Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Два линейных вещественных пространства V иназываютсяизоморфными, если между их элементами можно усV`тановить взаимно-однозначное соответствие так, что если x1 « x1` ,x2 « x2 ` , то x1 + x2 « x1 `+ x2 `, a x1 « a x1 ` , где a – вещественноечисло.Теорема 12.4.
[6]. Два линейных вещественных пространстваизоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.11012.4 Координаты вектора---Теорема 12.5. Если e1 , e 2 ,..., e n – базис линейного пространства,-то для любого вектора x этого пространства существует единственная система чисел a1 , a 2 ,..., a n такая, чтоx = a1 e1 + ... + a n en .(12.1)> Из теоремы 12.2 следует существование такой системыa1 ,...,a n , что выполняется (12.1). Докажем единственность.
Допустим,что----существует-другая-система-b 1 ,..., b n ,-такая,-что-x = b 1 e1 + b 2 e 2 + ... + b n e n . Тогда a 1 e1 + ... + a n e n = b 1 e1 + ... + b n e n .Группируя слагаемые, получим(a1 - b1 ) e1 + ... + (an - b n ) en = 0 .Отсюда следует, что a1 = b1 ,..., a n = b n , поскольку векторыe1 ,..., e n линейно независимы. Теорема доказана. <-Выражение (12.1) называется разложением вектора x по базису---e1 , e 2 ,..., e n .
Это выражение можно записать в матричной формеéa 1 ùê úé- ù êa 2 úx = êe1 , e2 ,..., e n úëûê M úê úëa n û-Числа--a 1 , a 2 ,...,a n называются координатами вектора x в бази-се e1 , e2 ,..., en .-Если вектор x имеет в некотором базисе координаты-то пишут x = (a1,..., an ) .111a1 ,...,a n ,Пример 7. Пусть V - пятимерное линейное пространство с бази-сом-------e1 -, e 2 , e-3 , e 4 , e 5 .x = 2 e1 - e 3 + 3 e 4 .---Найти-координаты-e3векторови--x = 2 e1 + 0 × e 2 + (-1) × e 3 + 3 × e 4 + 0 × e 5 , т.е. x имеет координаты(2,0,-1,3,0).-Аналогично e 3 = (0,0,1,0,0).Справедливы следующие утверждения:1.
Вектор является нулевым вектором пространства тогда и толькотогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равнысумме соответствующих координат этих векторов в том же базисе.3. Координаты произведения вектора на число в некотором базисеравны произведению соответствующих координат данного вектора втом же базисе на это число.4.
Два вектора равны между собой тогда и только тогда, когдаравны между собой их соответствующие координаты в одном и том жебазисе.12.5 Преобразование координатПусть в линейном пространстве V заданы два произвольных бази-----са e1 ,..., e n и m1 ,..., m n . Выразим векторы m1 ,..., m n ÎV через e i .Пустьmi =nåak= 1kie k ( i = 1,2,..., n ) ,(12.2)--где aki ( k = 1, 2,..., n ) - координаты вектора mi в базисе e1 ,..., e n .--Чтобы выразить векторы базиса e i через m i , нужно решить сис-тему уравнений (12.2) относительно векторов e k . Эта система имеетединственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля.Пусть-n-e k = å bik m i (k = 1,2,..., n)i =1решение системы (12.2).
Из коэффициентовцы:112(12.3)a ki и bik составим матри-é a11 a12 ... a1n ùé b11 b12 ... b1n ùêaúêba22 ... a2 nb... b2 n ú (12.4)ú ; B = ê 21 22ú,A = ê 21... ú... úê .ê .êaúêb búë n1 an 2 ... ann ûë n1 n 2 ... bnn ûкоторые называются матрицами перехода от одного базиса к другому.Из соотношений(12.2) и (12.3) следует, что B = A-1 ._Пусть x – произвольный вектор пространства V, который в базисе---e1 ,..., e n имеет координаты x1, x2 ,..., xn , а в базисе (m i ) –x1 `, x2 `,..., xn ` , т. е.-n-k =1n-x = å xk e k ;(12.5)-x = å xi ' m i .(12.6)i =1Выясним, как преобразуются координаты вектора при переходе отодного базиса к другому.
Подставим в (12.6) выражение (12.2)nnnnx = å xi `å aki ek = åå aki xi `e k .i =1= k =1=(12.7)i 1 k 1Сравнимполученное выражение с выражением (12.5). Коэффици-енты при e k должны быть равныnxk = å aki xi `i =1(12.8)Аналогичноnxi `= å bik xkk =1(12.9)В матричной форме формулы (12.8) и (12.9) запишутся в видеx = Ax`, x`= A-1 x ,гдеé x1 ùêx úx = ê 2ú ;êMúêx úë nû113é x1 `ùê x `úx`= ê 2 ú .ê M úê x `úë n û(12.10)Лекция № 13.Линейные операторы13.1 Определение линейного оператораПусть даны два линейных вещественных пространства V и W,размерности которых равны соответственно m и n.Определение 1.
Будем говорить, что задан оператор из V в W, если каждому x Î V поставлен в соответствие единственный y ÎW , иписать f : V ® W .Определение 2. Вектор y назовем образом вектора x, a x – прообразом y. Это записывают так: y = f ( x ) .Определение 3. Два оператора f : V ® W и g : V ® W называются равными, если f ( x ) = g ( x ), "x Î V .Определение 4.
