pronikov_a_s_1994_t_1 (830969), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Применяют методы Рунге — Кутта и более высокого порядка точности. Из них наиболее широкое распространение получил метод четвертого порядка точности 1формула интегрирования включает четыре члена уравнения (5.13)~. у„+! —— = уп+ (Ь/6)1К!+ 2К2+ 2Кз+ К4)1, где К!=И1., у'.); К2=Е.+Ь/2, у.+(Ь/2)К!1; Кз = Д~л+ Ь/2ь уа+ (Ь/2)К2$ К4 =Д(ха+ Ь, уп+ +ЬКЗ)- В методах Рунге — Кутта не .
используется информация:о предыдущих точках, что является их недостатком. Группа методов, в которых каждая последующая точка вычисляется на основе данных по крайней мере о двух предыдущих точках, получила название методов прогноза и коррекции Я; Модели расчета температурных деформаций и тепловых полей станочных деталей и узлов (см. гл.
?) описываются уравнениями в частных производных. Например, уравнение теплопроводности для распределения температуры Т по длине шпинделя имеет вид = Ф~) дТ дх х= О Здесь х — текущая координата; ср(~), ф(1) и 6(т) — заданные функции времени, т~=4а/(М), где а — коэффициент теплоотдачи; Х вЂ” теплопроводность; и — диаметр теплового цилиндра шпинделя; 1 — длина шпинделя.
Решение дифференциальных уравнений в частных производных проводится разностными методами и методом конечных элементов. Наиболее широко используемым разностным методом является метод сеток. Метод сеток расчета температурного поли шпинделя по уравнению (5.16) заключается в построении сетки с шагом Ь по оси шпинделя х и с шагом Л по времени 1 (рис. 5.13, а). Частная производная для (~, Ц-го узла сетки, записанная через центральную разность второго порядка, Т!+!,к 2Т.,ь + Т.— !,а дх Ь~ Производная температуры по времени заменяется конечной разностью первого порядка: д Т! й Т1,!!+1 ю,!! д~ Л (5.17) Таким образом, уравнение (5.16) заменяется разностным уравнением Т+„— 2Т,+ Т, „ Обозначим.
у! = Л/(аЬ~); у~ = 2Л вЂ”.аЬ~/Л+ +Ь'т'. Тогда:. Т,,+, =7,(Т,+,,)+ Т...— ~,Т,,,). (5. 18) Для уравнения (5.16), заданного в форме Коши, т. е, только с начальным условием Т(х, О)=фх) при 1~ О, х =-О, получим Т;о= =.с1(й)=гр;, ~=О, 1, 2, ..., и. Структурная схема процесса решения по уравнению (5.18) с начальными условиями тр(х)-показана на рис. 5.13, б. На схеме принято, что у=7!7~ и обозначены шаги (1, 2, 3, ..., 7) решения уравнения (5.16) с начальными ус- ловиями Т(х, 0). В скобках указаны результаты решения на каждом (ю, А) -и шаге: ~Т;, !!-» . При обходе сетки последовательно находится температура в точках, симметричных точках с известной температурой относительно главной диагонали пространства сетки. Так, 1 Ъ 7~Р ТхО ТЬР ТФо Т цо Ти,о ! ! а) б) <т„> Рис. 5.13.
Сетка узлов Га) и структурная схема (б) решения уравнения теплопроводности первый шаг делают в узел с температурой Тш, симметричный узлу Т1о с известной температурой. Далее определяют температуру узла по диагонали Т„, Затем находят температуру узла, симметричного узлу с температурой Тт, и т. д. Задача будет решена, как только будут найдены температуры во всех узлах сетки. По направлениям, параллельным осям ординат, можно определить закон изменения температур во времени (с шагом Л) в дискретных точках .по оси шпинделя. В направлениях, параллельных осям обсцисс, получим температуры в дискретных точках по оси шпинделя (с шагом Й) при постоянном времени.
Рис. 5.14. Аппроксимация температурного поля бру- са конечными элементами: а — отрезками прямых; б — треугольными элемен- тами Метод конечных элементов (МКЭ) основан на аппроксимации непрерывного решения кусочно-непрерывными функциями. Эти функции представляют собой полиномы, описывающие решение на некотором элементе, который называется конечным. В зависимости от вида полинома для заданного координатного пространства различают симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Симплекс-элемент описывается линейной комбинацией переменных, обозначающих координатные оси.
Число узлов в конечных элементах, которые описываются этими полиномами, равно размерности пространства плюс единица. Пол и номы комплекс-элементов содержат члены, являющиеся нелинейными зависимостями от переменных, и число узлов в этих элементах для одного и того же координатного пространства больше, чем в симплексзлементах. Полиномы мультиплекс-элементов содержат также нелинейные зависимости. Кроме того, границы этих элементов параллельны координатным осям.
Примерами ' мультиплекс-элементов являются прямоугольник для двухмерного координатного пространства и параллелепипед для трехмерного координатного пространства. Построим .для тепловой модели бруса поли- номы симплекс-элементов. Так, для одномерной модели бруса, как наиболее общего элемента корпусных деталей станков (рис. 5.14, а), получим полином, описывающий отрезок прямой (линейно-кусочная аппроксимации): Т; = ап+ + И2Ф. На каждом ~-м участке бруса температура Т; будет меняться по линейному закону. Для двухмерной тепловой модели бруса (рис. 5.14, б) аппроксимация выполняется с помощью треугольных элементов, которые также описываются полиномом первой степени Т; = ап+ + И2гх+ Язф. Аппроксимирующий многочлен трехмерной модели предполагает разбиение рассчитывае- мого трехмерного объекта на тетраэдры: Т;= = а~ 11+ а2гх + аз!9 + а4!е.
