Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 6
Текст из файла (страница 6)
+ a1n xn = h1 ;(1)a22x2 + ... +=a2(1)n xn(1)a32x2 + ... +=a3(1)n xn....a x + ... +=a x(1)m2 2(1)mn nh2(1) ;h3(1) ; ,(6.2).hm(1) ;эквивалентную системе (6.1). Переход от системы (6.1) к (6.2) назовемпервым шагом. После первого шага могут быть следующие случаи:1. Среди уравнений (6.2) есть такое, у которого все коэффициентыпри неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю.
В этомслучае система (6.2), а значит и система (6.1) несовместны.2. Все коэффициенты aij(1) и hi(1) равны нулю. Тогда система (6.2)состоит из одного уравнения. Если n = 1 , то система имеет единственное решение. В противном случае она имеет бесконечно много решений, т. е. неопределенна.(1)3. Среди коэффициентов aijесть отличные от нуля. Без ограни-(1).чения общности можем считать, что это a22Переходим ко второму шагу. Исключаем неизвестное x2 из всехуравнений системы (6.2), начиная с третьего.51a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... +=a1n xn(1)(1)a22x2 + a23x3 + ... +=a2(1)n xnПолучим систему( 2)a33x3 + ...
+=a3( 2)n xnh1h2(1)h3( 2). . . . . . . . . . . .(2)am(2)3 x3 + ... +=amnxnhm(2) ,эквивалентную системе (6.1).В результате второго шага могут быть случаи, аналогичные тем,которые были после первого шага. Если имеет место третий случай,переходим к третьему шагу. Продолжаем этот процесс, пока это возможно. После p-1 шага получим системуa11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = h1b22 x2 + b23 x3 + ... +=b2 n xnh2(1)c33 x3 + ... +=c3n xnh3( 2)........(6.3)d pp x p + ... + d pn xn = h( p -1)p0= h(p +p1-1)....( p -1)m0= hПереход от системы (6.1) к эквивалентной ей системе (6.3) называется прямым ходом метода Гаусса.Возможны следующие случаи:( p -1)( p -1)1.
Хотя бы одно из чисел h p +1 ,..., hmотлично от нуля, тогдасистема (6.3), а следовательно, и система (6.1) несовместны.2. Все hi( p -1) (i = p + 1, m) равны нулю. Тогда последние m - pуравнений вида 0 = 0 можно отбросить. Система (6.3) может иметьодин из двух видов: треугольный (при p = n)a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = h1b22 x2 + b23 x3 + ... +=b2 n xn....ln-1n -1 xn-1 +=ln -1n xnh2(1).hn( n-1-2)d nn xn = hn( n-1)52(6.4)или трапецевидный (при p < n)a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ...
+ a1n xn = h1b22 x2 + b23 x3 + ... +=b2n xn.....d pp x p + ... +=d pn xn(6.5)(1)2h.h..( p -1)p,где a11 , b22 ,..., d pp отличны от нуля.Нахождение неизвестных x1 , x2 ,..., xn из системы (6.4) или (6.5)называется обратным ходом метода Гаусса. В системе (6.4) из последнего уравнения находим xn , подставляем его в (n-1)-е уравнение, находим xn -1 и т. д. В результате находим единственное решение системы (6.1).В системе (6.5) выразим x p через x p +1 ,..., xn .
Осуществляя обратный ход, выразим x p -1 , x p -2 ,..., x1 через x p +1 ,..., xn . Придаваяпоследним произвольные значения c p +1 , c p + 2 ,..., cn , получаем бесконечно много решений системы (6.1).На практике при применении метода Гаусса преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы.Пример 1. Решить методом Гаусса системуì6 x1 - 2 x 2 + 3 x3 = 2ï x + x - x = -2ï 123í+22xxx3 = 72ï 1ïî3x1 + 2 x 2 - x 3 = -11. Выпишем расширенную матрицу системы2 ùé6 - 2 3ê1 1 - 1 - 2 úúA=êê2 - 1 27 úúêë3 2 - 1 - 1û2.
С помощью элементарных преобразований строк этой матрицыприводим ее к трапециевидному виду, т. е. под главной диагональюстоят нули53é6 -2 -3 2 ùé6 -2 -3 2 ùê 1 1 -1 -2 úê0 -8 3 14 úú ¾¾¾®êú ¾¾¾¾A= ê®ê2 -1 2 7 ú --63SS32++SS11 ê0 1 -9 -19 ú 8-S43S+S+2S42-2 S4 + S13ê 3 2 -1 -1úê0 -6 -1 4 úëûëû2 ùé 6 -2 -3é6 -2 -3 2 ùê 0 -8 3úê0 -8 3 14 ú14êúêú¾¾® ê 0 0 -69 -138ú ¾¾®®2 ú ¾¾¾¾S23ê0 0 1- S 4 + S3-6913êúêú26 úê 0 0 13ê0 0 13 26 ú33 û33ûëëé 6 -2 -3 2 ùê 0 -8 3 14 ú .ú¾¾®êê0 0 1 2 úêúë0 0 0 0 ûЭтой матрице соответствует системаì6 x1 - 2 x2 - 3x3 = 2ï- 8 x2 +=3 x3 14íï=x3 2îОсуществляяобратный ходметодаГаусса,находим.x=2,x=1,x=1321Преобразования, проводимые на прямом ходе метода Гаусса, соответствуют элементарным преобразованиям системы (6.1).
