1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ýòè ôîðìóëû ñîâïàäàþò ñ ñîîòíî(1)øåíèÿìè (13.3) è (13.4) äëÿ ξi = ξi ; i = 1, 2, 3 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,÷òî ïî-äðóãîìó âû÷èñëÿåòñÿ êîìïîíåíòà r̂:q3(1)(1)(1)r̂ = α1 (a + h)3 + (1 − α1 )(a − h)3 .(13.7)Ïðè ïîäñ÷åòå χG (ξ (1) ) èç (13.6) ìîæíî íå ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ (13.3),à ëèøü ïðîâåðÿòü óñëîâèå (13.5) äëÿ r̂ = r̂(1) .Èç ôîðìóë (13.2)(13.7) ñëåäóåò, ÷òî âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû íàðåàëèçàöèþ îöåíîê (13.2) è (13.6) ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâû, â òî âðåìÿêàêD(X̄χG (ξ)) > D(X̄2 + X̄1 χG (ξ (1) )),58òàê êàêD(X̄χG (ξ)) = X̄ Ḡ − Ḡ2 = Ḡ(X̄ − Ḡ),D(X̄2 + X̄1 χG (ξ (1) )) = X̄1 (Ḡ − X̄2 ) − (Ḡ − X̄2 )2 = (Ḡ − X̄2 )(X̄ − Ḡ);çäåñü èñïîëüçîâàíî ðàâåíñòâî X̄1 + X̄2 = X̄ . Òàêèì îáðàçîì,Ḡ − X̄2D(X̄2 + X̄1 χG (ξ (1) ))X̄ − X̄2=≤=D(X̄χG (ξ))ḠX̄2=6h(a + h)2(4π/3)((a + h)3 − (a − h)3 )≤.(4π/3)(a − h)3(a − h)3Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà èìååò àñèìïòîòèêó 6h/a ïðè h → 0.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 13.1.
Îòìåòèì, ÷òî, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (13.5), ôîðìóëû (13.2) è (13.6) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âàðèàíòû ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ(ò. å. åñëè ðåàëèçàöèè âåêòîðîâ ξ è ξ (1) íå ïîïàäàþò â îáëàñòü G, òîâêëàäû â ñîîòâåòñòâóþùèå ñóììû íå äåëàþòñÿ).ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 13.2. Ïî àíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 13.1 ìîæíî ñòðîèòüäèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå àëãîðèòìû, ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëÿòü îáúåìû (ïëîùàäè) Ḡ äëÿ øèðîêîãî êëàññà ãëàäêèõ òðåõìåðíûõ (äâóìåðíûõ) îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé G. Çäåñü ñëåäóåò ââåñòè ïðÿìîóãîëüíóþñåòêó ñ ìàëûì øàãîì h ïî êàæäîé êîîðäèíàòå, âçÿòü â êà÷åñòâå îáëàñòè X îáúåäèíåíèå âñåõ ýëåìåíòàðíûõ êóáîâ (êâàäðàòîâ), èìåþùèõíåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ G, à â êà÷åñòâå X2 îáúåäèíåíèå êóáîâ (êâàäðàòîâ), ïîëíîñòüþ ëåæàùèõ âíóòðè G (îáúåì X̄2 ïðè ýòîì íåñëîæíîâû÷èñëèòü).
Âêëàä â îáúåì (ïëîùàäü) Ḡ îò ¾ïðèãðàíè÷íûõ¿ ýëåìåíòàðíûõ êóáîâ (êâàäðàòîâ), îáúåäèíåíèå êîòîðûõ îáðàçóåò îáëàñòü X1 ,ìîæíî âû÷èñëèòü ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìîâìåòîäà ñóïåðïîçèöèè è èñêëþ÷åíèÿ (ñì. ïîäðàçä. 5.5, 5.6): ñíà÷àëà ñîãëàñíî äèñêðåòíîìó ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ (ñì. àëãîðèòì 5.3)âûáèðàåòñÿ ¾ïðèãðàíè÷íûé¿ ýëåìåíòàðíûé êóá (êâàäðàò), â êîòîðîìðàçûãðûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ òî÷êà ξ (1) , è åñëè ξ (1) ∈ G, òî äåëàåòñÿñîîòâåòñòâóþùèé âêëàä â îöåíêó òèïà (13.6).5914. Âûáîðêà ïî âàæíîñòè ïî ÷àñòè ïåðåìåííûõ14.1. Ðàçáèåíèå ïåðåìåííûõ íà äâå ãðóïïû.
 ðàçäåëàõ 14, 15ïðåäñòàâëåíû ìåòîäû óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè Dζ , îñíîâàííûå íà ðàçáèåíèè ïåðåìåííûõ x = x(1) , . . . , x(d) íà äâå ãðóïïû: y = x(1) , . . . , x(k1 ) ,z = x(k1 +1) , . . . , x(d) , 0 < k1 < d, è ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëà (1.4)ôîðìóëîé ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:ZZZ ZI = g(x) dx = q(x)f (x) dx =q(y, z) f (y, z) dy dz =Z= Eq(ξ) = Eq(η, γ) = Eη Eγ (q(ξ)|η) =Eγ (q(ξ)|y)fη (y) dy.(14.1)Çäåñü ξ d-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàñïðåäåëåííûé ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (y, z) è ñîñòàâëåííûéèç êîìïîíåíòk1 -ìåðíîãî âåêòîðàη =η (1) , .
