pronikov_a_s_1994_t_1 (830969), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При расчете точности металлорежущих станков широко используют системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений 13, 161. Методы решения линейных систем уравнения делят на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют за конечное число операций получить точное решение. Итерационные методы предполагают получение решения с заданной точностью за несколько циклов.
Итерационные методы эффективно использовать для систем большого порядка с разреженными матрицами. Метод Гаусса. Одним из прямых методов является метод исключения Гаусса, который достаточно просто реализуется на ЭВМ. Метод заключается в приведении матрицы системы уравнений к треугольному виду. Затем система уравнений решается в обратной последовательности.
Приведение к треугольному виду осуществляют с помощью эквивалентных преобразований, сложением строк матрицы, умноженных на соответствующие коэффициенты. Точность вычисления неизвестных переменных методов Гаусса увеличивается выбором главного элемента (т. е. наибольшего в таблице) и перестановкой его на главную диагональ (за счет перестановок строк). Ниже рассмотрены численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Алгебраическое, или трансцендентное, уравнение имеет вид ~(х) =О, (5.10) где ~(х) — непрерывная функция.
В результате решения определяют корни ' этого уравнения. Как правило, в конструкторских задачах имеют смысл только действительные корни, т. е. точки, где функция ~(х) пересекает ось абсцисс. Задача поиска корней уравнения (5.10) включает несколько этапов. Сначала определяют число корней и отрезки, где они расположены. Затем находят приближенные значения корней и производят их уточнение.
Число действительных корней можно определить с помощью теоремы Штурма. Обычно строят график функции Дх), с помощью которого можно найти области расположения корней. Исходя из конструктивных ограничений, почти всегда удается существенно сузить область поиска корней. Приближенные значения корней уточняют с помощью итерационных методов. Наиболее эффективными из них, с учетом реализации на ЭВМ, являются методы дихотомии, простой итерации и метод Ньютона (рис. 5.11). Для использования этих методов решению. С другой стороны, он а беолютно устойчив и прост в реализации на ЭВМ.
Метод простой итерации. На основе метода простой итерации (рис. 5.!1, б) ищут решение уравнения (5,10) в виде координаты точки пересечения линейной функции у1(х)=х и вспомогательной функции у2(х): у2(х)=((х)+х. В данном случае д2(х) получают добавлением х к левой и правой частям уравнения (5.10): х+~(х)=х или д2(х)=у1(х). Итерацию строят на основе нулевого приближения (на рис. 5.11, б хо —— а). Тогда х1 = у2(хо); Х2 — У2(Х1); Рис. 5.11. Геометрическое представление методов дихотомии 1'а), простой итерации (б) и Ньютона 1в) необходимо знать интервал (а, Ь), на котором находится интересующий нас корень.
Метод дихотомии, или половинного деления (рис. 5.11, а), обеспечивает поиск значения корня х* с помощью последовательного деления пополам интервала неопределенности !интервал (а;, Ь;), содержащий корень1 . После этого полуинтервал, не содержащий корень, исключают, а оставшийся полуинтервал снова делят пополам, и так до тех пор, пока длина последнего полуинтервала не будет меньше погрешности вычисления корня. Критерием выбора полуинтервала является перемена знака функции ~(х) на его концах. Метод половинного деления не применим для систем алгебраических уравнений, имеет наименьшую скорость сходимости к точному Хл — У2(Хп — 1 ) ° Таким образом получают в результате первой итерации значение х1, подставив его в функцию у2(х), в результате второй итерации получают приближенное значение корня в виде х2 и т.
д. На рис. 5.11, б видно, как после очередной итерации уточняют значение корня по отношению к его точному значению х*. Метод алгоритмически устойчив, если на отрезке (хо, х1), ~у2(х)~ (1. Чем меньше у2(х), тем быстрее итерации сходятся к х*. Метод простой итерации можно использовать и для системы алгебраических уравнений. Основным недостатком метода является необходимость выбора вида функции д2(х) из условия сходи- мости метода. В данном примере функция у2(х) формируется за счет добавления к исходному уравнению линейной функции. Метод Ньютона, или метод касательных, использует следующую итерационную формулу: х„= х„1 — Дх„1)Д'(х„1). (5.11) Например, для первой итерации при хо=а х1 = хо — Кхо)/1'(хо) . Геометрическую интерпретацию для первой итерации можно получить, пользуясь рис. 5.11, в.
Для треугольника Ахох1 величина х1 — хо равна высоте треугольника ~(хо), деленной на !эссо. ТогДа х1= хо — Яхо)/!~сто, гДе !био = ~'(хо) ~0. Сходимость по методу Ньютона при ~(хо)Х Х~"(хо)~ О, ~'(хо)ФО, иначе она наблюдается лишь в некоторой малой окрестности корня. При реализации на ЭВМ часто используют модифицированный метод Ньютона, при котором производная в знаменателе вычисляется всего один раз, тогда формула (5.11) примет вид Х, = Х„1 — ~(Х 1)/1'(Хо) .
