíèÿ ïî ïîëó÷åííûì ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèÿì â óçëàõ ñåòêè.  ýòèõçàäà÷àõ îñîáåííî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ (6.1).346.6.
Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 6.1. Ïóñòü äëÿ ïëîòíîñòè (6.3) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿχi (x) ≥ 0 äëÿ x ∈ Rd è wi (g) ≥ 0,i = 1, . . . , M.(6.5)Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü ïëîòíîñòü (6.3) â âèäåf (x) =MXi=1Pi fi (x); fi (x) =χi (x),YiZYi =χi (y) dy,Pi = Cwi (g)Yi .(6.6)Âûáåðåì ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ Ξ(M ) òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ i , ðàñïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî ïëîòíîñòÿì {fi (x)} èç (6.6),èìåþòñÿ ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Òîãäà âîçíèêàåò ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè(ñì. àëãîðèòì 5.9).ÀËÃÎÐÈÒÌ 6.1. Ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì {Pi } èç (6.6) âûáèðàåìíîìåð m (çäåñü Pi = P(m = i)). Ðåàëèçóåì ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòèfm (x).Êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè M ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî âåëèêî è çàòðàòûíà ïîèñê íîìåðà m ìîãóò áûòü òàêæå âåëèêè.  ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàíèå êâàíòèëüíîãî ìåòîäà (ñì. àëãîðèòì 5.4).6.7. Âûáîð ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà.
Ñóììèðóÿ ñîîáðàæåíèÿïîäðàçäåëîâ 6.16.6, ñôîðìóëèðóåì ÒÐÅÁÎÂÀÍÈß ê ôóíêöèîíàëüíîìó áàçèñó Ξ(M ) .1. Áàçèñíûå ôóíêöèè χi (x) è êîýôôèöèåíòû {wi (g)} íåîòðèöàòåëüíû (ñì. ñîîòíîøåíèå (6.5)).2. Âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ, ðàñïðåäåëåííûå ñîãëàñíî ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîòíîñòÿì {fi (x)}, ýôôåêòèâíî ÷èñëåííî ðåàëèçóåìû.3. Ôóíêöèÿ f (x) áëèçêà ê ôóíêöèè Hg(x) â íåêîòîðîé ôóíêöèîíàëüíîé íîðìå.4.
Àïïðîêñèìàöèÿ (6.1) óñòîé÷èâà.Òðåáîâàíèÿ 3 è 4 ÿâëÿþòñÿ ¾òðàäèöèîííûìè¿ äëÿ òåîðèè àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [2]), à òðåáîâàíèÿ 1, 2 ñïåöèôè÷íûèìåííî äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïðèëîæåíèé. Áóäåì íàçûâàòü ìîäåëèðóåìûìè ôóíêöèîíàëüíûå áàçèñû Ξ(M ) , óäîâëåòâîðÿþùèå òðåáîâàíèÿì1 è 2.Íàìè áûë ïðîâåäåí ïîäðîáíûé àíàëèç èçâåñòíûõ ôóíêöèîíàëüíûõáàçèñîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ ñôîðìóëèðîâàííûõ òðåáîâàíèé 14 [3, 9]. Îêàçàëîñü, ÷òî äàëåêî íå âñå ¾êëàññè÷åñêèå¿ àïïðîêñèìàöèîííûå áàçèñû35ÿâëÿþòñÿ ìîäåëèðóåìûìè. Íàïðèìåð, ôóíêöèè áàçèñà Ëàãðàíæàχi (x) =MY(x − xj )/(xi − xj ),x∈Rj=1,j6=iÿâëÿþòñÿ çíàêîïåðåìåííûìè (ò.
å. òðåáîâàíèÿ 1 è 2 íå âûïîëíÿþòñÿ).Îáëàäàÿ âåñüìà õîðîøèìè àïïðîêñèìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè, àïïðîêñèìàöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âåñüìà íåâàæíûå ñâîéñòâà óñòîé÷èâîñòè (îñîáåííî äëÿ ðàâíîìåðíîé ñåòêè) [2, 18]. Àíàëîãè÷íûå íåäîñòàòêè èìåþòòðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñû [2, 19].7. Ìîäåëèðóåìîñòü àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà7.1. Ïîñòðîåíèå àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà. Íàèáîëååóäà÷íîé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ïðîöåäóðàõ (ñ òî÷êè çðåíèÿ ñôîðìóëèðîâàííûõ â ïîäðàçä.
6.7 òðåáîâàíèé14) îêàçàëàñü êîíå÷íî-ýëåìåíòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ÑòðåíãàÔèêñà. Âîäíîìåðíîì ñëó÷àå õîðîøèå ñâîéñòâà ìîäåëèðóåìîñòè èìååò áàçèñ Áåðíøòåéíà (ñì. äàëåå ðàçä. 8).Îïèøåì ñíà÷àëà àïïðîêñèìàöèþ ÑòðåíãàÔèêñà [20, 21]. Äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà X ⊂ Rd , íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèáëèæåíèå (6.1) ôóíêöèè g(x), âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåänoX = x = x(1) , . . . , x(d) ∈ Rd | ak ≤ x(k) ≤ bk , k = 1, .
. . , d ;âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äàëåå áóäåò âûïîëíåíî ak = 0, bk = 1;k = 1, . . . , d (ò. å. X = Qd åäèíè÷íûé êóá). Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå,÷òî â Rd çàäàíà ðàâíîìåðíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ñåòêà, è êàæäîìó óçëó xi(1)(d) èç X (M ) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ìóëüòèèíäåêñ j(i) = j(i) , . . . , j(i) òàê, ÷òî(1)(d) (s)xi = j(i) h, .
. . , j(i) h , ãäå h øàã ñåòêè, à j(i) öåëûå ÷èñëà. Àïïðîêñèìàöèÿ ÑòðåíãàÔèêñà îïðåäåëÿåòñÿ áàçèñîìχi (x) = χ (1) (d) x(1) , . . . , x(d) = χj (1) x(1) × . . . × χj (d) x(d) , (7.1)j(i) ...,j(i)(i)(i)(m) ãäå χj (m) x(m) = χ x(m) /h − j(i) , à χ(x) ôèíèòíàÿ, îäèíàêîâàÿ äëÿ(i)âñåõ êîîðäèíàò, ïðîèçâîäÿùàÿ áàçèñ ôóíêöèÿ. Êàê ïðàâèëî, â êà÷åñòâå36ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âûáèðàþò B -ñïëàéí β (l) (x) ïîðÿäêà l, êîòîðûéîïðåäåëÿåòñÿ ðåêóððåíòíî: β (i+1) (x) = β (i) ∗ β (0) (x), ãäå1 ïðè − 1/2 ≤ x ≤ 1/2;(0)β (x) =0 èíà÷å,à çíàê ¾∗¿ îáîçíà÷àåò ñâåðòêó.7.2. Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ. ÈñïîëüçîâàíèåB -ñïëàéíà â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè èìååò áîëüøîå ïðåèìóùåñòâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ýôôåêòèâíîé ÷èñëåííîé ðåàëèçóåìîñòè ïîëó÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé (ñì. òðåáîâàíèå 2 èç ïîäðàçä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
