Курс лекций по аналитической геометрии (841758), страница 5
Текст из файла (страница 5)
an1 ù... an 2 úú.. úú... ann û(5.4)Всевозможные произведения a1a1 a2a2 ...anan будут одинаковы дляматриц (5.3) и (5.4) с той лишь разницей, что элемент i-й строки и j-гостолбца матрицы A будет элементом j-й строки и i-го столбца матриTTцы A . Число инверсий в перестановке номеров строк матрицы Aбудет равно числу инверсий в перестановке номеров столбцов матрицы A . Следовательно, det A = det AT . <2. Если элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.> Каждое слагаемое (5.2) содержит в качестве множителя элемент нулевой строки, следовательно, оно равно нулю.
<3. От перестановки двух строк определитель меняет знак.> В определителеa11 a12 ... a1n....ai 1 ai 2 ... ain(5.5)....a j1 a j 2 ... a jn....an1 an 2 ... annпоменяем местами i-ю и j-ю строки. Не нарушая общности, считаемi < j . Получимa11 a12 ... a1n....a j1 a j 2 ... a jn.a i1.ai 2..... ain....an1 an 2 ... ann43(5.6)Еслиa1a1 a2a 2 ...aiai ...a ja j ...anan(5.7)одно из произведений, составляющее определитель (5.5), то соответствующим ему произведением для определителя (5.6) будетa1a1 a2a 2 ...a ja j ...aiai ...anan .(5.8)Знаки перестановки для произведения (5.7) и (5.8) отличаютсязнакомвсилутеоремы5.1,посколькуперестановкаполучаетсяизперестановкиaaaaaa,...,,...,,...,,...,( 1 j i n)( 1 i ,...,a j ,...,an )применением одной транспозиции, меняющей местамиai и a j .
По-скольку все произведения, входящие в сумму (5.2), поменяет знак, то иопределитель поменяет знак. <4. Определитель, содержащий две одинаковых строки, равен нулю.> Действительно, переставляя две равные строки, получимD= -D в силу свойства 3, откуда следует, что D = 0 . <5. Общий множитель всех элементов некоторой строки можновынести за знак определителя.> Пусть элементы i-й строки имеют общий множитель.
Так как вкаждое произведение (5.1) входит один элемент i-й строки, то все ониимеют общий множитель l , который можно вынести за скобки. <6.Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.> Пусть элементы i-й строки пропорциональны элементам j-йстроки. Тогда вынесем коэффициент пропорциональности за скобки иполучим определитель, содержащий две одинаковые строки, который,в силу свойства 4, равен нулю. <7. Если все элементы і-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей , у которых все строки кроме і-й те же, что и у данного определителя, а і-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых і-й строки данного определителя, а вторая строка второго из вторых слагаемых данного определителя.44a11a12×a i1 + bi1××M××anLa1na11a12×××LL a in +b in = aai 2i1MML Ma nnLa n1 a n 2a11×a12 L a1n× L ×bi1bi 2L b inM×L ML a1nL×L a in +M ML a nn.an1 an 2 L ann8.
Определитель не изменится, если к элементу одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные наодно и тоже число.В приведенных свойствах можно рассматривать не строки, астолбцы определителя.5.4 Разложение определителяпо строке или столбцуРассмотрим определитель (5.2). Из его определения известно, чтов произведение входит элемент і-ой строки один раз. Сгруппируем теэлементы, которые содержат элементы аік и вынесем за скобки те слагаемые, которые остались.
Проделаем эту операцию для всех элементов і-ой строки и получимDa=i1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain AinОпределение 7. Величину Aik(5.9)назовем алгебраическим дополне-нием элемента aik .Разложение (5.9) называется разложением по элементам і-й строки. Аналогично раскладывается определитель по элементам столбцаD =a1k A1k + ... + ank Ank(5.10)Формулы (5.9) и (5.10) используются при вычислении определителей.Вычеркнем в определителе (5.2) і-ю строку и j-й столбец.
