1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Áîëåå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ f (x):ZuF (u) =f (x) dx,(5.5)−∞ïîëîæèòåëüíîé íà èíòåðâàëå (a, b) (è ðàâíîé íóëþ âíå ýòîãî èíòåðâàëà). Ñôîðìóëèðóåì ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì (ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ) (ñì., íàïðèìåð, [1]).23ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.5. Äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè (ìîäåëèðîâàíèÿ) âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ ∈ (a, b) èñïîëüçóåì ôîðìóëóξ = F −1 (α);(5.6)çäåñü α ñòàíäàðòíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî.Àëãîðèòì 5.5 íà ïåðâûé âçãëÿä çàêðûâàåò âîïðîñ î ìîäåëèðîâàíèèñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ ∈ (a, b).
Îäíàêî îñòàåòñÿ îäíà âàæíàÿ ¾òåõíè÷åñêàÿ¿ ïðîáëåìà, ñâÿçàííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë âèäà (5.6) â ðåàëüíûõâû÷èñëèòåëüíûõïðîãðàììàõ:ïðåäñòàâèòüçàâèñèìîñòüψ(u) = F −1 (u) â âèäå ïðîñòîé êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé òàê,÷òîáû âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ψ(u) ìîãëî áûòü ýôôåêòèâíî ðåàëèçîâàíî íà ÝÂÌ.  ñëó÷àå, êîãäà ýòà ïðîáëåìà ðàçðåøèìà, ðàñïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ è ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó (5.6) íàçûâàþòýëåìåíòàðíûìè (ñ òî÷êè çðåíèÿ âîçìîæíîñòè ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ) [1, 4].Ñ ó÷åòîì òîãî ÷òî âåëè÷èíû ξ è F −1 (α) ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó(a, b), à ôóíêöèÿ F (u) ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ýòîì èíòåðâàëå, ïåðåïèøåì (5.6) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå F (ξ) = α.
 ñâîþ î÷åðåäü, â ñèëóñîîòíîøåíèÿ (5.5), ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåZξf (x) dx = α.(5.7)aÐàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì, åñëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.7) ïðåäñòàâèìî â âèäå ξ = ψ(α), ãäå ψ(u) ïðîñòàÿêîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, è âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ψ(u) íàÝÂÌ ðåàëèçóåòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî. Íàïðèìåð, äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ f (x) = λ e−λ x ; x > 0, λ > 0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.7) ïðèâîäèò ê ôîðìóëå ξ = − ln α0 /λ (çäåñü α0 = 1 − α) ñì., íàïðèìåð, [1].Óðàâíåíèå (5.7) ìîæåò áûòü íåðàçðåøèìûì ïî äâóì ïðè÷èíàì.
Ïåðâàÿ ïðè÷èíà: èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.7) íå áåðåòñÿ (ò. å.ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ). Âòîðàÿ ïðè÷èíà: äàæå åñëè èíòåãðàë áåðåòñÿ, ïîëó÷àåìîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü íåðàçðåøèìûì (â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ) îòíîñèòåëüíî ξ . Íåñìîòðÿ íà ïåðå÷èñëåííûå òðóäíîñòè, ìîæíî ïîñòðîèòüíåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (ýòóâîçìîæíîñòü äàåò, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàíèå ëåììû î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ) [4].245.4. Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ.
Èçâåñòíî(ñì., íàïðèìåð, [1]), ÷òî ïëîòíîñòü f (x) = f x(1) , . . . , x(d) ðàñïðåäåëåíèÿd-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) ìîæåò áûòü d! ñïîñîáàìè ðàçëîæåíà â ïðîèçâåäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé:f (x) = fi1 x(i1 ) fi2 x(i2 ) x(i1 ) × .. × fid x(id ) x(i1 ) , x(i2 ) , .., x(id−1 ) ,(5.8)ãäå (i1 , . . . , id ) íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà íîìåðîâ (1, . . .