Оператор называется биективным, если каждыйвектор имеет прообраз, и притом единственный.Определение 5. Оператор называется линейным, если "x1 , x2 ÎV иl Î R выполняются условия:f ( x1 ) + f ( x2 ) .1. f ( x1 + x2 ) =2. f (lx) = lf ( x) .Из определения следует, чтоf (ax1 + bx2 ) = af ( x1 ) + bf ( x2 ) .
(13.1)Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор,т. к. f (0) = f ( x - x ) f=( x ) - f ( x ) = 0 .Определение 6. Если задан оператор f : V ® W и W=V, то f называется оператором пространства V . Также оператор f можно назвать преобразованием пространства V.Определение 7.
Если "x Î V , f ( x ) = x , то оператор f называется тождественным.Пример 1. В линейном пространстве M 2 определим операторследующим образом: каждому вектору x поставим в соответствие вектор f ( x ) , полученный из вектора x поворотом на один и тот же уголj.114yf( x1 + x 2 )=f( x1 )+f( x 2 )f( x1 )x1 + x2x2f( x 2 )x1xРис. 13.1.
Оператор f поворота на плоскости переводит векторx1 + x2 в вектор f ( x1 ) + f ( x2 )Этот оператор является линейным, т. к. легко проверяется выполнение свойств 1 и 2.f (l x ) = lf ( x )yf (l x )lxf (x )xxРис 13.2. Оператор f переводит вектор l x в вектор l f ( x )--Пусть линейный оператор f переводит базисные векторы e1 ,..., e nв векторы e1 `,..., en ` , т. е.
f ( e1 ) = e1 `,..., f ( en ) = en `. Тогда образлюбого вектора x можно выразить через образы f (e1 ),..., f ( en ) базисных векторов. Действительно115(f a1 e1 + ... + a n=e n)( )( )a1 f e1 + ... + a n=f e na1 e1 `+... + a n e n ` .13.2 Матрица линейного оператораПусть f - линейный оператор некоторого пространства, переводящий базисные векторы e1 ,..., en вТогда( )f ( e ) = e =`e1 `,..., en ` ;f e1 = e1 `= a11 e1 + a21 e 2 + ... + an1 e n ,nn(12.2)a1n e1 + a2 n e 2 + ...
+ a nn en .é a11êОпределение 8. Матрица A = êa 21êLêëa n1a12a 22Lan2L a1n ùL a 2 n úúL LúúL ann ûназывается матрицей линейного оператора в базисе e1 , e2 ,..., e n .Заметим, что в i-м столбце матрицы А стоят координаты f ( ei ) вбазисе e1 `,..., en ` .Таким образом, каждому линейному оператору соответствуетматрица оператора в данном базисе. Справедливо и обратное: всякойматрице порядка n соответствует линейный оператор n-мерного пространства.Соотношение (13.2) можно записать в матричном видеé f e1f e 2 ... f e n ù = ée1 e 2 ... e n ù A .ë( )( )( )ûëûПример 2.
Найдем матрицу оператора из предыдущего примера:f (i ) = OM + MN = i cos j + j sin jf ( j ) = OP + PS = -i sin j + j cos j116yjSNf ( j) )jf (i )jPOM iExРис. 13.3. Оператор поворота на угол jЗначит, искомая матрица имеет видécos j - sin j ù .ê sin j cos j úëû13.3 Характеристическое уравнениелинейного оператораТеорема 13.1. Если линейный оператор f в некотором базисеe1 , e2 ,..., en имеет матрицу А и в базисе e1 `, e2 `,..., en ` матрицу B, тоdet ( A - l E ) =det ( B - l E ) , где l - произвольное число; Е - единичнаяматрица порядка n.Заметим, что det( A - lE ) является многочленом степени n относительно l .Определение 9.
Многочлен det( A - lE ) называется характеристическим многочленом матрицы А или оператора f.Определение 10. Характеристическим уравнением линейногооператора f называется уравнение(13.3)det( A - lE ) = 0 ,117где А - матрица этого оператора в некотором базисе.Уравнение (13.3) называется также характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами линейного оператора, а также матрицы А.Теорема 13.1 утверждает, что характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.Определение 11.
Система всех характеристических чисел линейного оператора называется его спектром.Пусть линейный оператор f имеет в некотором базисе матрицуé а11 L а1n ùА = êê L L L úúêëa n1 L ann úûХарактеристическим уравнением его будет следующее уравнение:éé 1 0 L 0 ùùê é a11 L a1n ùê 0 1 L 0 úúúú = 0det ê ê L L L ú - l êúêêêL L L Lú úê ëê a11 L ann ûúêúúë 0 0 L 1 ûûëили, выполняя вычитание матриц,a11 - la12a 21La1na 22 - l La2 nLLLLa n1an 2L a nn - l=0Определение 12.
Решения li (1 £ i £ n ) этого уравнения называются собственными числами матрицы A.Каждому собственному числу li соответствует набор векторовu , называемых собственными векторами, они удовлетворяют уравнению Au = li u . Заметим, что если u - собственный вектор, соответст-вующий собственному числуli , то этому же числу соответствует ивектор вида a u, где a - произвольное число.13.4 Евклидово пространствоДля того, чтобы в линейном пространстве можно было измерятьдлины и углы, вводят новую операцию – скалярное произведение.118Пусть Vn – n-мерное линейное пространство. Каждой паре векторов аи b ставится в соответствие действительное число l – их скалярноепроизведение, обозначаемое a × b = l , удовлетворяющее следующимаксиомам.Аксиома 13.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