Системе(6.3) соответствует расширенная матрицаéa11 a12êb22êêêêêêêêëa3b23c33.d pp... a1n... b2 n... c3n..... d pnh1 ùh2(1) úúh3(2) úú. úh p( p -1) úú... úhm( p -1) úû(6.6)Система (6.3) совместна тогда и только тогда, когда всеh (p p+1-1) ,..., hm( p -1) равны нулю. Ранг основной матрицы системы (6.3) ра-54вен p, поскольку минор порядка p, образованный первыми строками истолбцами, отличен от нуля.
Ранг же матрицы (6.6) может быть p+1,( p -1)( p -1)если хотя бы одно из чисел h p +1 ,..., hmотлично от нуля. Намидоказана следующая.Теорема 6.1. (Кронекера-Капелли) [7].. Для того, чтобы система(6.1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы.6.4 Метод КрамераПусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:ìa11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = h1ïa x + a x + ... + a x = hï 21 122 22n n2(6.7)í.......ïïîan1 x1 + an 2 x2 + ...
+ ann xn = hnили в матричной форме(6.8)AX = H .Матрица A такой системы является квадратной матрицей порядка n.Определитель этой матрицыa11 a12 ... a1na21 a22 ... a2 n .D det A==....an1 an 2 ... annОпределение 7. Если определитель системы отличен от нуля, тоона называется невырожденной. В противном случае – вырожденной.Решим систему (6.7) в случае, если она невырождена. Умножив-1равенство (6.8) слева на A , получим(6.9)X = A-1H .Матричное равенство (6.9) можно записать в виде55é x1 ùé A11 ... An1 ù é h1 ùé x1 ùé A11h1 + ... + An1hn ùêMúê .úêúêúê .
. . . ú..MMê ú 1êúê úê ú 1êúê x j ú = ê A1 j ... Anj ú ê h j úê x j ú = ê A1 j h1 + ... + Anj hn úê ú Dêú ê ú или ê ú D êú.. úê M úêMúê .êMúê . . . . úêë A1n ... Ann ûú ëê hn ûúêë xn ûúëê xn ûúëê A1nh1 + ... + Ann hn ûúоткуда следует, что для любого j ( j = 1, n)1x j = ( A1 j h1 + ... + Anj hn ) ,DA1 j h1 + A2 j h2 + ...
+ =Anj hn D j ,где D j - определитель, полученный из определителя D заменой j-гостолбца столбцом из свободных членов системы. Итак,xj =DjD(=j 1, n ) .(6.10)Определение 8. Выражения (6.10) называются формулами Крамера.Пример 2. Решить методом Крамера системуì x1 + 2 x2 + 3x3 = 26ïí2 x1 - 3x2 + 2 x3 = 4 .ï3x - 2 x + x = 623î 1Составим определитель матрицы системы:1 2 3D =2 -3 =2 1× ( -3) ×1+ 2× 2 × 3+ 3× 2 × ( -2) - ( 3× ( -3) × 3+ 2× 2 ×1+ 2 × ( -2) ×1)=3 -2 1= -3 + 12 - 12 - ( -27 + 4 - 4 ) = 24.Заменим в матрице первый столбец столбцом свободных членов:26D1 = 462326 × ( -3) × 1 + 2 × 2 × 6 + 3 × 4 × ( -2 ) - ( 3 × ( -3 ) × 6 + 2 × 4 × 1 + 26 × ( -2 ) × 2=)-3 = 2-2 1= -78 + 24 - 24 - ( -54 + 8 - 104=) 72 .Аналогично найдем1 26 3D 2 = 2= 423161 × 4 × 1 + 26 × 2 × 3 + 2 × 6 × 3 - ( 3 × 4 × 3 + 26 × 2 × 1 + 1 × 2 × 6 )=()56= 4 + 156 + 36 - ( 36 + 52 + 12 )= 96.И, наконец, заменяя третий столбец в матрице системы столбцомсвободных членов, найдем1 2 26D 3 = 2 -3 = 4 1 × ( -3) × 6 + 2 × 4 × 3 + 26 × 2 × ( -2 ) - ( 26 × ( -3) × 3 + 2 × 2 × 6 + 1 × 4 × ( -2 )=)3 -2 6= -18 + 24 - 104 - ( -234 + 24 - 8 ) = 120 .Теперь находим по формулам Крамера решенияDDDx1 = 1 = 3; x2= 2= 4; =x3 =3 5.DDDМатричный метод решения системы (6.7) состоит в вычислении-1матрицы A .
