Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Уравнение (8.22) называется уравнением плоскости в отрезках.Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A ( 2, 2, 3) , B ( -1, -2,0 ) , C (1, 2, -1) . Уравнение (8.21) принимает видx-2-3-1y -2 z -3-40-3-40=c( -1)1+116 ( x - 2 ) + ( -1)1+ 2( y - 2 ) 9 + ( -1) ( z - 3)( -4 )=1+3c16 x - 32 - 9 y + 18 - 4 z + 12 = 0;c16 x - 9 y - 4 z - 2 = 0.700;p , уравнение которой в нормальной формеr × n 0 - p = 0 , причем n 0 = 1 .(8.23)Пусть дана плоскостьОпределение 10.
Уравнение (8.23) называется нормальным уравнением плоскости p .M1pM0Рис. 8.6. Прямая M 1 M 0 перпендикулярна плоскостиРассмотрим теперь следующую задачу: требуется найти расстоя-( ) до плоскости p . Через точку Mние d от точки M 1 r 1прямую( )l,перпендикулярнуюкпроведем1p.плоскостиПустьM 0 r 0 Î l Ç p . Тогда M 0 M 1 = r1 - r 0 = d .Поскольку точка M 1 Î p , значитr1 × n 0 - p ¹ 0 .(8.24)Точка M 0 Î p , значит r 0 × n 0 - p = 0 . Отсюда p = r 0 × n 0 .Подставим значение p в (8.24), получимr1 × n 0 - r 0 × n=0(r1)- r 0 × n=0± r1 - r 0 × =n0± r1 - r=0±d(плюс ставится, если векторы r1 - r 0 и n 0 сонаправлены, минус –если противоположно направлены).Итак, r1 n 0 - =p± d , откудаd = r1 n 0 - p(8.25)Если плоскость задана общим уравнением, то для того, чтобынайтирасстояниеотточки71M 1 ( x1 , y1 , z1 )доплоскостиAx + By + Cz + D = 0, необходимо привести уравнение плоскости кнормальному виду.
ТогдаæABCn 0 = ç=,,2222222A +B +CA + B2 + C 2è A +B +Cö÷, pø-DA + B2 + C22Формула (8.25) запишется в видеd=Ax1 + By1 + Cz1 + DA2 + B 2 + C 2.(8.26)jabРис. 8.7. Угол f – это уголмежду плоскостями a и bИтак, расстояние от точки до плоскости равно абсолютному значению левой части нормального уравнения этой плоскости при условии, что в это уравнение вместо переменных x, y , z подставлены координаты данной точки.Пример 3.
Вычислить расстояние от точки A ( 2,3, -5) до плоскости 4 x - 2 y + 4 z + 5 = 0.d=4 × 2 - 2 × 3 + 4 × ( -5 ) + 5===24 2 + ( -2 ) + 428 - 6 - 20 + 536-136136.Пусть даны плоскости a : n1 × r + D1 = 0 и b : n 2 × r + D2 = 0 .При пересечении этих двух плоскостей образуется четыре двугранных72.Ùæa, b öугла, попарно равные между собой. Обозначим aç , b ÷= j , гдеèøp0 £j £ .2Рассмотрим условия параллельности и перпендикулярности двухплоскостей. Если a || b , то и n1 || n 2 , следовательно, n 2 =l n1 иA2 = l A1 , B2 = l B1 , C2 = lC1 ,где n 2 = ( A2 , B2 , C2 ) , n1 = ( A1 , B1 , C1 ) в некотором ортонормированномбазисе.a ^ b,тоn1 =× n 20 и A1 A2 + B1B2 += C1C20.ЕслиÙ| n1 × n 2 |j æçaa , =bb ö÷= cos j = =cos a , b = coscosèø| n1 | × | n 2 |n1 ^ n 2 .Следовательно,| A A + B1B2 + C1C2 |(8.27)= 2 1 22A1 + B1 + C12 A22 + B22 + C228.3 Прямые в трехмерномевклидовом пространствеMarM0r0OРис.
8.8. Вектор a параллелен прямойПусть даны прямая l и точка( )O Î l. Возьмем некоторую точку()M 0 r 0 Î l и вектор a, коллинеарный прямой l . Пусть M r –произвольная точка на прямой l . Тогдаr = r 0 + at73(8.28)Определение 11. Уравнение (8.28) называетсяпараметрическим уравнением прямой.Пусть в прямоугольной декартовой системеa=( a , a , a ) , M ( x, y , z ) , M ( x , y , z ) .xyz0000векторнокоординатТогда параметрическиеуравнения прямой в пространстве имеют вид:ì x = x0 + a xtïí y = y0 + a ytïz = z + a tî0z(8.29)От параметрических уравнений легко перейти к каноническимуравнениям прямой. Для этого исключим параметр t из уравнений(8.29):x - x0 y - y0 z - z0==axayaz .(8.30)Определение 12. Уравнения (8.30) называются каноническимиуравнениями прямой.Рассмотрим две пересекающиеся плоскости:n1 × r + D1 = 0; n2 × r + D2 = 0,(8.31)причем n1 n 2 .
Две пересекающиеся плоскости определяют в пространстве некоторую прямую – линию пересечения этих плоскостей.Определение 13. Уравнения (8.31) называются общими уравнениями прямой в векторной форме.В координатах общие уравнения прямой имеют видì A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0íî A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0(8.32)Например, ось Ox есть прямая пересечения плоскостей xOy и xOz,ìy = 0.îz = 0поэтому имеет следующие общие уравнения: íЧтобы привести общие уравнения прямой к каноническомуx - x0 y - y 0 z - z 0виду, нужно найти точку, принадлежащую==axayazэтой прямой и вектор, коллинеарный данной прямой.
