1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòüòîê.5. Òåëåãðàôíîå ñîîáùåíèå ñîñòîèò èç ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ïåðåäàâàåìûõ ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿ âñòðå÷àþòñÿ âîòíîøåíèè 11:10. Èç-çà ïîìåõ èñêàæàåòñÿ â ñðåäíåì 30 % ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿è 20 % ñèãíàëîâ ¾òèðå¿, ïðè÷åì ¾òî÷êà¿ èñêàæàåòñÿ â ¾òèðå¿, à ¾òèðå¿ â¾òî÷êó¿.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ ñèãíàëà. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ñèãíàë íå áûë èñêàæåí, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðèíÿëè ¾òî÷êó¿.6. Äâà èãðîêà èãðàþò â øàõìàòû íà äåíüãè. Èçâåñòíî, ÷òî â ñðåäíåìèç 10 ïàðòèé òðè âûèãðûâàåò ïåðâûé èãðîê, òðè çàêàí÷èâàþòñÿ âíè÷üþ, è÷åòûðå âûèãðûâàåò âòîðîé èãðîê.  ñëó÷àå ïðîèãðûøà ïåðâûé èãðîê ïëàòèò âòîðîìó 30 ðóáëåé. Ñêîëüêî îí äîëæåí ïîëó÷àòü â ñëó÷àå âûèãðûøà,÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åãî âûèãðûøà ðàâíÿëîñü íóëþ? Íàéòèðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è äèñïåðñèþ ñóììû âûèãðûøà (îòðèöàòåëüíàÿ ñóììàâûèãðûøà ýòî ñóììà ïðîèãðûøà, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿).
Ïîñòðîèòüãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ{f (x) =22A√e−(x−a) /(2σ )σ 2π0ïðè |x − a| > 2σ;ïðè|x − a| ≤ 2σ.Íàéòè íîðìèðóþùóþ êîíñòàíòó A, âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè a = σ = 1.8.  ïîäúåçäå 5 îäíîêîìíàòíûõ êâàðòèð ïëîùàäüþ ïî 40 êâ.
ì., 10äâóõêîìíàòíûõ êâàðòèð ïî 60 êâ. ì. è 5 òðåõêîìíàòíûõ êâàðòèð ïî 70êâ. ì. Äëÿ âûáðàííîé íàóäà÷ó êâàðòèðû íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå÷èñëà êîìíàò è ïëîùàäè. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.2299. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y èìååòâèä: f (x, y) = c, åñëè x, y ≥ 0, x + 3y ≤ 3, è 0 èíà÷å. Íàéòè êîíñòàíòó c èρ(X, Y ).10. Ñóììàðíîå âðåìÿ ðàáîòû ìàøèíû ñêëàäûâàåòñÿ èç èíòåðâàëîâ âðåìåíè, êàæäûé èç êîòîðûõ èçìåðÿåòñÿ ñî ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì â 1 ìèíóòó.
Íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ âðåìåíè òàêîå, ÷òîáû ôàêòè÷åñêîå âðåìÿ ðàáîòû îòëè÷àëîñü îò èçìåðåííîãî íå áîëüøå, ÷åì íà 2 ÷àñà,ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê.
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ x−x/θ3ïðè x > 0;θ6 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.22,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77-15,1613. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2].
Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.1,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,961,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,4814. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X12345Y −3 −1 −10 −4 4230Âàðèàíò 301. Ìîæåò ëè ðàçíîñòü äâóõ ñîáûòèé ñîâïàäàòü ñ èõ ïðîèçâåäåíèåì?Ïðèâåñòè ïðèìåðû.2.