Коэффициенты ап, а21, азь а4; находятся по значениям температуры в каждом узле и по значениям координат узлов. Например, для задачи расчета температурного поля сечения бруса (температура по высоте бруса не меняется) коэффициенты двухмерной тепловой модели (рис. 5.14, б) находятся из 'системы трех уравнений: Т14 = а1 + а2Х14+ а3914, Т24 = а1+ а2х24+ аз924,' (5.19) Тз4 = а1+ а2хз4+ азУз4. Решение системы уравнений (5.19) следующее: а! =(1/А0$(Т14х24 Т24х24)934 (Т14х34 — Т24Х14)Ц24 + ( Т24ХЗ4 — ТЪ4Х24)934 а2 = (1/Ао)~ Т24934 — Тз4924 — Т! 4Цз 4+ У! 4 Тз4+ + Т14924 — Т24Ц141 1 аз = (1/АО)~х24Т34 — х34 Т24 — х14 Т34+ хз1Т! 4+ + Х14 Т24 — Х24 Т1411 Ао — х24934 У24хз4 — х14934+914х34+х14924 9! 4Х24.
д Т 2 — т'Т =В. дх 01 дТ дх дТ дх = вО; (5.2в) х=! х= О 'фО = Д1/(Р1Х); ВО = Д2/(Р!л) . Решение уравнения (5.20) сводится к решению системы уравнений относительно Т;, определяющих необходимые условия экстремума некоторого функционала Ф(Ь;=х; — х; 1): дФ т Ь! 1 — ' + — (т — т) — ~,= о; дТ 3 Ь, дФ т Ь! 1 — + — (т — то) + дТ, 3 Ь, 2 Ь 3 + ь (т' ~') дФ тЬ 1 2Ь 3 + Ь (' '+) — К Составим алгоритм расчета температурного поля шпинделя по стационарной, одномерной модели (рис.
5.14, а). В этом случае уравнение теплопроводности шпинделя (5.16) примет вид дФ тЬл 1 1 дт„, 3 + ь (т.— т -2) + — (т- — т) — ~ 2Ь Статистическое моделирование. При моделировании процессов, параметры которых меняются случайно, используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), Вероятностными характеристиками описывается большое число задач расчета надежности, производительности и точности станков, а также станочных систем 113). Как и анализ чувствительности [3], статистические испытания входят в процедуру многовариантного анализа (см. рис. 5.6). Планирование и обработку результатов статистического моделирования выполняют с помощью тех же методов математической статистики, что и в случае физического эксперимента. Так, число шагов п, необходимых для расчета с помощью метода статистических испытаний заданной характеристики с вероятностью Р и точностью Л, определяют по формуле п= =11~(1 — Р)/1~(1 — Л) .
Суть метода статистических испытаний заключается в задании параметров аналитических моделей в соответствии с их вероятностными законами распределения. В результате таких испытаний получают статистические характеристики выходного параметра математической модели. Таким образом, естественная вероятностная природа параметров физического объекта заменяется искусственным (программным) представлением случайных па раметров машинной модели. Схема метода статистических испытаний включает: генератор случайных чисел х~, распределенных по равномерному закону, формулу пересчета последовательности чисел х~ в последовательность чисел х„ = Р(х,), характеризующихся законом распределения моделируемого параметра физического объекта и математическую модель объекта проектирования. В качестве генератора х~ можно использовать таблицу случайных чисел или датчик случайных чисел, который представляет собой программу, реализующую соответствующий алгоритм вычисления х~.
Такие программы вырабатывают псевдослучайные числа. Например, датчиком случайных чисел х; может служить следующий алгоритм: Хю' — 11Зх! — 1, х1=х'; — !п1х,'; ~=1,, п. Здесь юг=ам+-3, где М вЂ” целое число; 1п1х,'— целая часть числа х,'; хо — должно быть задано нечетным, его выбирают из таблицы случайных чисел х~.
Случайное число х~, которое вычисляется по рассмотренному выражению, находится в диапазоне 0...1. Если нужно перейти к случайной величине х, равномерно распределенной на отрезке (а, Ь), необходимо использовать следувшую формулу: х= а+(Ь вЂ” а)х Случайная величина х~ будет распределена по нормальному закону, если (и.-~б): где х; — число, распределенное по равномерному закону. Случайная величина х~ получается нормированной: х У(О, 1), поэтому вычислять х- Ж(р, а) необходимо по формуле х=-и+ох, .
Для случайной величины х„распределенной по экспоненциальному закону, формулаг(х ) имеет вид х, =( — 1/Х)1пх,, где Х— интенсивность потока (для задач надежности станочного оборудования Х вЂ” интенсивность отказов). Закон распределения Пуассона определяет вероятность того, что случайная величина х~ принимает значение и: а" Р = Р~~х = и) = — е ', и1 и = 0,1,2,3, Реализация случа йных чисел х осуществляется в двух вариантах. Наиболее распространен вариант, используюший предельную теорему Пуассона. В этом случае сначала выбирают значение и(Р„~О, 1, ..., О, 2): и=а/Р„, Затем случайную величину х~ сравнивают с Р„.
Если х~ -.Р„, то значение хр увеличивают на единицу. При х~ ) Р„хр остается неизменной. После проведения испытаний полученное значение хр используется в качестве числа, распределенного по закону Пуассона. При имитационном моделировании станочных систем с учетом надежности инструмента используется распределение Вейбулла 18~: Р(х) = 1 — ехр хо Г 1+— 1 где Г 1 + — — гамма-функция; х — мате- матическое ожидание параметра х. Формула для вычисления случайной величины х„распре- деленной по закону Вейбулла, имеет вид т хр = — 1п хр. Г 1+— Методами математического моделирования решаются задачи анализа качества и эффективности при автоматизированном проектировании станков и станочных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
