Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 2
Текст из файла (страница 2)
к. i, j , k - единичные векторы.Так как они ортогональны, то по свойству 3 i × j = j × k = i × k = 0 .Пустьвортонормированномбазисе=a ( x1 , y1 , z1 ) ,=b ( x2 , y2 , z2 ) .Тогда =a x1i + y1 j + z1=k , b x2 i + y2 j + z 2 k .a ×=b x1 x2 i × i + x1 y2 i × j + x1 z2 i × k + y1 x2 j × i + y1 y2 j × j + y1z 2 j × k ++z1 x2 k × i + z1 y2 k × j + z1z2 k × k =x1x2 + y1 y2 + z1z2 ,(2.2)т. е. скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.2a = x12 + y12 + z12 , откуда модуль вектора равен корню квадратно-му из суммы квадратов его координат, т. е. | a |= x12 + y12 + z12 .Пример 1.
Вычислить скалярное произведение векторовa= 2i + 4 j - 3k и b = i - 4 j + 8k .Вычислим скалярное произведение по формуле (2.2):a × b = 2 × 1 + 4 × ( -4) + ( -3) × 8 = -38Определение 4. Косинусы углов вектора с осями координатOx , Oy , Oz называются направляющими косинусами этого вектора.Из определения скалярного произведения a × b |=a | × | b | × cos j выразимa ×bcosj =(2.3)| a |× |b |илиx1 x 2 + y1 y 2 + z1 z2cos j =(2.4)2x1 + y12 + z12 x 2 2 + y 2 2 + z2 2Положив в формулах (2.3) и (2.4) b = i , найдемx1cos a =,2x1 + y12 + z1215где a – угол вектора a с осью Ox в ортогональной системе координат.Полагая b = j и b = k , найдемy1z1cos b =, cos g =,2222x1 + y1 + z1x1 + y12 + z12где b и g – углы между вектором a и осями Oy и Oz .Определение 5.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторовa 1 , a 2 , a 3 называется правоориентированной или просто правой, еслипри наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот отпервого ко второму виден в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка называется левоориентированной или просто левой.Определение 6. Если ортонормированный базис i, j, k образуетправую тройку, то декартова прямоугольная система называется правой.
В противном случае прямоугольная система координат называется левой.a3a3a2Oa1Oa1a2абРис. 2.3. а – векторы a1 , a 2 , a 3 образуют правую тройкуб – векторы a1 , a 2 , a 3 образуют левую тройку162.2 Векторное произведение векторовОпределение 7. Векторным произведением вектора a на вектор bназывается вектор c , который:1) имеет модуль, равный | a | × | b | × sin j , где j - угол между векто-c = a´bрами a и b ;2) перпендикулярен к плоскости векторов a и b ;3) направлен так, чтобы тройка векторовa, b, c была правой.Векторное произведение векторов a и bобозначается символомa ´ b= c илиbOé a × b ù= c .ëûОпределение 8.
Если хоть один изсомножителей – нулевой вектор, тоaвекторное произведение, по определению,есть нулевой вектор.c1 = b ´ aИз определения 7 вытекает, что модульвекторного произведения численно равенплощади параллелограмма, построенного наРис. 2.4. Векторвекторахa и b.ное произведениеВмеханикесуществуют различныевекторовприложенияпонятиявекторногопроизведения. Например, если вектор b обозначает силу, приложенную к точке M с радиус-вектором r = OM , то векторное произведение r ´ b обозначает момент силы b относительно точки O .Свойства векторного произведенияСвойство 1.
[6]. Векторное произведение антикоммутативно, т. е.всегда a ´ b = -b ´ a .Свойство 2. [6]. Для любых векторов a и b и любого числа lвыполнены равенства l a ´ b a=´ l b = l a ´ b .( )( ) (17)Свойство 3. [6]. Векторное умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е. для любых векторов a , b, c имеет место равенствоa + b ´c = a´c + b´c.()Свойство 4. [6]. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов a и b является равенство нулю их векторногопроизведения.На основании изложенных свойств рассмотрим векторные произведения ортов i , j , k . По свойству коллинеарности векторов имеем:i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 . Вектор i ´ j – это вектор, ортогональный сi и j и образующий с ними правую тройку. Модуль вектора i ´ j –это площадь квадрата OABD со стороной 1, т.
