Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим две прямоугольные правые системыкоординат Oxyz и OXYZ в пространстве, имеющие общее начало. Первую будем называть старой, вторую новой.Разложим каждый из координатных векторов новой системы покоординатам старой:i1 = a11i + a12 j + a13kj1 = a21i + a22 j + a23kk1 = a31i + a32 j + a33k .Пусть M – произвольная точка, имеющая координаты (x,y,z) в старой системе координат и (X,Y,Z) в новой.Тогда OM = xi + y j + zk =X i 1 + Y j + Z k 1 .1Умножая это равенство скалярно наi , получаемx = a11 X + a21Y + a31 Z24(3.6)Умножая скалярно на j и k , получаемy = a12 X + a22Y + a32 Zz = a13 X + a23Y + a33 Z(3.7)(3.8)3.2 Полярная система координат на плоскостиНаряду с декартовой системой координат применяются и другие.
На плоскости часто используется полярная система координат.Определение 3. Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O – полюса, луча Op – полярной оси и единичного направленного отрезка OE Op .Положение произвольной точки M, отличной от точки O, на плоскости определяется следующими двумя числами (полярными коордиÙæöнатами): r = | OM |, j = ç Op, OM ÷ .èøОтсчет угла j ведется от полярной оси в положительном направлении и исчисляется в радианах.
Число r называется полярным радиусом точки M, а j – полярным углом. То, что упорядоченная парачисел r и j является координатами точки M, записывается так:M ( r ,j ) .Из построения полярной системы координат следует, что числа rи j могут изменяться в следующих пределах:0 £ r < +¥;0 £ j < 2p .Для полярных координат точки O примем r = 0,j остается неопределенным.Таким образом, каждой точке плоскости (кроме полюса) соответствует вполне определенная упорядоченная пара чисел – ее полярныекоординаты, и обратно, любой паре чисел, первое из которых определено в промежутке [0, +¥) , а второе – в промежутке [0, 2p ] , соответствует вполне определенная точка плоскости.Множество точек, для которых j = const , а r изменяется в промежутке от 0 до +¥ ,образует луч, исходящий из полюса, а множество точек, для которых r = const , а j изменяется от 0 до 2p , образуетокружность радиуса r с центром в полюсе.Выясним, как связаны полярные и прямоугольные координатыодной и той же точки плоскости, если на этой плоскости введены од-25новременно полярные и прямоугольные координаты так, что полюс Oсовпадает с началом координат, а полярная ось Op с осью Ox.zYXOyZxРис.
3.3. Новая система получается из старой поворотомв пространстве вокруг начала координатMrjjMpOiOAРис. 3.4. Точка M имеетРис. 3.5. Связь между пополярные координатылярными и декартовыми( r ,j )координатами точки MИз треугольника OMA:x = r cos j ; y = r sin j(3.9)r = x 2 + y 2 ; cos j = x ;sin j = y ,rrоткудаr = x 2 + y 2 ;cos jx= ;sin jx + y2226y=x + y22(3.10)Итак, если известны полярные координаты r и j точки, то еедекартовы координаты определяются из равенств (3.9). Если же заданы декартовы координаты, то полярные координаты определяются изравенств (3.10).Пример 1. Найти полярные координаты точки A, зная ее прямоугольные декартовы координаты: A(-3,3).r = x 2 + y 2= 9 + 9 = 3 2-3x1cos j = = =22322x +y>y31==sin j =,22322x +yследовательно, j = 3p . <43.3 Цилиндрическая система координатВ пространстве, кроме декартовой системы координат, часто используют и другие, например цилиндрическую систему координат.Пусть в пространстве введена прямоугольная система координатOxyz и задана произвольная точка M, не лежащая на оси Oz.
ПостроимMN , перпендикулярный к координатной плоскости Oxy и ON . ТочкуM можно задать следующими тремя упорядоченными числами:1) расстоянием r = | ON | , называемым полярным радиусом проекции точки M;2)меройуглаæ Ù öj= ç Ox, ON ÷ ,èøназываемымполярно-цилиндрическим углом;3) аппликатой z.Определение 4. Эта упорядоченная тройка чисел называется цилиндрическими координатами точки.Цилиндрические координаты изменяются в следующих пределах0 £ r < +¥,0 £ j < 2p ; -¥ < z < +¥ . (3.11)Каждой точке пространства, за исключением точек оси Oz, соответствует вполне определенная упорядоченная тройка чисел – ее цилиндрические координаты, и обратно, каждой упорядоченной тройкечисел, удовлетворяющих условиям (3.11), соответствует вполне определенная точка, для которой эти числа являются цилиндрическимикоординатами: M ( r ,j , z ) .27Установим связь между цилиндрическими и декартовыми координатами одной и той же точки пространства.zMOyjPNxРис.
