Практикум по ОТС - исправл (842732), страница 7
Текст из файла (страница 7)
.
Средняя геометрическая величина используется, когда исходные данные представлены в виде относительных величин, и рассчитывается по следующим формулам:
– простая (для не сгруппированных данных)
;
– взвешенная (для сгруппированных данных)
.
Правило мажорантности средних величин заключается в следующем: чем больше показатель степени в формуле средней величины, тем больше количественное значение средней величины
.
Структурные средние величины
Наиболее часто применяемыми структурными средними величинами являются: мода, медиана, квартили, децили, перцентили.
Все структурные средние являются именованными величинами.
Мода (
) – величина признака (варианту), которая наиболее часто встречается в исходной совокупности.
В дискретном вариационном ряду модой является варианта, имеющая наибольшую частоту (частость).
Пример 5. Используя распределение 25 работников по тарифному разряду (цифры условные) рассчитать моду.
| Тарифный разряд, | Число работников, чел., |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 3 |
| 6 | 4 |
| Итого | 25 |
Решение. В данном примере наибольшей частоте (
= 6) соответствует величина признака, равная 4. Значит, = 4 тарифному разряду, т. е. наиболее часто в исходной совокупности встречаются работники, имеющие четвертый тарифный разряд.
В интервальном вариационном ряду с равными интервалами моду рассчитывают по формуле
,
где 
– нижняя граница интервала, содержащего моду;
– величина модального интервала;
– частота (частость) модального интервала;
– частота (частость) интервала, предшествующего
модальному;
– частота (частость) интервала, следующего за модальным.
Пример 6. По приведенным условным данным о трудовом стаже 20 работников отдела вычислить моду (по формулам и графически).
| Стаж работы работников, лет | Численность работников, чел. |
| до 5 | 2 |
| 5 –10 | 3 |
| 10–15 | 10 |
| 15–20 | 5 |
| Итого | 20 |
Решение. По наибольшей частоте ( = 10) определяем, что модальным является интервал по стажу работы 10–15 лет. Подставим значения в формулу и вычислим моду
= 12,9 лет,
т. е. чаще встречаются работники, имеющие трудовой стаж примерно 13 лет.
В интервальном вариационном ряду моду можно вычислить графически по гистограмме (рис. 4).
Рис. 4. Гистограмма
В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду рассчитывают по формуле
,
где z – плотности распределения 
=
.
Пример 7. По приведенным условным данным вычислить моду
| Размер заработной платы, руб. / мес. | Численность работников, чел. |
| до 5000 | 4 |
| 5 000–7 000 | 12 |
| 7 000–10 000 | 8 |
| 10 000–15 000 | 6 |
| Итого | 30 |
Решение. В данном вариационном ряду интервалы группировки неравные, все предварительные расчеты представим в таблице:
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| до 5 000 | 4 | 13 | 2 000 | 0,0065 |
| 5 000–7 000 | 12 | 40 | 2 000 | 0,0200 |
| 7 000–10 000 | 8 | 27 | 3 000 | 0,0090 |
| 10 000–15 000 | 6 | 20 | 5 000 | 0,0040 |
| Итого | 30 | 100 |
=
=
Наибольшая плотность распределения 
= 0,020.
Это означает, что модальным является интервал 5 000 – 7 000 руб.
= 6 102 (руб.),
т. е. большинство сотрудников получают заработную плату в размере 6 102 руб. в месяц.
В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду также можно вычислить графически по гистограмме (по аналогии с ее определением в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, только по оси ординат вместо частот (частостей) откладывают соответствующие плотности распределения).
Медиана (
) – значение признака (варианта), которое имеет единица совокупности, делящая исходную совокупность на две равные по числу единиц части, т. е. в соотношении 
: .
Квартиль (Q) – значение признака, которое делит исходную совокупность на 4 равные по числу единиц части. Например, при вычислении первого квартиля (
) исходная совокупность делится в соотношении 
: 
, третьего (
) – в соотношении : .
Д
ециль (D) – значение признака, который делит исходную совокупность на 10 равных частей. Например, при вычислении первого дециля (
) исходная совокупность делится в соотношении 
: 
, а при вычислении девятого дециля (
) исходная совокупность делится в соотношении : .
В дискретном вариационном ряду значениями медианы, квартилей и децилей являются варианты, соответствующие единицам совокупности, которые делят исходную совокупность в нужном соотношении.
Пример 8. По исходным данным примера 5 рассчитать медиану, третий квартиль и девятый дециль.
Решение. Вычислим накопленные частоты и определим порядковые номера соответствующих единиц совокупности.
|
|
| S |
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 5 | 8 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 6 | 18 |
| 5 | 3 | 21 |
| 6 | 4 | 25 |
| Итого | 25 | – |
= 12,5 единица;
= 18,75 единица;
22,5 единица.
По накопленным частотам определяем, что 12,5-й единице совокупности соответствует значение признака, равное 4, т. е. = 4 тарифному разряду. Значит, половина работников исходной совокупности (50% работников) имеют 4 тарифный разряд и ниже, вторая половина работников (50%) имеют 4 тарифный разряд и выше.
Аналогично определяем, что Q3 = 5 тарифный разряд, т. е. 75% работников имеют 5 тарифный разряд и ниже, а 25% работников – 5 тарифный разряд и выше.
D9 = 6 тарифный разряд, т. е. 90% работников имеют 6 тарифный разряд и ниже, а 10% работников – 6 тарифный разряд.
В интервальном вариационном ряду медиану вычисляют по формуле
,
где 
– нижняя граница интервала, содержащего медиану;
– величина медианного интервала;
– сумма всех частот (частостей);
– накопленная частота (частость) интервала, предшествующего медианному;
– частота (частость) медианного интервала.
Расчет квартиля и дециля производится аналогично медиане. Например,
;
.
В интервальном вариационном ряду медиану, квартиль, дециль можно вычислить графически по кумуляте.
Пример 9. По исходным данным примера 7 вычислить 
, 
и 
(по формулам и графически).
Решение. Рассчитаем накопленные частоты и определим порядковые номера единиц, делящих исходную совокупность в нужном нам соотношении:
|
|
| S |
| до 5 000 | 4 | 4 |
| 5 000–7 000 | 12 | 16 |
| 7 000–10 000 | 8 | 24 |
| 10 000–15 000 | 6 | 30 |
| Итого | 30 |
= 15 (15-я единица).
По накопленным частотам определяем, что 15-я единица совокупности содержится в интервале 5 000–7 000 руб. Этот интервал является медианным. Подставим значения в формулу
(руб.). Половина работников отдела имеют размер заработной платы менее 6 833 руб., половина – более 6 833 руб.
= 7,5 (7,5 единица).
По накопленным частотам определяем, что первый квартиль находится в интервале 5 000 – 7 000 руб. Вычислим первый квартиль
+
= 
= = 5 583 (руб.).
Значит, 25% работников имеют размер заработной платы менее 5 583 руб., а 75% – больше 5 583 руб.
= 
= 24 (единица). По накопленным частотам определяем, что восьмой дециль содержится в интервале 7 000 – 10 000 руб. Вычислим его по формуле
= = 10 000% работников имеют размер заработной платы меньше 10 000 рублей, 20% – более 10 000 рублей.
Построим кумуляту (рис. 5).
Рис. 5
Показатели вариации
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
