1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 3
Текст из файла (страница 3)
å. pj > 0 è j=1 pj = 1).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè x ∈ Γj âûïîëíåíî f (x) = pj fj (x), ïåðåïèøåì èñõîäíûé èíòåãðàë â âèäå (1.5):ZAXg(x)δ(Ψ(x))jjpj fj (x) dx =I = G(x) pf(x)jjj=1Z=AXG(x)g(x)δ(Ψ(x))jj f (x) dx = Eζ.pf(x)jjj=112Çäåñüζ=AXG(ξ)gj (ξ)δ(Ψj (ξ))j=1pj fj (ξ),à ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðåàëèçîâàòü àëãîðèòì 1.1, ïðè÷åì ïðè ìîäåëèðîâàíèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ i ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñóïåðïîçèöèè (ñì., íàïðèìåð,[1], à òàêæå ðàçä. 5 àëãîðèòì 5.9): ñíà÷àëà ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì {pj }âûáèðàåòñÿ íîìåð mi , à çàòåì ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fmi (x) ðåàëèçóåòñÿòî÷êà ξ i íà ãèïåðïîâåðõíîñòè Γmi .
Ñîîòâåòñòâóþùèé âêëàä â îöåíêó(1.5) ðàâåíG(ξ i )gmi (ξ i ).ζi =pmi fmi (ξ i )Ïî àíàëîãèè ñ ëåììîé 2.1 íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ äèñïåðñèÿ Dζ äîñòèãàåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü f (x) èìååò âèäf (x) = HAX|G(x)| gj (x) δ(Ψj (x)),j=1ãäå H íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà. Îïèñàííûé ïðèåì íîñèò íàçâàíèåâêëþ÷åíèå îñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü.3. Âû÷èñëåíèå áåñêîíå÷íûõ ñóìì èíòåãðàëîâìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî3.1.
Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, êàê èíòåãðàë áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè. Ðÿä âàæíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ (â ÷àñòíîñòè,çàäà÷è ïåðåíîñà ÷àñòèö ñì., íàïðèìåð, [1]) ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòèâû÷èñëåíèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ âèäàZIh = (ϕ, h) = ϕ(x)h(x) dx; ϕ ∈ L1 (X), h ∈ L∞ (X).(3.1)Çäåñü h(x) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, à ϕ(x) ðåøåíèå (íåèçâåñòíîå) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZϕ(x) = k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 + f (x) èëè ϕ = Kϕ + f.(3.2)13Ïðèíàäëåæíîñòüôóíêöèè ϕ ïðîñòðàíñòâó L1 (X), X ⊆ Rl , ñ íîðìîéRkgkL1 = |g(x)| dx îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî â ïîäàâëÿþùåì ÷èñëå ïðèëîæåíèé ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) è ÿäðî k(x0 , x) èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðàK èìåþò îñîáåííîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ îáîáùåííûìè ôóíêöèÿìè(ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (2.6)).
Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ h(x) âûáèðàåòñÿèç ïðîñòðàíñòâà L∞ (X) îãðàíè÷åííûõ (ïî÷òè âåçäå) ôóíêöèé ñ íîðìîé khkL∞ = vrai supx∈X |h(x)|. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòèðåøåíèÿ ϕ(x) óðàâíåíèÿ (3.2) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûZk(x0 , x) dx = q(x0 ) ≤ 1 − δ < 1;(3.3)ïðè ýòîì èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð K ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì. Ñ ïîìîùüþíåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêè (ïîäñòàâíîâêè â óðàâíåíèå (3.2)) ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðÿäàÍåéìàíà∞XK m f (x),(3.4)ϕ(x) =m=0à èñêîìûé ôóíêöèîíàë â âèäåIh =∞X(K m f, h);(3.5)m=0çäåñüm(K f, h) =Zf (y (0) )k(y (0) , y (1) ) × .. × k(y (m−1) , y (m) )h(y (m) ) dy (0) ..dy (m) .(3.6)Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (3.5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñóììó èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè.
Ñõîäèìîñòü ðÿäà (3.4) ñëåäóåò èç óñëîâèÿ (3.3).3.2. Îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà è åå ìîäåëèðîâàíèå. Ñòàíäàðòíûé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî (1.5) íå ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè èç-çà íåîáõîäèìîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ âåêòîðà ξ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè. Îäíàêî ñïåöèàëüíûé âèä ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé èç ñîîòíîøåíèé (3.5), (3.6), â êîòîðûõ ïðè ïåðåõîäå îò íîìåðà mê íîìåðó m + 1 ïðîèñõîäèò óìíîæåíèå íà ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõk(y (m) , y (m+1) ) (è ìåíÿåòñÿ àðãóìåíò ôóíêöèè h(y (m+1) )), è ïðèíöèïâûáîðêè ïî âàæíîñòè (êîòîðûé ïîäðàçóìåâàåò âûáîð ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , áëèçêîé ê ìîäóëþ ïîäûíòåãðàëüíîé14ôóíêöèè) íàâîäÿò íà ìûñëü îá èñïîëüçîâàíèèïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ ξ̃ m = ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (m) âèäàf˜ y (0) , y (1) , . . . , y (m) = π(y (0) )r(y (0) , y (1) ) × . . . × r(y (m−1) , y (m) ), (3.7)ãäå r(x0 , x) = r(x|x0 ) íåêîòîðàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü. Ïðè ýòîì(K m f, h) = Eζ (m) ; ζ (m) = Q̃(m) h(ξ (m) ),(3.8)ãäåQ̃(0) =k(ξ (i−1) , ξ (i) )f (ξ (0) )(i)(i−1),Q̃=Q̃×; i = 1, . . . , m.π(ξ (0) )r(ξ (i−1) , ξ (i) )(3.9)Ôóíêöèÿ (3.7) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îòðåçêàξ (0) , ξ (1) , . . .
