Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Уравнению (9.2) соответствует одна из следующих линий:1) Парабола;2) Эллипс;3) Гипербола;4) Пара параллельных прямых;5) Пара пересекающихся прямых.79Ниже мы изучим свойства перечисленных кривых второго порядка.9.2 ПараболаОпределение 5. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от принадлежащих этой плоскости данных прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Данная точканазывается фокусом, а данная прямая – директрисой. Расстояние отточки до директрисы обозначим через p ( p > 0 ) .Составим уравнение параболы. Для этого выберем систему координат, как на рисунке 9.2, т. е.
ось Ox перпендикулярна директрисеDD1 и проходит через фокус. Начало координат выберем в серединеотрезка DF. Тогда уравнение директрисы имеет вид:x+p= 0,2æp öфокус имеет координаты F ç , 0 ÷ .è2 øyD1MNDOxFРис. 9.2. Точка M лежит на параболена расстоянии p от директрисы DD180Рис. 9.3. Равнобочная парабола y = x2ПустьM ( x , y ) – произвольная точка на параболе. Расстояния отM до директрисы и фокуса2MN =pöæçx + ÷ ,2øèнаходятся следующимобразом:2MF =pöæ2ç x - ÷ + y .
Для точек параболы2øèMF = MN , т. е.22pöpöææ2çx+ ÷ = çx- ÷ + y2ø2øèèили, после возведения в квадрат и раскрытия скобок, получимy 2 = 2 px .(9.3)Определение 6. Уравнение (9.3) называется каноническим уравнением параболы, а входящее в него p – параметром параболы.12Когда p = , получаем уравнение y = x . Это парабола, ветви2которой направлены вправо.9.3 ЭллипсОпределение 7. Эллипсом называется такое множество точекплоскости, что сумма расстояний от любой точки этого множества додвух данных точек плоскости есть величина постоянная, большая расстояния между данными точками. Данные точки называют фокусами.81Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через,а2c сумму расстояний от любой точки эллипса до его фокусов – через 2a . Из определения эллипса следует, что a > c .Выберем декартову прямоугольную систему так, чтобы ось Oxпрошла через фокусы, а ось Oy через середину отрезка F1 F2 .Пусть M ( x, y ) – точка на эллипсе.
Тогда MF1 + MF2 = 2a .Так как MF1 =(x + c)2( x - c)+ y 2 , MF= 22+ y 2 , то уравне-ние примет вид+ y 2 + ( x - c ) + y 2 = 2a .Запишем уравнение (9.4) в виде( x + c)( x + c)22(9.4)2+ y 2 = 2a - ( x - c ) + y 2 .Возведем обе части в квадрат, получим2(x - c)x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 - 4aили, приведя подобные,a( x - c)22+ y 2 + x 2 - 2 xc + c 2 + y 2+ y 2 = a 2 - cx.Еще раз возведем в квадрат, получимa 2 x 2 - 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 =a 4 - 2a 2cx + c 2 x 2или, приведя подобные и группируя члены,(aТакb=как2- c 2 ) x 2 + a 2 y 2 =a 2 ( a 2 - c2 ) .a >c,тоa 2 - c 2 > 0.Введем(9.5)обозначениеa -c .Уравнение (9.5) можно записать в виде22b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b2 .2 2Разделив обе части на a b( a ¹ 0, b ¹ 0 ) , получимx2 y 2+= 1.(9.6)a 2 b2Это уравнение эквивалентно уравнению (9.4), что можно доказать. Это не очевидно, т.
к. мы два раза возводили в квадрат.Определение 8. Уравнение (9.6) называется каноническим уравнением эллипса, a – большей полуосью, b – меньшей.82Построим часть эллипса, расположенную в первой четверти. Таккак y ³ 0 в первой четверти, то y = b a 2 - x 2 . Ось Oy эллипс переaсекает в точке B1 ( 0, b ) , ось Ox в точке A1 ( a ,0 ) .
Часть эллипса изображена на рисунке 9.4. Можно доказать, находя вторую производную,что выпуклость направлена вверх. Пользуясь симметрией эллипса относительно осей Ox и Oy, продолжим эллипс в остальные четверти.yB1A2A1OxB2Рис. 9.4. На рисунке изображена часть эллипса в первой четвертиyB1 ( 0, b )OA1 ( a ,0 )xРис.