Получится определитель ( n - 1 )-го порядка, он называется минором элемента aij определителя п-го порядка и обозначается Мij .45é a11Пример 1. Минором элемента а23 матрицы ê a21a12a22êëê a31 a32определитель M 23 =a11a 31a13 ùa23 ú будетúa33 ûúa12.a32Для вычисления алгебраических дополнений используетсяТеорема 5.2. [2].
Алгебраические дополнения Aij и минор M ij одного и того же элемента аij определителя связаны между собой соотношениями(5.11)Aij = (-1) i + j M ijТеорема 5.3. [2]. Сумма произведений элементов любого столбца(строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементовдругого столбца (строки) равна нулю.Определение 8.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:1. Умножение некоторого столбца (строки) на число, не равноенулю.2. Прибавление к одному столбцу (строке) другого столбца (строки), умноженного на произвольное число.3. Перестановку местами двух столбцов (строк) матрицы.Они используются при вычислении определителя.Пример 2.D=1 0 3 4-1 2 5 711 0 3 4 1 0 3 4 1 00 2 8 11 2 0 2 8 11 3 0 2===3 2 1 1 3 2 1 0 3 -1 - 3 0 345 1 15 4 5 1 15 4 511384112811= 1 × (-1)1+1 3 - 1 - 3 =-1 - 35 - 11 - 115 0 5 - 11 - 1= -4681.
Прибавили строку 2 к 1.2. Вычли из 3 строки 1-ую.3. Умножили 1 строку на (-4) и прибавили 4 строку.5.5 Обратная матрицаОпределение 9. Если для матрицы А существует матрица В такая,что46АВ = ВА = Е,(5.12)то матрица В называется обратной к матрице А.Из (5.12) следует, что матрицы А и В квадратные и одного и тогоже порядка.Пусть дана квадратная матрица А п-го порядка:é a11 L a1n ùA = êê M MMM M úú .êëa n1 L a nn úûОпределение 10. Матрицей, ассоциированной с матрицей А, называется матрицаé A11 L An1 ùC = êê M MMM M úúêë A1n L Ann úûгде символ Aij обозначает алгебраическое дополнение элемента aijданной матрицы.Определение 11. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.
Если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.Теорема 5.4. [2]. Для того, чтобы существовала матрица В, обратная матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.-1Матрица, обратная матрице А, обозначается символом A .é A11 L An1 ù1 ê-1A =M MMM M úú .det A êêë A1n L Ann úûТеорема 5.5.
Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.> : “От противного”. Допустим, что существует две матрицы A1-1иA2-1 , обратные к матрице A. Тогда имеет место равенствоAA1-1 = E . Умножив слева на A2-1 , получим-12-11-12-11С другой стороны, A AA = ( A A=) Aно, A2-1 = A1-1 . <47A2-1 ( AA1-1 ) = A2-1E = A2-1 .EA= 1-1A1-1 . Следователь-Теорема 5.6.
Определитель произведения двух квадратных матрицодногопорядкаравенпроизведениюопределителей:det AB= det A det B .1. Это следует из равенстваСледствие: det( A-1=)det AA × A-1 =E ,det( A × A-1 ) = det A × det A=-1 det=E 1 .5.6 Ранг матрицыé a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2n ú21ú.Пусть дана матрица размером m ´ n : A = ê... úê .êúë am1 am 2 ... amn ûОпределение 12. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличных от нуля миноров матрицы (ранг матрицы A обозначаетсяrangA).Из определения следует:1) 0 £ rang ( A) £ min( m, n), где min( m , n ) - меньшее из чисел m и n;2) rangA = 0 тогда и только тогда, когда матрица A нулевая;3) для квадратной матрицы А п-го порядка rangA = n тогда итолько тогда, когда матрица невырожденная, т.