, ξ (m) îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ξ (0) , ξ (1) , ξ (2) , . . . ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ r(x0 , x). Íàïîìíèì, ÷òî¾êëàññè÷åñêàÿ¿ öåïü Ìàðêîâà ýòî áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ), äëÿ êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèåñîñòîÿíèÿ ξ (m) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïðåäûäóùåãî ñîñòîÿíèÿ ξ (m−1) (îäíîðîäíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêèïåðåõîäà ξ (m−1) → ξ (m) îäíè è òå æå äëÿ âñåõ m = 1, 2, . . .). Ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü r(x0 , x) = r(x|x0 ) = r(x|ξ (m−1) = x0 ) ýòî óñëîâíàÿïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùåãî (m-ãî) ñîñòîÿíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì ïðåäûäóùåì (äëÿ îäíîðîäíîé öåïè ýòà ôóíêöèÿ íå çàâèñèòîò m). Ìîäåëèðîâàíèå m-ãî ñîñòîÿíèÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ïðîèñõîäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) ξ (0) ñîãëàñíî ïëîòíîñòèπ(x), à çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî ðåàëèçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ξ (i) ; i = 1, .
. . , mñîãëàñíî ïëîòíîñòÿì r(ξ (i−1) , x) = r(x|ξ (i−1) ) (ñì. äàëåå àëãîðèòì 5.7). ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðèáëèæåíèÿ áåñêîíå÷íîé ñóììû (3.5) âìåòîäàõ Ìîíòå-Êàðëî ââîäèòñÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ýòî äåëàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ¾ôèçè÷åñêèìè¿ ñîîáðàæåíèÿìè èç òåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö (ñì., íàïðèìåð, [1]). Îïðåäåëÿåòñÿïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿp(x0 , x) = r(x0 , x)(1 − p(x0 )),(3.10)ãäå çíà÷åíèå 0 ≤ p(x0 ) ≤ 1 èãðàåò ðîëü âåðîÿòíîñòè îáðûâà òðàåêòîðèè. Ìîäèôèêàöèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ïîñëå ðåàëèçàöèè íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ξ (0) ïðè ðåàëèçàöèè ïåðåõîäà ξ (i−1) → ξ (i)15ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòè p(ξ (i−1) ) ðàçûãðûâàåòñÿ îáðûâ òðàåêòîðèè. Åñëè îáðûâ ïðîèñõîäèò, òî äàëüíåéøèå ïåðåõîäû íå ìîäåëèðóþòñÿ, èíà÷åïðîèñõîäèò ðåàëèçàöèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ (i) ñîãëàñíî ïëîòíîñòèr(ξ (i−1) , x).Åñëè ïîòðåáîâàòü p(x0 ) ≥ δ > 0, òîZp(x0 , x) dx = 1 − p(x0 ) ≤ 1 − δ < 1(3.11)(ýòî àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (3.3)) è EN < +∞, ãäå N ñëó÷àéíûé íîìåðîáðûâà òðàåêòîðèè.
Íåñìîòðÿ íà ñîîòíîøåíèå (3.11), ôóíêöèþ (3.10)÷àñòî íàçûâàþò ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà, îáðûâàþùåéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.3.3. Îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëèíåéíîãîôóíêöèîíàëà îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãîðîäà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå (ñì., íàïðèìåð, [1]):Ih = (ϕ, h) = Eζ,ζ=NXQ(m) h(ξ (m) ).(3.12)m=0Çäåñü Ih ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë (3.1) îò ðåøåíèÿ ϕ(x) èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (3.2); ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (N ) îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþπ(x) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé (ïëîòíîñòüþ) p(x0 , x); N ñëó÷àéíûé íîìåð îáðûâà öåïè. Ñëó÷àéíûå âåñà Q(m) îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî ïîàíàëîãèè ñ ñîîòíîøåíèåì (3.9):Q(0) =k(ξ (m−1) , ξ (m) )f (ξ (0) )(m)(m−1);Q=Q×.π(ξ (0) )p(ξ (m−1) , ξ (m) )Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (3.12) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿñîîòíîøåíèé (3.11) èπ(x) 6= 0 ïðè f (x) 6= 0 è p(x0 , x) 6= 0 ïðè k(x0 , x) 6= 0.(3.13)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ íàçûâàåòñÿ âåñîâîé îöåíêîé ïî ñòîëêíîâåíèÿìôóíêöèîíàëà Ih .