е. | i ´ j |= 1 , следова-тельно, это вектор k .zkiAOBjDyxРис. 2.5. Векторное произведениевекторов i и j равно ki ´ j=k(2.5)Аналогично находим, чтоj ´ k = i , k ´ i = j.18(2.6)Переставив сомножители в равенствах (2.5) и (2.6), на основаниисвойства 1 векторного произведения получимj ´ i= - k , k ´ =j -i , i ´ k= - j.Для векторного произведения векторов ортонормированного базиса можно составить таблицу.ijki0k-jj-k0ikj-i0é a11 a12 ùОпределение 9.
Таблица êú , составленная из чиселë a21 a22 ûaij (i , j = 1,2) , называется квадратной матрицей второго порядка. Матрицы обозначаются обычно заглавными латинскими буквами A, B, C ит. д.Определение 10. Определителем второго порядка квадратнойé a11a12 ùматрицы A = êú называется число | A |= a11a 22 - a12 a 21 .ëa21 a22 ûОбозначаетсяопределительтакжеследующимобразом:a11 a12 .det=Aa21 a22Определение 11. Таблицаé a11 a12 a13 ùA= ê a(2.7)a 22 a 23 ú ,ê 21úëêa31 a 32 a33 ûúсоставленная из чисел aij (i, j = 1,3) , называется квадратной матрицейтретьего порядка.Определителем матрицы (2.7) называется числоD = (-1)1+1 × a11 ×a22 a23a21 a23a21 a22+ (-1)1+2 × a12 ×+ (-1)1+3 × a13 ×(2.8)a32 a33a31 a33a31 a32Определитель третьего порядка также обозначается:19a11a12a13D = det A = a 21 a 22a 23a 31 a32 a33Числа a ij (i, j = 1,3) называются элементами определителя и матрицы A.Если в равенстве (2.8) заменить определители второго порядка ихвыражениями, то получим:D = a11 (a 22 a 33 - a 23a32 ) - a12 ( a 21a 33 - a 31a 23 ) + a13 ( a21a32 - a31a 22 ) == a11a 22 a33 + a12 a 23a 31 + a13a 21a 32 - ( a13a 22a 31 + a12 a 21a33 + a11a32 a 23 )Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса)абРис.
2.6. а – эти три слагаемые берутся со знаком плюс,б – эти три слагаемые берутся со знаком минусПервые три слагаемых вычисляются как на рисунке (2.6. а), из нихвычитаются три слагаемых, изображенных на рисунке (2.6. б).Пример 2.7 -2313-3 = 7 × 2 × 1 + ( -2) × ( -3) × 3 + 3 ×1 × 4 - 3 × 2 × 3 - 1 × ( -2) ×1 124-7 × ( -3) × 4 =14 + 18 + 12 - 18 + 2 + 84 = 112Пусть в прямоугольной системе координат векторы a и b заданысвоими координатами a = ( x1 , y1 , z1 ) ; b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , тогдаa = x1 i + y1 j + z1 k ;=bx 2 i + y 2 j + z2 k .Рассмотренные свойства векторного произведения позволяютпроизвестиперемножениевекторовиx1 i + y1 j + z1 k20x 2 i + y 2 j + z 2 k по правилам умножения обычных многочленовс учетом свойств векторного произведения ортов.() (a ´ b= x1 i + y1 j + z1 k ´ x2 i + y2 j + z=2 k)x1 x2 i ´ i ++ x1 y2 i ´ j + x1 z2 i ´ k + y1 x2 j ´ i + y1 y2 j ´ j + y1 z2 j ´ k +z1 x2 k ´ i + z1 y2 k ´ j + z1 z2 k ´ kx1 y=2 k - x1 z 2 j - y1 x2 k ++ y1 z2 i + z1 x2 j - z1 y2 i.Полученную формулу можно представить в виде символическогоопределителяij k.a ´ b = x1 y1 z1x2 y 2 z 2Пример 3.