 ÷óëàíå ëåæèò òðè ïàðû áîòèíîê. Ñëó÷àéíî âûáèðàþòñÿ òðè áîòèíêà. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ íå áóäåò íè îäíîé ïàðû?3. Íà ëèíåéêå íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû 2 òî÷êè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè îêàæåòñÿ ìåíüøå òðåòè äëèíû ëèíåéêè?4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ Ak , ñîåäèíåííûõ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:A5-A2A4A1A3-Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà A2 ðàâíà 0,01, îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ Ak ïî 0,1. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòüòîê.5. Ïåðâîå îðóäèå 4-îðóäèéíîé áàòàðåè ïðèñòðåëÿíî òàê, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äëÿ íåãî ðàâíà 1/2. Äëÿ îñòàëüíûõ îðóäèé îíà ðàâíà 2/5.Áàòàðåÿ äàëà çàëï ïî öåëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåëü ïîðàæåíà.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü, åñëè èçâåñòíî,÷òî öåëü áûëà ïîðàæåíà. Äëÿ ïîðàæåíèÿ öåëè äîñòàòî÷íî îäíîãî ïîïàäàíèÿ.6. Âåðîÿòíîñòü ïðèåìà îòäåëüíîãî ñèãíàëà ðàâíà 0,3. Ðàäèîñèãíàë ïåðåäàåòñÿ 6 ðàç.
Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðèíÿòûõ ñèãíàëîâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòûõ ñèãíàëîâ áóäåò íå ìåíüøå2, íî íå áîëüøå 4.7. Äèàìåòð êðóãà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå [0; d].
Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ïëîùàäè êðóãà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïëîùàäü ïðåâîñõîäèò πd2 /32. Íà÷åðòèòü ãðàôèêèïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.  îòäåëå ðàáîòàåò îäèí ñîòðóäíèê ñ äâóìÿ âûñøèìè îáðàçîâàíèÿìèïî 13-ìó ðàçðÿäó, äâà ñîòðóäíèêà ñ âûñøèì îáðàçîâàíèåì ïî 12-ìó ðàçðÿäó, è øåñòü ñîòðóäíèêîâ áåç âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ïî 10-ìó ðàçðÿäó.
Äëÿâûáðàííîãî íàóäà÷ó ñîòðóäíèêà íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàçðÿäà231è êîëè÷åñòâà âûñøèõ îáðàçîâàíèé. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèìåæäó íèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y èìååòâèä: f (x, y) = c, åñëè x, y ≥ 0, 3x + y ≤ 3, è 0 èíà÷å.
Íàéòè êîíñòàíòó c èρ(X, Y ).10. Âðåìÿ îæèäàíèÿ àâòîáóñà ïàññàæèðîì èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 9 ìèíóò. Íàéòè ÷èñëî ïîåçäîê, äëÿ êîòîðîãîñóììàðíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ àâòîáóñà ïðåâûñèò 3 ÷àñà ñ âåðîÿòíîñòüþ íåáîëåå 0,2.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . .
. , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ x2−x/θ3ïðè x > 0;2θ9 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.9,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,369,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,7920,27 -2,1513. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2].
Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,321,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,5814. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 1 2 3 4 5Y 3 1 2 4 6232Ïðèëîæåíèå. ÒàáëèöûÒ à á ë è ö à 1.Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Çíà÷åíèÿ ôóíêöèèΦ(x) = Φ(−x) = 1 − Φ(x).x4,754,263,723,092,582,332,051,961,881,751,641,280,840,520,250,001ÄëÿΦ(x) ∼x > 4, 75√12πΦ(x) =1Φ(−x)0,0000010,000010,00010,0010,0050,010,020,0250,030,040,050,10,20,30,40,5·∫xt2e− 2 dtè ôóíêöèè−∞Φ(x)0,9999990,999990,99990,9990,9950,990,980,9750,970,960,950,90,80,70,60,5ìîæíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ2e−x /2√.x 2π233Ò à á ë è ö à 2.