9.5. В остальные четверти продолжаем эллипс,пользуясь его симметрией относительно осей координат83Определение 9. Точки A1 ( a ,0 ) , A2 ( -a ,0 ) , B1 ( 0, b ) , B2 ( 0, -b ) , т. е. точки пересечения эллипса с осями симметрии, называются вершинамиэллипса.22Уравнение x + y = 1, где a < b , также является уравнением эл22abлипса, только фокусы его расположены на оси Oy .Если a = b , то каноническое уравнение эллипса примет видx 2 + y 2 = a 2 . Этому уравнению соответствует окружность радиуса aс центром в начале координат.Определение 10. Отношение c к большей полуоси (a в уравненииc(9.6)), называется эксцентриситетом и обозначается e = .aПри изучении эллипса особую роль играют две прямые, перпендикулярные к большой его оси и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a от него.eОпределение 11.
Эти прямые называются директрисами эллипса.Уравнение директрис в выбранной системе координат имеет вид:aax= - и x= .eeИмеет место следующаяТеорема 9.2. [6]. Отношение расстояния от любой точки эллипсадо фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы естьвеличина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r = e .d849.4 ГиперболаyM(x,y)F2 ( - c,0 )OF1 ( c,0 )xРис. 9.6. Точка M лежитна гиперболе с фокусами F1 и F2Определение 12. Гиперболой называется такое множество точек наплоскости, что модуль разности расстояний от любой точки этогомножества до двух данных точек плоскости есть величина постоянная,меньшая расстояния между данными точками и отличная от нуля.Данные точки называются фокусами.Расстояние между ними обозначим через 2c , а модуль разностирасстояний от любой точки гиперболы до фокусов – через 2a .
Согласно определению гиперболы 0 < a < c .Выберем систему координат так, как при выводе уравнения эллипса.ДляM ( x, y ) ,точкиMF2 - MF1= 2a( x + c)MF=22или+=y 2 , MF1MF=2 - MF1( x - c)2±2a.нагиперболе,Таккак+ y 2 , то для точек гиперболы2+ y 2 - ( x - c ) + y 2 = ±2a. Далее избавляемсяот иррациональности, как в случае с эллипсом; получимa 2 - c2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 a 2 - c2 .будем иметь()( x + c)лежащей2()Поскольку a < c , то c2 - a 2 > 0, ведем обозначение b = c2 - a 2 .Тогда уравнение гиперболы примет вид: -b2 x 2 + a=2 y 2 - a 2b2 илиx2 y2= 1.a 2 b285(9.7)Определение 13. Уравнение (9.7) называется каноническим уравнением гиперболы.Для построения гиперболы в первой четверти, выразим y черезx (в 1 четверти y ³ 0 ).y=b 2x - a2 .aРис.
9.7. Часть гиперболы в первой четвертиТочка A1 ( a,0 ) лежит на гиперболе. При возрастании x, y такжевозрастает. Пользуясь дифференциальным исчислением, можно доказать, что выпуклость направлена вверх.Используя симметрию, строим гиперболу в остальных четвертях.Поскольку при замене в уравнении (9.7) x на –x, оно не изменятся, тогипербола симметрична относительно оси Oy . По такой же причинеона симметрична относительно оси Ox .Рис. 9.8. Пользуясь симметрией гиперболы относительноосей координат, строим ее в остальных четвертях86Рис. 9.9. У этой гиперболы фокусы расположены на оси OyОпределение 14.
Точка пересечения осей симметрии гиперболыназывается ее центром. Точки A1 ( a,0 ) и A2 ( -a,0 ) – точки пересечения оси симметрии Ox с гиперболой, называются вершинами гиперболы. Число a называется действительной полуосью, b – мнимой.Уравнениюy 2 x2=1(9.8)b2 a 2соответствует гипербола, фокусы которой расположены на оси Oy.Гипербола состоит из двух отдельных кривых, называемых ее ветвями.Определение 15. Асимптотой кривой называется прямая, обладающая следующим свойством: расстояние от точки кривой до этойпрямой стремится к нулю, когда точка удаляется от начала координатна бесконечность, двигаясь по этой кривой.У гиперболы, заданной уравнением (9.7), есть две асимптоты:by =± x.(9.9)aУ гиперболы (9.8) асимптотами являются эти же две прямые.Определение 16.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение полуфокусного расстояния c к действительной полуоси, т. е.ce = . Так же, как и для эллипса, вводятся две прямые, перпендикуaлярные к действительной оси. Они называются директрисами. Уравaнения директрис имеют следующий вид: x = ± .e87Рис. 9.10. Гипербола и ее асимптотыТак же, как и для эллипса, для гиперболы имеют место следующие равенства r1 = r2 = e , где r1 и r2 – расстояние от точки гипербоd1 d 2лы до соответствующих фокусов, d1 и d 2 – расстояния от этой точкигиперболы до директрис.Если a = b , то гипербола называется равнобочной; уравнение ее2x - y 2 = a 2 .