, d) (òàêèõ ïåðåñòàíîâîê êàê ðàç d! øòóê),Z Zfi1 x(i1 ) = . . . f x(1) , . . . , x(d) dx(i2 ) . . . dx(id ) ,fi2 x(i2 ) x(i1 ) = fi2 x(i2 ) ξ (i1 ) = x(i1 ) =RR. . . f x(1) , . . . , x(d) dx(i3 ) . . . dx(id )=,fi1 x(i1 ) R . . . R f x(1) , . . . , x(d) dx(i4 ) . . . dx(id )(i3 ) (i1 )(i2 )fi3 x,x ,x=fi1 x(i1 ) fi2 x(i2 ) x(i1 )············ (i )R(1)(d)f x , .., xdx d,fid−1 x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 ) =(i)(i)d−21fi1 x..fid−2 xx(i1 ) , .., x(id−3 )f x(1) , . . . , x(d)(id ) (i1 )(id−1 ).fid xx , .., x=fi1 x(i1 ) ..fid−1 x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 )Êàæäîìó ðàçëîæåíèþ (5.8) ñîîòâåòñòâóåòàëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = ξ (1) , .
. . , ξ (d) .ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.6. 1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû ξ (i1 ) âåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi1 (x).2. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîåçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (i2 ) ñîãëàñíî (i ) 1.ïëîòíîñòè fi2 x ξ············(id )d. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîåçíà÷åíèåñîãëàñ (i ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(id−1 )1íî ïëîòíîñòè fid x ξ , . . . , ξ.25Îáîñíîâàíèå ôîðìóëû (5.8) è àëãîðèòìà 5.6 îñóùåñòâëÿåòñÿ èíäóêöèåé ïî ðàçìåðíîñòè d. Ïðè ýòîì èíäóêòèâíûé ïåðåõîä îñíîâàí íà ðàññìîòðåíèè äâóìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η) (ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû ξ è η ìîãóò áûòü êàê ñêàëÿðíûìè, òàê è âåêòîðíûìè) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x, y), äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâû äâà ïðåäñòàâëåíèÿ:Zf (x, y); (5.9)f (x, y) = fξ (x)fη (y|x); fξ (x) = f (x, y) dy, fη (y|x) =fξ (x)Zf (x, y)f (x, y) = fη (y)fξ (x|y); fη (y) = f (x, y) dx, fξ (x|y) =.
(5.10)fη (y)Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (5.9) àëãîðèòì 5.6 âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fξ (x), àçàòåì ìîäåëèðóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòèf (ξ0 , y)/fξ (ξ0 ). Àíàëîãè÷íî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (5.10) ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fη (y), à çàòåì ìîäåëèðóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x, η0 )/fη (η0 ).Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ îñíîâíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ âûáîð òîãî èç d! ðàçëîæåíèé (5.8), äëÿ êîòîðîãî âîçìîæíî ïîñòðîåíèå íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ïîñëåäîâàòåëüíîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé {ξ (ij ) }. Óæå äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ÷àñòîìîæíî íàáëþäàòü ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ: îäíî èç ðàçëîæåíèé (5.9) èëè(5.10) ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ0 è η0 êîìïîíåíò ξ è η , à âòîðîå ðàçëîæåíèå íå äàåòòàêèõ àëãîðèòìîâ [1, 4].