Ðàñïðåäåëåíèå χ2 (n). Êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ:χ2p,n∫p=χ2p,n1kn (x)dx = n/2·2 Γ(n/2)0∫xn/2−1 e−x/2 dx0\np1234567891011121314151617181920212223242526272829300,10,30,50,70,90,950.9990,99990,0160,2110,5841,061,612,202,833,494,174,875,586,307,047,798,559,3110,0910,911,712,413,214,014,815,716,517,318,118,919,820,60,1480,7131,422,203,003,834,675,536,397,278,159,039,9310,0811,712,613,514,415,416,317,218,119,019,920,921,822,723,624,625,50,4551,392,373,364,355,356,357,348,349,3410,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,31,072,413,674,886,067,238,389,5210,711,812,914,015,5216,217,318,419,520,621,722,823,924,926,027,128,229,230,331,432,533,52,714,616,257,789,2410,612,013,414,716,017,318,513,421,122,323,524,826,027,228,429,630,832,033,234,335,636,737,939,140,33,845,997,829,4911,112,614,115,516,918,319,721,015,523,725,026,327,628,930,131,432,733,935,236,437,738,940,141,342,643,86,639,2111,313,315,116,818,520,121,723,224,726,220,129,130,632,033,434,836,237,638,940,341,643,044,345,647,048,349,650,910,813,816,318,520,522,524,326,127,929,631,332,926,136,137,739,340,842,343,845,346,848,349,751,252,654,155,556,958,359,7234Ò à á ë è ö à 3.
Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà S(n)Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè tγ,n1+γ=2∫tγ,n−∞Γ( n+12 )√sn (x)dx =·Γ( n2 ) πn∫tγ,nx2(1 + )−(n+1)/2 dxn−∞\γn1234567891012141618202224262830∞0,90,950,980,996,3142,9202,3532,1322,0151,9431,8951,8601,8331,8121,7821,7611,7461,7341,7251,7171,7111,7061,7011,6971,64512,7064,3033,1822,7762,5712,4472,3652,3062,2622,2282,1792,1452,1202,1012,0862,0742,0642,0562,0482,0421,96031,8216,9654,5413,7473,3653,1432,9982,8962,8212,7642,6812,6252,5842,5522,5282,5082,4922,4792,4672,4572,32663,6579,9255,8414,6044,0323,7073,4993,3553,2503,1693,0552,9772,9212,8782,8452,8192,7972,7792,7632,7502,576235Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Àðêàøîâ Í.Ñ., Áîðîäèõèí Â.Ì., Êîâàëåâñêèé À.Ï.
Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÒÓ, 2008. Ò. 4.2: Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. 228ñ.[2] Áîðîâêîâ À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 1999. 470ñ.[3] Áîðîâêîâ À.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà,1997. 772ñ.[4] Áîðîäèí À.Í. Ýëåìåíòàðíûé êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. ÑÏá., 1999.
223ñ.[5] Áîðîäèõèí Â.Ì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà:Ïðàêòèêóì. Íîâîñèáèðñê, 2000. ×. 1. 159ñ.[6] Áîðîäèõèí Â.Ì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà:Ïðàêòèêóì. Íîâîñèáèðñê, 2001. ×. 2. 105ñ.[7] Áîðîäèõèí Â.Ì., Êîâàëåâñêèé À.Ï. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÒÓ, 2005. Ò. 4.2: Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. 256ñ.[8] Ãíåäåíêî Á.Â.
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1969. 400ñ.[9] Åìåëüÿíîâ Ã.Â., Ñêèòîâè÷ Â.Ï. Çàäà÷íèê ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1967. 332ñ.[10] Åðìàêîâ Ñ.Ì., Ìèõàéëîâ Ã.À. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.:Íàóêà, 1982.[11] Çóáêîâ À.Ì., Ñåâàñòüÿíîâ Á.À., ×èñòÿêîâ Â.Ï.
Ñáîðíèê çàäà÷ ïîòåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ë.: Íàóêà, 1989. 320ñ.236[12] Èâ÷åíêî Ã.È., Ìåäâåäåâ Þ.È. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1984. 248ñ.[13] Èâ÷åíêî Ã.È., Ìåäâåäåâ Þ.È., ×èñòÿêîâ À.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1989. 255ñ.[14] Êîðøóíîâ Ä.À., Ôîññ Ñ.Ã., Ýéñûìîíò È.Ì. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. ÑÏá., 2004. 192ñ.[15] Êîðøóíîâ Ä.À., ×åðíîâà Í.È. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Íîâîñèáèðñê, 2001. 120ñ.[16] Ëîòîâ Â.È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