После этого, по формуле (6.9) находим столбец неизвестных X. Матричный метод применим также только для невырожденных систем.6.5 Системы однородных уравненийОпределение 9. Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю.Однородная система имеет видìa11 x1 + ... + a1n xn = 0ïí . . . . .ïa x + ... + a x = 0nn nî n1 1(6.11)Система однородных уравнений всегда имеет решениеx1= 0, x2 =0,..., xn =0.Определение 10. Нулевое решение называется тривиальным.Из критерия совместности следует, что система (6.11) имеет лишьтривиальное решение в случае, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( r = n ).
В частности, если число уравнений равно числу неизвестных ( m = n ), то система имеет только тривиальное решениев случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля.Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений системы бесконечно много.Пример 3. Решить системуì3x1 + x2 - x3 + 2 x4 = 0íî6 x1 + 2 x2 + x3 - =x4 057Ранг матрицы системы равен3 -1Даннаясистема= 9 ¹ 0.6 1двум,посколькуэквивалентнаминорсистемеx3 - x2 - 2 x4ì3 x1 -=.íx3 -2 x2 + x4î6 x1 + =Отсюда-3 x2 - x45-3x2 - x4 ,=x3+ x2 + 2=x4x4 .=x1933Решения системы имеют вид æ -3C1 - C2 ; C ; 5 C ; C ö , где C1 и122÷ç93èøC2 – произвольные числа.Пусть C1, C2 ,..., Ck – вектор-решения системы однородных линейных уравнений (т.е. столбцы решений), а a1 , a 2 ,..., a k – некоторыечисла.Определение 11.
Выражение a1C1 + a 2C2 + ... + a k Ck называется линейной комбинацией вектор-решений C1 , C2 ,..., Ck , а a1 ,a 2 ,...,a k –коэффициенты этой комбинации. Если все ai = 0(i = 1, k ) , то комбинация называется тривиальной.Определение 12. Вектор-решения C1 , C2 ,..., Ck называются линейно зависимыми, если одно из них является линейной комбинацией других. В противном случае они называются линейно независимыми.Теорема 6.2.
Любая линейная комбинация конечного числа вектор-решений системы однородных линейных уравнений является вектор-решением этой системы.Определение 13. Базисными неизвестными совместной системы,ранг которой равен r, назовем r неизвестных, коэффициенты которыхобразуют отличный от нуля минор, называемый также базисным. Остальные неизвестные назовем свободными.Очевидно, базисный минор и базисные переменные можно выбрать различными способами.Теорема 6.3. Пусть для системы линейных однородных уравненийr < n , где r – ранг матрицы системы, n – число неизвестных.
Тогдасуществуетлинейнонезависимыхвектор-решенийn-r58C1, C2 ,..., Cn -r данной системы и любое вектор-решение системыявляется линейной комбинацией C1 , C2 ,..., Cn -r .> Пусть в системе (6.11) r < n . Тогда система имеет n - r свободных неизвестных.Не нарушая общности, будем считать базисными неизвестнымиx1 , x2 ,..., xr . Выразив базисные неизвестные через свободные, получимì x1 = d11 xr +1 + ... + d1n- r xnï x = d x + ... + d xï 221 r +12n -r ní....ï .ïî xr = d r1 xr +1 + ... + d rn - r xnПридаваяxr +1 ,..., xnпроизвольные.значения(6.12)инаходяx1 , x2 ,..., xr из системы (6.12), найдем все решения системы (6.11).Любое вектор-решение данной системы можно записать в видеC = [ x1 ,..., xr , a1 ,..., a n- r ] ,T(6.13)где a1 ,...,a n- r – произвольные числа; x1 , x2 ,..., xr определяется изравенств (6.12) при xr +1 = a1 , xr + 2 =a 2 ,..., xn =a n - r .Рассмотрим вектор-решенияé d11 ùé d12 ùé d1 n - r ùêd úêd úêd úê 21 úê 22 úê 2 n-r úê M úê M úê M úê úê úêúdddC1 = ê r1 ú ; C2 ê =r 2 ú ;...; Cn -r ê =rn -r ú (6.14)ê1úê 0úê 0 úê úê úêúê0úê1 úê 0 úê M úê M úê M úê úê úêúë0ûë 0ûë 1 ûИз соотношений (6.12)-(6.14) следует, что для любого векторрешения С имеемC = a1C1 + a2C2 + ...
+ an -r Cn -r ,т. е.вектор-решение(6.13)являетсяC1 , C2 ,..., Cn -r . <59линейной(6.15)комбинациейИз доказательства теоремы следует, что n - r есть максимальноечисло линейно независимых вектор-решений.Определение 14. Совокупность максимального числа линейно независимых решений однородной системы уравнений называется фундаментальной системой решений этой системы.Решения (6.14) образуют фундаментальную систему решений системы (6.11).Определение 15. Формула (6.15), где a1 , a 2 ,..., an -r – произвольные числа, дает общее решение системы (6.11). Каждое решение, которое получается из (6.15) при конкретных значениях a1 , a 2 ,..., a n- r , будем называть частным решением системы (6.11).Пример 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
