Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Начало координат являетсяцентром симметрии и называется вершиной конуса.Сечениями конуса плоскостями yOz и xOz является пара пересекающихся прямыхì y2 z 2ì x2 z2ï 2 - 2 =0ï 2 - 2 =0ccíbíaïî x = 0ïî y = 0Плоскость xOy имеет с конусом только одну общую точку – начало координат O.Плоскость z = h пересекает конус второго порядка по эллипсуì x 2 y 2 h2ï 2 + 2 - 2 =0bcíaîï z = hСледует отметить, что при сечении поверхности второго порядкаплоскостью получается кривая второго порядка на этой плоскости.При сечении конуса плоскостями можно получить эллипс, гиперболу ипараболу. Поэтому кривые второго порядка также называются коническими сечениями.91zOyxРис. 10.1.
Конус второго порядка10.4 ЭллипсоидУравнение эллипсоида имеет видx2 y 2 z2++ = 1.a 2 b2 c2Если точка M ( x, y , z ) лежит на эллипсоиде, то и точкиM 1 ( - x , y , z ) , M 2 ( x, - y , z ) , M 3 ( x , y , - z ) , M 4 ( - x , - y , z ) , M 5 ( - x , y , - z ) , M 6 x , - y , - z ,M6 ((x-, x- y-, y- z-)z, ) M ( - x, - y, - z )M 5 - x, y, - z , M7лежат на эллипсоиде.Значит, эллипсоид симметричен относительно всех координатныхплоскостей, осей и начала координат.
Начало координат является центром симметрии, оси координат – осями симметрии, координатныеплоскости – плоскостями симметрии эллипсоида.Определение 5. Точки пересечения осей симметрии с эллипсоидом называются вершинами эллипсоида.Плоскость zOy пересекает эллипсоид по линииì y2 z2ï 2 + 2 =1cíbïx = 0î92Плоскость xOz – по линииì x2 z2ï 2 + 2 = 1.cíaïî y = 0Плоскость xOy по линииì x2 y2ï 2 + 2 =1bíaïî z = 0.В сечениях эллипсоида координатными плоскостями получилиэллипсы.Также, x £ a, y £ b, z £ c, т.
е. эллипсоид –ограниченная поверхность.Рис. 10.2. Эллипсоид10.5 Однополостный гиперболоидОднополостный гиперболоид задается уравнениемx2 y2 z2+= 1.a2 b2 c2В его уравнение x,y,z входят только во второй степени, значитоднополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
ПлоскостьyOz пересекает однополостный гиперболоид по гиперболе93ì y2 z2ï 2 - 2 =1cíbïx = 0îПлоскость xОy – по эллипсуì x2 y2ï 2 + 2 =1bíaïz = 0îа плоскость xOz – по гиперболеì x2 z2ï 2 - 2 =1cíaïy = 0îРис. 10.3. Однополостныйгиперболоид10.6 Двуполостный гиперболоидУравнение двуполостного гиперболоида имеет видx2 y2 z 2= 1.a 2 b2 c 2Он также симметричен относительно осей координат, координатных плоскостей и начала координат.Плоскость xOy пересекает его по гиперболеì x2 y2ï 2 - 2 =1bíaïz = 0îПлоскость xOz – по гиперболеì x2 z 2ï 2 - 2 = 1,cíaïy = 0îплоскость x = h при h < a не пересекает поверхность, при h = aкасается в одной точке – вершине двуполостного гиперболоида, а приh > a по эллипсуy 2 z 2 h2+=- 1.b2 c2 a29410.4.
Двуполостный гиперболоид10.7 Эллиптический параболоидУравнение эллиптического параболоидаx2 y2+= 2zpqВ пересечении его плоскостью x = 0 получаем параболуì2 yz = y 2 .íîx = 0В пересечении с плоскостью y = 0 получаем при h > 0 эллипсx2y2+= 1. При h < 0 пересечение пусто, а при h = 0 плоскость2 ph 2qhxОy касается эллиптического параболоида.95Рис.
10.5. Эллиптический параболоид10.8 Гиперболический параболоидУравнение гиперболического параболоида имеет вид:x2 y2= 2zpqОн симметричен относительно плоскостей yOz и xOz как и эллиптический параболоид.Плоскость x = 0 пересекает его по параболеì y 2 = -2qzíîx = 0плоскость y = 0 – по параболеì x 2 = 2 pzíîy = 0плоскость z = h > 0 по гиперболеì x2y2=1ïí 2 ph 2qhïz = hîплоскость z = 0 по паре прямыхì x2 y2=0ï qí pïz = 0î96Рис. 10.6.