Уравнения асимптот для нее имеют вид y = ± x . Например, гипербола y =1, изучаемая в школе, будет равнобочной гиxперболой.Рис. 9.1.Равнобочная гипербола y =1xy = -Y + X ,x = Y + X , получим ее каноническое уравнение X - Y 2 = 1 .Если перейти к новым координатам по формуле288Лекция № 10.Алгебраические поверхностивторого порядка в пространстве10.1 Поверхности и линии в пространствеОпределение 1.
Уравнением поверхности в заданной системе координат Oxyz называется уравнение с тремя переменнымиF ( x, y , z )= 0 , которому удовлетворяют координаты любой точки,лежащей на этой поверхности, sи не удовлетворяют координаты точек,не лежащих на ней.Пример 1. Составить уравнение координатной плоскости Oxy.> Уравнению z = 0 удовлетворяют точки на плоскости Oxy и неудовлетворяют другие точки. Значит, z = 0 – искомое уравнение.
<Пусть заданы две поверхности уравнениями F1 ( x, y , z ) = 0 иF2 ( x, y , z ) = 0 . Тогда линия L их пересечения задается системойìï F1 ( x , y , z ) = 0.íïî F2 ( x , y , z ) = 0Пример 2. Составить уравнение окружности, лежащей в плоскости Oxy , центром в точке O и радиусом a .> Окружность можно рассматривать, как кривую пересеченияплоскости Oxy и сферы радиуса a . Уравнение сферы радиуса a с центром в точке O легко вывести, и оно имеет вид x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Значит, уравнение окружности имеет вид: ìí z = 0.<2222îx + y + z = aОпределение 2.
Поверхность называется алгебраической, если внекоторой декартовой прямоугольной системе координат Oxyz ееуравнение имеет видkåAxi =1imiy ni z pi = 0 ,(10.1)где Ai – вещественные числа, mi , ni , pi – целые неотрицательные числа.89Определение 3. Пусть Aj ¹ 0 и m j + n j + p j = s – наибольшее из()чисел mi , ni , pi i = 1, k . Тогда s называется порядком алгебраическойповерхности (10.1).10.2 Поверхности второго порядкаОпределение 4. Поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в прямоугольной системе координатбудет уравнением второй степени относительно текущих координат.Общее уравнение второй степени с тремя переменными записывается так:a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x ++2a24 y + 2a34 z + a44 = 0(10.2)Перемещением начала координат, поворотом системы координат и заменой координат уравнение (10.2) можно привести кодному из следующих типов:x2 y 2 z2+- = 0 (Конус второго порядка)(10.3)a 2 b2 c 2x2 y2 z2++ = 1 (Эллипсоид)(10.4)a 2 b2 c2x 2 y2 z 2+- = 1 (Однополостный гиперболоид) (10.5)a 2 b2 c 2x2 y 2 z2- = 1 (Двуполостный гиперболоид)a 2 b2 c 22(10.6)2xy+= 2 z (Эллиптический параболоид)pq(10.7)x2 y2= 2 z (Гиперболический параболоид)pq(10.8)x2 y2+= 1 (Эллиптический цилиндр)a 2 b2x2 y2-=±1 (Гиперболический цилиндр)a 2 b2y 2 = 2 px (Параболический цилиндр)x2 y2= 0 (Пара пересекающихся плоскостей)a 2 b290(10.9)(10.10)(10.11)(10.12)x2 y2+= 0 (Одна точка O)a 2 b2(10.13)Рассмотрим подробнее поверхности второго порядка.10.3 Конус второго порядкаКонус второго порядка определяется уравнениемx2 y2 z2+- = 0.a 2 b2 c 2Так как в уравнение переменные x, y , z входят только во второйстепени, то поверхность симметрична относительно всех трех координатных плоскостей и координатных осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