Найдем точкукак решение системы (8.32). Вектор a , коллинеарный l , найдем каквекторное произведение n1 ´ n 2 :74ijka = n1 ´ n 2 = A1B1C1A2B2C2.Уравнения прямой l запишутся в видеx - x0y - y0z - z0 .==B1 C1C1 A1A1 B1B2 C2C2 A2A2 B2Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение прямойì 4 x - y + 3z + 5 = 0 .íî2 x + 3 y + 7 z - 1 = 0>Найдем точку, расположенную на прямой. Положимполучимì4 x - y + 5 = 0¾¾¾¾® -7 y +=7 0 ®=y= 1, x -1íS2 ×( -2 )+ S1î2 x + 3 y - 1 = 0.z = 0,Итак, точка A ( -1,1,0 ) лежит на прямой.ijka = 4 -1 3= -16i - 22 j + 14k .237x + 1 y - 1 z – канонические уравнения прямой.
<==-16 -22 14Пусть даны две скрещивающиеся прямые, т. е. не имеющие общих точек:l1 :x - x1 y - y1 z - z1==;a x1a y1a z1l2 :x - x 2 y - y 2 z - z2==.a x2a y2a z2Вычислим расстояние между ними. Кратчайшим расстоянием dмежду двумя скрещивающимися прямыми является длина их общегоперпендикуляра, равная расстоянию от любой точки прямой l1 доплоскости, проходящей через прямую l2 параллельно l1 .75l2BM2hCM1Al1Рис. 8.9.
Расстояние между прямыми l1 и l2можно найти как длину перпендикуляра hРасстояние d равно высоте h параллелепипеда, построенного навекторах M 1 A = a1 ,=M 2 B= a 2 , M 1M 2r 2 - r1 , основанием кото-рого служит параллелограмм, построенный на отрезках M 1 A иr 2 - r1 ) a1 a 2или в координатахM 1C .
Итак, d = h =V = (a1 ´ a 2Smodd=x2 - x1y2 - y1z2 - z1a x1a y1a z1a x2a y2a z2ijkmod a x1a y1a z1a x2a y2a z2(8.33)Если прямые параллельны, то расстояние между ними можно найти, как расстояние от точки, лежащей на одной прямой, до другойпрямой. Итак, h – высота параллелограмма, построенного на M 1 M 2и M1 A .d=(r2)- r1 ´ a 2a276.BM2hAM1OРис. 8.10. Длина перпендикуляра h – это расстояние между параллельными прямымиПерейдем к координатамijkmod x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1a x1a y1az1d=222ax1 + a y1 + az1(8.34)Углом j между прямыми l1 и l2 называется наименьший изориентированных углов между направляющими векторами этих прямых.Если l1 и l2 параллельны, то a1 =l a 2 илиì a x1 = l a x2ïí a y1 = l a y2ïî az1 = l a z2Если l1 и l2 ортогональны, то a1 × a 2 = 0 илиa x1 a x2 + a y1 a y2 + a z1 az2 = 0 .77(8.35)(8.36)Лекция № 9.
Кривые на плоскости9.1 Алгебраические кривыеОпределение 1. Уравнением линии (кривой) на плоскости в заданной системе координат называется уравнение с двумя переменнымиF ( x , y ) = 0 , которому удовлетворяют координаты точек, лежащих наэтой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих наней.Для составления уравнения линии нужно взять точку на линии и,исходя из свойств линии, составить уравнение, связывающее координаты точек на линии.Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса r с центромв начале координат.> Возьмем точку M на окружности. Расстояние OM равно r ,222x 2 + y 2 = r или x + y = r . Этому уравнению удовлетворяют все точки, лежащие на окружности.
Если точка M лежит внутризначитокружности, то OM < r , если снаружи, то OM > r. <yMOxРис. 9.1. Точка M лежит на окружностирадиуса r с центром в начале координат78Специфика метода аналитической геометрии состоит в том, чтоизучение свойств линий сводится к изучению свойств уравнений этихлиний.Отметим, что множество точек, удовлетворяющих заданномууравнению F ( x , y ) = 0 , может не образовывать линии в обычном понимании этого слова.Определение 2. Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F ( x , y ) = 0 , называется фигурой.Всякая линия является фигурой, но не каждая фигура соответствует нашему представлению о линии.Определение 3.
Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат ее уравнение является алгебраическим, т. е. имеет видkåa xi =1miiy ni = 0 ,(9.1)где ai – вещественные числа; mi , ni – целые неотрицательные числа.Определение 4. Пусть a j ¹ 0 и m j + n j = s – наибольшее из чи-()сел mi + ni i = 1, k . Тогда s называется порядком алгебраическойкривой.Например, линия, заданная в декартовой системе координат уравнением x 3 + 3 y 3 - 3 xy = 0 , является алгебраической линией третьегопорядка.Теорема 9.1. [7]. Если линия на плоскости в некоторой декартовой прямоугольной системе координат задается алгебраическимуравнением порядка s , то ее уравнение в любой другой декартовойпрямоугольной системе координат является алгебраическим того жепорядка.Кривая второго порядка имеет уравнениеa1 x 2 + a2 xy + a3 y 2 + a4 = 0(9.2)в декартовой прямоугольной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