е. det A ¹ 0 .Теорема 5.7. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы.Эту теорему применяют для нахождения ранга матрицы.Для нахождения ранга матрицы матрицу элементарными преобразованиями приводят к такой, ранг которой легко найти.Пример 3. Найти ранг матрицы6 ù6 ùé1 2 3 6 ù S + ( -2) S é1 2 3é1 2 3S + ( -3) SS + ( -1) Sê 2 4 5 -3ú ¾¾¾¾êúê® 0 0 -1 -15 ¾¾¾¾® 0 0 -1 -15úêúêúêúêë 3 6 8 3 úûêë 0 0 -1 -15úûêë 0 0 00 úû.Ранг полученной матрицы равен 2, поскольку есть минор 2-го2 3= -2 , а любой минор третьего попорядка, отличный от нуля:0 -1рядка равен нулю.23112483Лекция № 6.Системы линейных уравнений6.1 Матричная запись системы уравненийОпределение 1.
Линейной системой m уравнений с n неизвестными называется система видаì a11 x1 + a12 x 2 + ... + a n1 x n = h1ïa x + a x + ... + a x = hï 21 122 22n n2,(6.1)í........................................ïïî a m1 x1 + a m 2 + ... + a mn x n = hmгде aij , hi (i = 1, m; j = 1, n ) – числа. Заметим, что hi – свободный член ві-м уравнении, а aij – коэффициент при неизвестном x j в і-м уравнении.Определение 2. Матрица А, составленная из коэффициентов принеизвестных xi системы (6.1), называется матрицей системы.é a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2 n ú21ú.A=êê .... úêúë a m1 a m 2 ... amn ûé a11 a12êaa2МатрицаA = ê 21ê ..êaam2ë m1матрицей системы....
a1n... a2 n..... amnh1 ùh2 ú называется расширеннойú. úúhm ûé x1 ùОбозначим матрицу-столбец из неизвестных X = ê M ú , а столбецê úêë x n úûé h1 ùê úиз свободных членов H = ê M ú .êëhm úû49Тогда система (6.1) может быть записана в матричной форме:AX = H .6.2 Решение системыОпределение 3. Упорядоченный набор чисел c1 , c2 ,..., cn называется решением системы (6.1), если каждое из уравнений (6.1) обращается в верное равенство после подстановки вместо x1 , x2 ,..., xn соответственно чисел c1, c2 ,..., cn .Определение 4. Если существует хотя бы одно решение системы(6.1), то она называется совместной, в противном случае – несовместной.Определение 5. Совместная система, имеющая одно (единственное) решение, называется определенной.
Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.Решить систему – это значит выяснить, совместна она или нет, и вслучае совместности найти все ее решения. Например,ì x = 0 – несовместная система.íîx =15ìx =ïï 1 2 имеет единственное решение, знаÛíî x1 + 2 x2 = 4ï x2 = 3ïî4Система íì2 x1 = 5чит, она совместная и определенная.Система, состоящая из одного уравнения x1 + 2 x2 + 5x3 = 8 , является совместной, но неопределенной. Положив x1 = c1 , x2 = c2 , где c1 и8 - c1 - 2c2 .
Множество решеc2 – произвольные числа, находим x3 =5нийданнойсистемыбесконечно8 c1 2 öìæüíç c1; c2 ; - - c2 ÷ "c1 , c2 Î R ý .5 5 5 øîèþиимеетвидx 2 0 – несовместная система.Система ì x1 + 2=íx2 3î x1 + 2=Определение 6. Две системы называются эквивалентными, есликаждое решение одной системы является решением другой и наоборот.506.3 Метод ГауссаПусть дана система m уравнений с n неизвестными (6.1). Средикоэффициентов aij есть хотя бы один, отличный от нуля. Без ограничения общности мы можем считать, что это a11 , потому что в иномслучае можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.Исключаем неизвестное x1 из всех уравнений, кроме первого.Для этого умножим i-е уравнение на-a11ai1и прибавим к нему первоеуравнение. Если же ai1 = 0 , то i-е уравнение не содержит x1 .В результате получим систему видаa11 x1 + a12 x2 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