Найти площадь параллелограмма, построенного навекторах a = (1,2,2) и b = (5,3,4) .Найдем векторное произведение векторов a и b .i j ka ´ b =1 2= 2 2i + 6 j - 7k5 3 4S = | a ´ b | = 2 2 + 6 2 + ( -7 ) =24 + 36 + 49 = 89Определение 12. Смешанным произведением трех векторов a , b, cназывается число, которое получается при умножении векторногопроизведения a ´ b скалярно на вектор c . Оно обозначаетсяa, b, c = a × b × c = a ´ b × c .()()Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.Оно положительно, если тройка векторов a , b, c правая, и отрицательно, если она левая.Свойство 1.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.21Свойство 2. Операции скалярного и векторного произведения всмешанном произведении можно менять местами, т. е.a ´ b × c= a × b ´ c .()()Свойство 3. Круговая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его величины. Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный,т.
е.( a , b, c ) = (b, c, a ) = ( c, a , b) = - (b, a , c ) = -( c, b, a ) = - ( a , c, b ) .Пусть в прямоугольной системе координат векторы a, b, c заданысвоими координатами: a = ( x1, y1, z1);b = ( x2 , y2, z2 );c = ( x3, y3, z3 ) .x1y1z1Тогда (a , b, c) = x 2y2z2 .x3 y 3 z3Используя свойство 1, условие компланарности трех векторов, заданных своими координатами, запишем так:x1x2y1y2z1z2 = 0x3y3z3.Пример 4.
Необходимо проверить, лежат ли точкиA(1;2;3), B (3;4;7), C (2;5;1), D (3;4;3) в одной плоскости.Точки A, B, C , D лежат в одной плоскости при условии, что векторы AB, AC , AD компланарны.AB = ( 2, 2,4 )=, AC (1,3, -2 ) , AD = ( 2,2,0 ) .(2 2 4AB, AC, AD = 1 3 -2 = 2 × 3× 0 + 2 × ( -2) × 2 + 4 ×1× 2 - 4 × 3× 2 - 2 ×1× 0 - 2 × 2 × ( -2 )=)2 20= -8 + 8 - 24 + 8= -16 ¹ 0,следовательно, точки A,B,C,D не лежат в одной плоскости.22Лекция № 3. Преобразования координат3.1 Движения на плоскостиРассмотрим на плоскости две прямоугольные системы координатOxy и O1XY, у которых направления соответствующих осей одинаковы,а начала O и O1 различны.Определение 1.
Система координат O1XY называется новой, получается из системы координат Oxy, называемой старой, параллельнымпереносом осей координат.Пусть M – произвольная точка плоскости, x,y и X,Y – ее координаты соответственно в старой и новой системах.Тогда OM = OO 1 + O1 M . Пусть O1 имеет координаты a,b в старомбазисе, тогдаYx = X + a; =y Y + b(3.1)yвыражение старых координат точки MMчерез новые.X = x - a ;Y= y -b(3.2)O1Xвыражение новых координат через старые.Равенства (3.1) и (3.2) – это формулыпреобразования координат произвольнойOxточки M плоскости при параллельномпереносе координатных осей.Рис.
3.1. Точка M имеетразные координатыв старой и новойПоворот осей прямоугольнойсистемах координатсистемы координат на плоскостиРассмотрим две прямоугольные системы координат Oxy и OXY собщим началом, но различными направлениями осей, причем ось Oxсоставляет с осью OX угол a .Говорят, что новая система координат получена из старой системы Oxy поворотом на угол a вокруг общего начала. Пусть M – произвольная точка плоскости, x,y и X,Y – ее координаты соответственно встарой и новой системах координат. Спроецируем точку M на оси координат и построим ее радиус-вектор OM .ÙÙВведем обозначения: r = | OM |, (OM , Ox= ) j ;(OM , OX= )треугольников OMP и OMN находимx = r cos j ; y = r sin jX = r cos j1 ;Y = r sin j123j1 . ИзyMYXj1NjaOPxРис. 3.2.
Новая система координат получаетсяиз старой поворотом на угол a вокруг начала координатТак как j = a + j1 , тоx = r cos(j1 + a ) r (cos= j1 cos a - sin j1 sin=a ) X cos a - Y sin ay = r sin(j1 +a) r(sin= j1 cosa + cosj1 sin=a) X sina +Y cosa (3.3)Формулы (3.3) выражают старые координаты через новые.Поскольку система Oxy получается из системы OXY поворотом наугол -a , то, заменив в формулах (3.3) обозначения координат и уголa на -a , получимX = x cos a + y sin a(3.4)Y = - x sin a + y cos a .(3.5)Формулы (3.4) и (3.5) выражают новые координаты через старые.Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