Ðàâåíñòâî (3.12) äàåò ñëåäóþùèé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿôóíêöèîíàëà (3.2).ÀËÃÎÐÈÒÌ 3.1. Ðåàëèçóåì n òðàåêòîðèé(0)(1)(Nj )ξj , ξ j , . . . , ξj16; j = 1, . . . , n(3.13)öåïè Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåép(x0 , x) è âû÷èñëÿåì ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âèäà (1.1):NjXζ1 + . . . + ζn(m)(m), ãäå ζj =Qj h(ξj ).Ih ≈ ζ̄n =nm=0Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïðèáëèæåíèÿ áåñêîíå÷íûõ ñóìì (3.5) èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè (3.6).3.4.
Èñïîëüçîâàíèå îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì. Äëÿ öåëîãî ðÿäà àêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìîæíî ïðåäñòàâèòü èñêîìóþ âåëè÷èíó â âèäå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà (3.1) îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (3.2) (ñì., íàïðèìåð, [1]). Äëÿ îöåíêè ýòîãîôóíêöèîíàëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì 3.1.Äîñòàòî÷íî ÷àñòî ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) óðàâíåíèÿ (3.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü, à ÿäðî k(x0 , x) ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ (ïëîòíîñòü) öåïè Ìàðêîâà, îáðûâàþùåéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå öåïèÌàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x)h = f (x) è ïåðåõîäíîéôóíêöèiPN00(m)åé p(x , x) = k(x , x), è òîãäà Ih = E) .
Îäíàêî íåðåäm=0 h(ξêî ôóíêöèè f (x) è k(x0 , x), èìåþùèå óêàçàííûé âûøå âåðîÿòíîñòíûéñìûñë, ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ñëîæíûìè, è ìîäåëèðîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåéöåïè Ìàðêîâà çàòðóäíåíî. Òîãäà ìîæíî ìîäåëèðîâàòü äðóãóþ, âñïîìîãàòåëüíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ ïðîñòûìè ïëîòíîñòüþ ïåðåõîäà p(x0 , x) èíà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x), äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3.13), èñòðîèòü âåñîâóþ îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì (3.12). Ïîñëåäíþþ âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò íàëè÷èå îñîáåííîñòåé â ôóíêöèÿõ f (x)è k(x0 , x), ÷òî âûíóæäàåò èñïîëüçîâàòü ïðèåì, îïèñàííûé â ïîäðàçä. 2.2 âêëþ÷åíèå îñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü.4.
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ òåñòîâàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé4.1. Òðåáîâàíèÿ ê òåñòîâîé ñèñòåìå ôóíêöèé. Ïåðâûì äåëîì îòìåòèì, ÷òî ìàòåðèàë äàííîãî ðàçäåëà â áîëåå ðàçâåðíóòîì âèäåïðåäñòàâëåí â ñïåöèàëüíîì êóðñå êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè ÍÃÓ ¾Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî¿ [5] (ñì.
òàêæåðàáîòû [3, 9, 11]).Âàæíåéøèì ýëåìåíòîì èññëåäîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (0.1), (0.2), (1.5) è äð. ÿâëÿåòñÿ òåñòèðîâàíèå. Ïðè ýòîì îò17íîñèòåëüíî ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå ÒÐÅÁÎÂÀÍÈß.1. ×òîáû ñîáëþñòè ¾íåçàâèñèìîñòü¿ òåñòèðîâàíèÿ, íóæíî äîáèâàòüñÿ òîãî, ÷òîáû âèä (ãðàôèê) ôóíêöèè g(x) áûë ñëó÷àéíûì, çàðàíåå íåïðåäñêàçóåìûì.2.
Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àåâ ¾ñëîæíûõ¿ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé g(x) íóæíî, ÷òîáû èìåëàñü âîçìîæíîñòü âàðüèðîâàòü âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû íà ïîëó÷åíèå îäíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè.3. Íóæíî, ÷òîáû õîòÿ áû â ïðîñòåéøèõ ñèòóàöèÿõ (íàïðèìåð, âîäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè d = 1) ìîæíî áûëî ïðîâåðèòü ðàñ÷åòû àíàëèòè÷åñêè.4.  ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ñõîäèìîñòü ìíîãèõ êóáàòóðíûõ ôîðìóë îáóñëîâëåíà òðåáîâàíèÿìè âèäà g(x) ∈ G(X) (çäåñü G(X) íåêîòîðîåôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî), äîëæíà ïðèñóòñòâîâàòü âîçìîæíîñòü êîíòðîëÿ ñâîéñòâ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) (â ÷àñòíîñòè, ñâîéñòâ ãëàäêîñòè ïðè G(X) = C r (X)).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