Метод Ньютона, так же как и метод простой итерации, применяют для решения системы алгебраических уравнений. Примером использования методов решения алгебраических уравне- ний может служить определение реакций опор при расчете многопролетных балок с учетом нелинейной жесткости опор 1131. Моделирование динамических процессов в станках.
Целью анализа (моделирования) процессов динамики станочных узлов является оценка их устойчивости и качества. Для оценки параметров устойчивости и качества по временным характеристикам решают уравнения, описывающие процессы динамики узлов. Для иллюстрации алгоритмов численных методов решения дифференциальнь1х уравнений используем обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени в форме Коши: у'=1(~ у), (5.12) где 1 — время. Решение уравнения (5.12) раскладывается на и-м отрезке интегрирования (1„, 1 +1) в ряд Тейлора по степеням Ь (шаг интегрирования, Ь= ~п+1 ~п)- дп„= Уп+ Ьдп+ — Ь'Уп+ 1 2 П ГдЕ д,+1=у~1,+Ь).
уп=у(1 ); у"=у"(1 ). Метод Эйлера. Если в разложении используется только первая производная, то получаем алгоритм расчета интегральной кривой по методу Эйлера: у„+1=у +Ьу',. Суть этого метода заключается в том, что интервал интегрирования дифференциального уравнения разбивают на Ь равных участков. На каждом таком участке интегральную кривую (решение) заменяют отрезком, параллельнь1м касательной, которая построена в начале участка интегрирования .(рис. 5.12,'и); где через у(1) обозначейо точное решение дифференциального уравнения.
.Так как тангенс . угла наклона соответствующей касательной. равен производной, то на и-м участке у'(Ф )=.1ди„=ф, у ). Рассмотрим .преобразования уравнения (5.6) для решения методом Эйлера. Приведем его к канонической форме (форме Коши) с по- мощью новой переменной — = ~(1/т) Р (1)) — (~/т) г — (у/т) у = "г ~й = ~(Р(1), г,у). Перейдем в данной системе уравнений от дифференциалов к приращениям, тогда полу- чим на и-м шаге выражения для приращений по переменным, через их значения на предыду- щем шаге (И=Ь): Луп=Ьгп 1, Лг =Ц(Р(~, 1), г 1, д, 1).
Длина отрезка интегральной кривой на и-м шаге рассчитывается с учетом значений переменных в конце предыдущего шага интег- рнрОВаиня: у(оп+1) =уп+1 =д„+ Лу„; г(оп+1) = = гп+ 1 = гп+ Лгп. Модифицированный и исправленный методы Эйлера. Формула (5.13), в которой, кроме первой, используется вторая производная у„", имеет следующий вид: д„+1 — — д +Ь1р~(х„, уп)+ +аДх„+уЬ, у +оЬ)1, где р, и, у, о — коэффи- циенты. Из условия максимальной точности воспро- изведения решения можно получить следую- щие соотношения: а+ р= 1; Та = 1/2; и6= =(1/2)1(1„, Уп).
Задаваясь значением одного из параметров, например я, получим несколько формул чис- ленного интегрирования. Так, при а = 1 и 1л — фп1 уп) уп+1 =уп+(Ь/2)9. +(1/2)Ь; (5 14) у.+(1/2)ЬК~" у И При. а='/р у.+1=у.+(Ь/ТУЫ. д.)+К~-+Ь ул+Ч.И- (5.15) Рис. 5Л2. Геометрическое представление фермул интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений д Т дТ вЂ” — т'Т= й —; дх~ д~ * Т(х,О) = !р(Е); (5.16) Метод интегрирования дифференциальных уравнений по формуле (5.14) называют модифицированным методом Эйлера, метод, использующий формулу (5.15),— исправленным методом Эйлера.
Процедура модифицированного метода Эйлера (рис. 5.12, б) строится на основе вычисления касательной и интегральной кривой в средней точке отрезка интегрирования. Значение у„+! получается на конце отрезка прямой, параллельной этой касательной и проведенной через точку с координатами 1„, у„.
Тангенс угла наклона касательной равняется производной в точке с координатами ~1,+ +('/~)Ь„у +('/~)Щ. Для исправленного метода Эйлера (рис. 5.12, в) точка у,+! лежит на биссектрисе угла, образованного касательными к интегральной кривой в начале и конце отрезка интегрирования. Методы Рунге — Кутта. Группа методов, формулы численного интегрирования для которых формируются на основе уравнения (5.13), получила название методов Рунге — Кутта, Максимальная степень производной Й, используемая в формуле интегрировании, определяет и погрешность решения дифференциального уравнения, которая является некоторой малой величиной от Ь'. Таким образом число Ь называют порядком точности соответствующего метода Рунге — Кутта. Метод Эйлера является методом Рунге — Кутта первого порядка точности, модифицированный и исправленный методы Эйлера являются методами Рунге— Кутта второго порядка точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