. . , η (k1 )=ξ (1) , . . . , ξ (k1 ) è k2 -ìåðíîãî âåêòîðàγ = γ (1) , . . . , γ (k2 ) = ξ (k1 +1) , . . . , ξ (d) ; k1 + k2 = d.R Êðîìå òîãî, â ñîîòíîøåíèè (14.1) ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ Eγ (q(ξ)|y) = q(y, z)fγ (z|y) dz,Zfη (y) = f (y, z) dz, fγ (z|y) = f (y, z)/fη (y).(14.2)Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âîñïðîèçâîäèò ïðåäñòàâëåíèå (5.9) äëÿ âåêòîðà ξ = (η, γ) (ñì. ïîäðàçä. 5.4).
Ðàâåíñòâî (14.1) ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìîéïîäñòàíîâêîé ôîðìóë (14.2) ñ ó÷åòîì òåîðåìû Ôóáèíè î ïðåäñòàâëåíèèäâîéíîãî èíòåãðàëà â âèäå ïîâòîðíîãî.14.2. Âûáîðêà ïî âàæíîñòè ïî ïåðåìåííîé y.  ðÿäå ïðèëîæåíèé âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. Èíòåãðàë (1.4) îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà (1.5), ïðè÷åì ïëîòíîñòü fγ (z|y) èç ïðåäñòàâëåíèÿ (14.2) çàäàíà è òðåáóåòñÿ âûáðàòü ïëîòíîñòü fη (y), ìèíèìèçèðóþùóþ âåëè÷èíó äèñïåðñèè Dζ èç ôîðìóëû (2.1).
 ýòîì ñëó÷àåàëãîðèòì 1.1 ñ îïòèìàëüíîé ïëîòíîñòüþ fη ,min (y) íàçûâàþò âûáîðêîéïî âàæíîñòè ïî ÷àñòè ïåðåìåííûõ (ñì., íàïðèìåð, [1]). Çàìåòèì, ÷òîZZ 2dyg (y, z) dzDζ =− I 2.fη (y)fγ (z|y)Îáîçíà÷èìZg1 (y) =g 2 (y, z) dzfγ (z|y)601/2è ïåðåïèøåì ôîðìóëó (2.1) â âèäåZ 2g1 (y) dyDζ =− I 2.fη (y)(14.3)Ïî àíàëîãèè ñ ëåììîé 2.1 ñôîðìóëèðóåìÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 14.1.
Ìèíèìàëüíàÿ äèñïåðñèÿ (Dζ)min âèäà (14.3)ðåàëèçóåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü fη (y) ïðîïîðöèîíàëüíà ôóíêöèè g1 (y), òî åñòüZ 21/2 ,Z Z 21/2g (y, z) dzg (w, z) dzg1 (y)=dwfη ,min (y) = Rfγ (z|y)fγ (z|w)g1 (w) dw(14.4)è ðàâíà!2Z21/2Z Z 2g (y, z) dz2(Dζ)min =g1 (y) dy − I =dy − I 2 .fγ (z|y)(14.5)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Âûðàæåíèå (14.5) ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ñîîòíîøåíèÿ (14.4) â (14.3). Äàëåå, èç ôîðìóë (14.3) è(14.5) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà (Dζ)min ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíî íàèìåíüøåé, òàê êàê äëÿ ëþáîé ïëîòíîñòè fη (y) âåëè÷èíàZ2Z 2g1 (y)Dζ − (Dζ)min =dy −g1 (y) dyfη (y)ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèåé (òî åñòü âåëè÷èíîé íåîòðèöàòåëüíîé) ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû g1 (η)/fη (η), ãäå âåêòîð η èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿfη (y). Óòâåðæäåíèå 14.1 äîêàçàíî.Ó÷èòûâàÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâîZg(y, γ)g(y, z) dz = E,fγ (γ|y)ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî óòâåðæäåíèå 14.1 ïîêàçûâàåò, ÷òî îïòèìàëüíûé âûáîð çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η îñóùåñòâëÿåòñÿ èçðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ (14.4), ïðîïîðöèîíàëüíîé êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñðåäíåãî êâàäðàòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ¾âêëàäà¿ â îöåíêó èíòåãðàëà (1.4).6115.
Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è ìåòîäðàñùåïëåíèÿ (ñðàâíåíèå ïîñòàíîâîê çàäà÷)15.1. Ïîíèæåíèå ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì åùåäâå âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (14.1) äëÿ óìåíüøåíèÿìíîæèòåëÿ Dζ èç (2.1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåëè÷èíà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿZq1 (y) = Eγ (q(ξ)|y) = q(y, z)fγ (z|y) dz(15.1)ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè äëÿ êàæäîãî y. Èç ñîîòíîøåíèÿ (14.1)èìååìZ(15.2)I = q1 (y)fη (y) dy = Eζ (1) , ãäå ζ (1) = q1 (η).ÀËÃÎÐÈÒÌ 15.1.
Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë (15.2) ïî ôîðìóëånI = Eζ(1)≈ζ̄n(1)1Xq1 (η i ),=n i=1ãäå ñëó÷àéíûé âåêòîð η è ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ {η i }ðàñïðåäåëåíû ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fη (y).Àëãîðèòì 15.1 íàçûâàþò ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé (ñì.,íàïðèìåð, [1, 16]). Ýòîò àëãîðèòì ñîâïàäàåò ñ àëãîðèòìîì (1.5) äëÿ èíòåãðàëà (15.2) ðàçìåðíîñòè k1 , ìåíüøåé ÷åì d. Ïîýòîìó àëãîðèòì 15.1÷àñòî íàçûâàþò ìåòîäîì ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ [1, 16].15.2.
Óìåíüøåíèå äèñïåðñèè. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿËÅÌÌÀ 15.1 (ñì., íàïðèìåð, [1]). Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ôîðìóëà ïîëíîé äèñïåðñèè:Dζ = Dζ (1) + Eη Dγ (q(ξ)|η),(15.3)ò. å. ïîëíàÿ äèñïåðñèÿ ðàâíà ñóììå äèñïåðñèè óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ óñëîâíîé äèñïåðñèè.Èç ôîðìóëû (15.3) ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Dζ (1) íå ïðåâîñõîäèò ïîëíîé äèñïåðñèè Dζ .15.3.
Èñïîëüçîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèéñëó÷àéíîãî âåêòîðà γ . Ñëåäóþùàÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðåä-ñòàâëåíèÿ (14.1) äëÿ óìåíüøåíèÿ òðóäîåìêîñòè ñâÿçàíà ñ ðåàëèçàöèåéäîïîëíèòåëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé {γ k } äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè q1 (y) = Eγ (q(ξ)|y) èç (15.1) ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.62ÀËÃÎÐÈÒÌ 15.2. Ðåàëèçóåì n íåçàâèñèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé{η i } ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fη (y). Äëÿ êàæäîãîη i ïîëó÷àåì K(η i ) íåçàâèñèìûõ ðåàëèçàöèé γ i,k ñëó÷àéíîãî âåêòîðà γñîãëàñíî ïëîòíîñòè fγ (z|η i ).
Ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì èíòåãðàë (1.4)ïî ôîðìóëåK(η i )K(η )nX1X 11 Xq(η, γ k )q(η i , γ i,k ), ãäå ζ (K) =n i=1 K(η i )K(η)k=1k=1(15.4)è γ k íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå (êàê γ ) ñëó÷àéíûå âåêòîðû.Àëãîðèòì 15.2 íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ðàñùåïëåíèÿ (ñì., íàïðèìåð,[1]). Çàìåòèì, ÷òî åñëè K(η) ≡ 1 (ò. å. ¾ðàñùåïëåíèÿ¿ êàê òàêîâîãîíå ïðîèñõîäèò), òî àëãîðèòì 15.2 ïðåâðàùàåòñÿ â àëãîðèòì (1.5) (çäåñüζ (K) = ζ ), ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ξ i = (η i , γ i ) ðåàëèçóþòñÿ ñîãëàñíî àëãîðèòìó 5.6 (ñì. ïîäðàçä. 5.4): çíà÷åíèå η i ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fη (y), à γ i ñîãëàñíî óñëîâíîé ïëîòíîñòè fγ (z|η i ).Ðàâåíñòâî I = Eζ (K) èç ñîîòíîøåíèÿ (15.4)ñëå ìîæíî îáîñíîâàòüäóþùèì îáðàçîì.
Ðàññìîòðèì âåêòîð ~γ = γ 1 , . . . , γ K(η ) . Ïðèìåíÿÿôîðìóëó ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷àåìP K(η )Eγq(η, γ k )η~k=1(K)=Eζ (K) = Eη Eγ|η) = Eη ~ (ζK(η)I = Eζ (K) ≈= Eη!Eγ q(η, γ)|η K(η)= Eη Eγ q(η, γ)|η = Eq(ξ) = I.K(η) ðàáîòå [1] ïðèâåäåíû ñîîáðàæåíèÿ î âûáîðå ïàðàìåòðà ðàñùåïëåíèÿ K , äàþùåãî ìåíüøóþ òðóäîåìêîñòü (1.9) àëãîðèòìà 15.2 ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíûì àëãîðèòìîì (1.5).  ýòîì æå ó÷åáíèêå ïðèâåäåíûñîîáðàæåíèÿ îá èñïîëüçîâàíèè ìíîãîêðàòíîãî ðàñùåïëåíèÿ è ïðèâåäåí ïðèìåð ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ â çàäà÷å îïåðåíîñå ÷àñòèö.6316. Ìåòîä ðàññëîåííîé âûáîðêè (âûáîðêàïî ãðóïïàì)16.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