Ïîýòîìó âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõñ êîíñòðóèðîâàíèåìâåðîÿòíîñòíûõ ïëîòíîñòåé, êîìïîíåíòû âåêòîðàξ (1) , . . . , ξ (d) áåðóòñÿ íåçàâèñèìûìè, ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f x(1) , . . . , x(d)èìååò âèäf x(1) , . . . , x(d) = f1 (x(1) ) × f2 (x(2) ) × . . . × fd (x(d) ),(5.11)ò. å. óñëîâíûå ïëîòíîñòè â (5.8) ïðåâðàùàþòñÿ â ¾áåçóñëîâíûå¿, è ðàçíèöà â ïðåäñòàâëåíèÿõ âèäà (5.8) ñîñòîèò ëèøü â ïîðÿäêå ïåðåìíîæåíèÿ ïëîòíîñòåé {fi (x(i) )}. Ïðè ýòîì êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà ξ (i)ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî ñâîåé ïëîòíîñòè fi (x), ïðè÷åì ïîðÿäîê ìîäåëèðîâàíèÿ, â îòëè÷èå îò àëãîðèòìà 5.6, ïðîèçâîëåí.Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ (â òîì ÷èñëå, áåñêîíå÷íîìåðíûõ) çàäà÷ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì., â ÷àñòíîñòè, ïîä-26ðàçä. 3.2) ðàññìàòðèâàþòñÿ (êîíñòðóèðóþòñÿ)(m + 1)-ìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû ξ̃ m = ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (m) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âèäàf˜ x(0) , x(1) , .., x(m) = π(x(0) )p1 (x(1) |x(0) )p2 (x(2) |x(1) )..pm (x(m) |x(m−1) )(5.12)(ñì. ñîîòíîøåíèå (3.7)). Ïðåäñòàâëåíèå (5.12) îòðàæàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåêòîð ξ̃ m îáëàäàåò ìàðêîâñêèì ñâîéñòâîì: â îäíîì èç ïðåäñòàâëåíèé âèäà (5.8) (êîíêðåòíåå, äëÿ òîæäåñòâåííîé ïåðåñòàíîâêè(i0 , i1 , . . . , im ) = (0, 1, . . . , m)) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû ξ (j)ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïðåäûäóùåé êîìïîíåíòû ξ (j−1) : fj xx(0) , . .
. , x(j−1) ≡ pj xx(j−1) .Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ξ (0) , ξ (1) , . . . , ξ (m) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà÷àëüíûé îòðåçîê äëèíû (m + 1) öåïè Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x)è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ pj (x0 , x) = pj (x|ξ (j−1) = x0 ).  ñëó÷àå, êîãäàïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè pj (x0 , x) îäèíàêîâû äëÿ âñåõ j = 1, 2, . . ., öåïüÌàðêîâà ξ (0) , ξ (1) , ξ (2) , . . . ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íà÷àëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ (0) , ξ (1) , . .
. , ξ (m) òðàåêòîðèè öåïèÌàðêîâà ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó âàðèàíòó àëãîðèòìà 5.6 (ñì.òàêæå ïîäðàçä. 3.2).ÀËÃÎÐÈÒÌ 5.7. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû ξ (0) ñîãëàñíî íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè π(x). Çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ j = 1, 2, . . . , m ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõêîìïîíåíò ξ (j) ñîãëàñíî ïåðåõîäíûì ïëîòíîñòÿì pj (ξ (j−1) , x).Äëÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ðîçûãðûø êîìïîíåíò ξ (j) â àëãîðèòìå 5.7 ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ j = 1, .
. . , m ïåðåõîäíîéïëîòíîñòè p(x0 , x). Êðîìå òîãî, â ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåìèíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëî m ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì (öåïü ¾îáðûâàåòñÿ¿), è â àëãîðèòìû òèïà 5.7 âêëþ÷àþòñÿ ñïåöèàëüíûå ïðèåìû äëÿðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ m äëÿ äàííîé òðàåêòîðèè (ñì. ïîäðàçä. 3.2).5.5. Ìåòîäû èíòåãðàëüíîé è äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè. Ïóñòüòðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé k1 -ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , ïëîòíîñòü êîòîðîãî ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðàx ∈ R k1 :Zf (x) =p(x, y) dy,(5.13)R k227ïðè ýòîì:1) ôóíêöèÿ p(x, y) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ (k1 +k2 )-ìåðíîãî âåêòîðà(ξ, η);2) â ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå ïîëíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåéZf (x) =fη (y)fξ (x|y) dy(5.14)R k2(ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