Гиперболический параболоид10.9 Цилиндрические поверхностиОпределение 6. Цилиндрическая поверхность образуется при поступательном движении прямой, называемой образующей, проходящейчерез все точки некоторой кривой, называемой направляющей.Существует три типа цилиндров второго порядка:22Эллиптический цилиндр x + y = 1 изображен на рисунке 10.7.a 2 b2Рис.
10. 7. Эллиптический цилиндр97Гиперболический цилиндр имеет уравнениеx2 y2= 1.a 2 b2Параболический цилиндр y 2 = 2 px изображен на рисунке 10.9.Рис. 10.8. Гиперболический цилиндрРис. 10.9. Параболический цилиндрЭто уравнение задает на плоскости параболу. В пространстве получается поверхность, описываемая прямой, параллельной оси Oz ипроходящей через параболу на плоскости хOy.98ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАВ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХЛекция № 11. Квадратичные формыКривая второго порядка задается уравнением второго порядкаF(x,y) = 0,(11.1)где F(x,y) – многочлен второй степени. Если (11.1) является уравнением центральной кривой (гиперболы или эллипса), то, поместив началокоординат в центр кривой, ее уравнение примет вид:ax 2 + 2bxy + cy 2 = h(11.2)В левой части уравнения (11.2) стоит однородный многочлен степени два, т.
е. каждое слагаемое имеет степень два. Такой многочленназывается квадратичной формой от переменных x и y.При помощи поворота системы координат на некоторый уголможно уравнение (11.2) привести к виду:lx ¢ 2 + my ¢ 2 = hотносительно новых переменных х ¢ и y ¢ .(11.3)Такую задачу приведения квадратичной формы к наиболее простому виду мы будем рассматривать в этом параграфе.Определение 1. Квадратичной формой называется однородныймногочлен f = f ( x1 , x 2 ,...xn ) второй степени от n переменных.Например, квадратичными формами являются x12 + x22 + ... + xn2 ,åx x1< i < j < rij,x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 3 xy + 4 xz .Укажем для квадратичных форм одну специальную форму записи.Считая, что в форме f = f ( x1 , x 2 ,...x n ) же выполнено приведение по2добных членов, обозначим коэффициент при xi через aii , коэффициент при xi x j – через 2aij = aij + a ji = 2a ji так, что aij = a ji .Для члена, содержащего xi x j , мы получаем тогда симметричную запись:2 aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi .99Вся квадратичная форма f может быть записана теперь в видеa11 x12 ++ a21 x 2 +f ( x1 , x 2 ,..., x n ) =....a12 x1 x 2 +a 22 x 22 +......
+ a1n x1 x n +... + a2 n x 2 x n +(11.4)......a n1 x n x1 + a n 2 x n x2 + ... +a nn xn2Определение 2. Составленная из коэффициентов матрицаé a11 a12 ... a1n ùêaa 22 ... a 2 n ú21ú называется матрицей квадратичнойêА=ê ... ... ... ... úúêë a n1 a n 2 ... a nn ûформы f ( x1 , x 2 ,..., x n ).Так как aij = a ji , то матрица А – симметричная.Пример 1. Для квадратичной формыf ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12 + 4 x1 x 2 + 2 x1 x3 + x 2 x 3запись (11.4) имеет видf = 2 x12 + 2 x1 x2 + x1 x3 ++ 2 x2 x1 + 0 × x22 ++ x3 x1 +1x2 x3 +21x3 x2 + 0 × x322ùéê2 2 1 úМатрица ее равна ê1úúê2 02úêê1 1 0 úûú2ëêДля квадратичной формы может быть дана компактная запись ввиде произведения трех матриц:100f ( x1 , x2 ,..., xn ) = x1 ( a11 x1 + a12 x2 + ...