3.6. Точка Mв цилиндрической системе координатИз треугольника OPN:x = r cosj ; y = r sin j ; z = z.Обращая эти формулы, получим:xr = x 2 + y 2 ; cos j =; sin j =2x + y2(3.12)yx + y22. (3.13)3.4 Сферическая система координатв пространствеВ пространстве также часто используется сферическая системакоординат.Пусть в пространстве задана прямоугольная система координатOxyz и дана произвольная точка M(x,y,z), не лежащая на оси Oz.Построим отрезок MN , перпендикулярный к координатнойплоскости Oxy, NP и ON.
Точку M можно задать следующими тремяупорядоченными числами:1) Расстоянием r = | OM |, называемым сферическим радиусомточки M;2) мерой углакоторый называется первым сфери-ческим углом.3) мерой угларическим углом.который называется вторым сфе-28Определение 5. Эта упорядоченная тройка чисел называется сферическими координатами точки M.Условимся исчисление углов j и q вести соответственно от положительного направления оси Ox и плоскости Oxy.При этих условиях сферические координаты изменяются в следующих пределах:0 £ r < +¥;0 £ j < 2p ; -pp£q £22(3.14)Выясним, как связаны сферические и прямоугольные координатыодной и той же точки.Из треугольника OPN:x =| ON | ×cosj;=y | ON | ×sinj ,(3.15)а из треугольника OMN:(3.16)| ON |= r cosq , z = r sin q .zMqOyjNxРис.
3.7. Сферические координаты точки MПодставив значение | ON | из (3.16) в (3.15), получимx = r cos j cosq ; y = r sin j cos q ; z = r sin q .(3.17)Обращая формулы (3.17), получимx= ;sin jx + y2r = x 2 + y 2 + z 2 ;cos jsinq =2zx2 + y2 + z229yü= ï2x +y ïý (3.18)ïïþ2ТЕОРИЯ МАТРИЦ,ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯЛекция №4. Основы теории матриц4.1 МатрицыОпределение 1. Рассмотрим прямоугольную таблицу из mn чисел:a11 a12 ...
a1nзом:a21a22..... a2n..am1 am 2 ... amnЭта таблица называется матрицей размеров m ´ n .Матрицу размеров m ´ n обычно обозначают следующим обра-æ a11 a12 ... a1n ö a11 a12 ... a1nçaa22 ... a2 n ÷ a21 a22 ... a2nç 21÷;;ç .... ÷ ....ç÷è am1 am 2 ... amn ø am1 am 2 ... amn(4.1)é a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2 n úê 21ú ;( a )(i = 1, m; j = 1, n)... ú ijê .êaúë m1 am 2 ... amn ûИногда матрицу обозначают одной буквой, напримерA= ( aij )(=i 1, m; =j 1, n ) . Если хотят указать размеры матрицы, то пишут Am´n .Определение 2.
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.30i -ую строку, а элементыa1 j , a2 j ,..., amj - j-й столбец матрицы ( aij - элемент матрицы, стояЭлементы ai1 , ai 2 ,..., ain составляютщий в i-й строке и j-м столбце).Определение 3. Матрица [a11 , a12 ,..., a1n ], состоящая из однойстроки, называется матрицей-строкой.é a11 ùêa úМатрица ê 21 ú , состоящая из одного столбца, называется матриê . úê úê . úêë am1 úûцей-столбцом.Определение 4. Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и элементы одной матрицы равны стоящим на этихже местах элементам другой.Определение 5. Матрица, у которой число строк равно числустолбцов (m = n), называется квадратной.
Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов).Пример 1.éaМатрицы [ a1 ] ; ê 11ëa21a12éaa12 ù ê 11; a21 a22a22 úû êëê a31 a32a13 ùa23 ú являются квадратныúa33 ûúми соответственно порядка 1, 2 и 3.Определение 6. Будем говорить, что в квадратной матрице(aij )(i, j = 1, n ) элементы a11 , a22 ,..., ann образуют главную диагональ, аэлементы a1n , a2 n -1 ,..., an1 – побочную диагональ.Определение 7. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Она обозначается буквой O, т.
е.é0 0 ... 0ùê0 0 ... 0úúO=êê. . . .úê0 0 ... 0úëûОпределение 8. Диагональной называется квадратная матрица, укоторой все элементы, находящиеся не на главной диагонали, равнынулю, т. е. матрица вида31é a11 0 ... 0 ùê0 a... 0 ú .22êú... úê .ê00 ... ann úûëОпределение 9. Диагональная матрица, у которой каждый элементглавной диагонали равен единице, называется единичной, обозначаетсябуквой E.é1 0 0 ... 0ùê0 1 0 ... 0úêúE = ê0 0 1 ... 0ú = (d ij )ê. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