+ a1n xn ) ++ x2 ( a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ) +......+ xn ( an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn ) == [ x1x2é a11 a12 ... a1n ù é x1 ùêaa22 ... a2 n ú ê x2 ú21êúê ú... xn ]... úê M úê .êúê úë an1 an 2 ... ann û ë xn ûТаким образом,f ( x1 , x2 ,..., xn ) = X T AX ,(11.5)Tгде X – столбец из переменных x1 , x 2 ,..., x n а X - строчка из тех жепеременных (транспонированный столбец).Обратно, если A – произвольная симметричная матрица порядка nTи X – столбец из переменных высоты n, то произведение X AX является квадратичной формой и матрица этой формы равна А.Пусть задано преобразование переменных в матричной формеX = CY ,(11.6)где X и Y – столбцы из старых и новых переменных соответственно, аC – квадратная матрица преобразования.Если det C ¹ 0 , то существует обратное преобразованиеY = C -1 X ,(11.7)выражающее новые переменные через старые.
Подставив выражениядля ( x1 , x 2 ,..., x n ) в форму f ( x1 , x2 ,..., xn ) , получимnnæ nöf ç å c1 j y j , å c2 j y j ,..., å cnj y j ÷ = g ( y1 , y2 ,..., yn ) .j 1 =j 1 =è j=1øПодвергнем форму (11.2) преобразованию (11.3). Так какX = (CY ) T = Y T C T , то получим f = X T AX = Y T C T ACY .TКвадратная матрица B = C T AC симметрична, т. к.(C T AC )T = C T AT C TT = C T AC ,101и она является матрицей квадратичной формы y = Y T BY .
Нами доказана следующаяТеорема 11.1. Если в квадратичной форме с матрицей А сделанолинейное преобразование переменных с матрицей С, то полученнаяквадратичная форма будет иметь матрицу C T AC .Определение 3. Квадратичная форма видаa 1 x12 + a 2 x 22 + ... + a n x n2 ,не содержащая членов с произведениями различных переменных иимеющая поэтому диагональную матрицу, называется каноническойквадратичной формой.Нашей целью является доказательство того, что любая квадратичная форма при помощи неособенного линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду.Лемма 1. Если у квадратичной формы (11.5) имеется хотя быодин ненулевой коэффициент, то надлежащим неособенным линейным преобразованием переменных X = CY она может быть преобра2зована в форму, у которой коэффициент при y1 отличен от нуля.1.
Если a11 ¹ 0 , то можно взять тождественное преобразованиеxi = yi .2. Предположим, что a11 = 0 , но aii ¹ 0 для некоторого i ³ 2 .Тогда можно взять преобразование x1 = yi , xi = y1 , xk = yk приk ¹ 1, k ¹ i, которое переставит 1-ю и i-ю переменные.2f = a ii y12 + ...
. Член aii y1 не имеет при себе подобных и сократиться не может.3. Допустим, что все коэффициенты при квадратах переменныхравны нулю: a11 = a 22 = ... = a nn = 0Но хотя бы один элемент отличен от нуля. Выберем такой элементaij ¹ 0 (i ¹ j )Сделаем преобразованиеx j = y j + y i ; x k = y k при k ¹ j.Тогда мы сведем этот случай к случаю (2), поскольку коэффици2ент при y i равен2a ij : f = ... + 2aij xi x j + ... = ... + 2aij yi ( y j + y i ) + ... = ... + 2aij yi y j + 2aij yi2 + ...;102Теорема 11.2. (Теорема Лагранжа).
Всякая квадратичная формапри помощи неособенного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.> В силу леммы 1 мы можем считать, что коэффициент при x12не равен нулю.Выделим ту группу слагаемых в квадратичной форме, которыесодержат x1 .f ( x1 ,..., x n ) = a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + ... + 2a1n x1 x n +nåai, j= 2ijxi y j .Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом:a x + 2a12 x1 x 2 + ... + 2a1n x1 x n = a11 ( x1 +211 1-a2 x2a 2 x 2 2a aaa12x 2 + ...
+ 1n x1 ) 2 - 12 2 - ... - 1n n - 12 13 x1 x 3 - ...a11a11a11a11a112a1n -1 a 1nx n -1 x na11Тогда f ( x1 ,..., x n ) можно переписать такnf ( x1 ,..., x n ) = a11 ( x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ) 2 + å aij* xi x j , (11.7)a11a11i , j =2где a ij* – коэффициенты при xi x j , полученные после преобразования.Рассмотрим следующее неособенное преобразование:y2 =aa12x 2 + ... + 1n x na11a11x2……y1 = x1 +yn =Тогда……xnnf1 ( y1 ,..., y n ) = a11 y12 + å aij* y i y j . Форму от переменныхij = 2y2 ,..., yn мы можем преобразовать аналогичным способом, не изменяяy1 . Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичнуюформу f ( x1 ,..., x n ) к каноническому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
