1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Используя результат предыдущей задачи, магнитный момент тонкого шаровогослоя радиуса R толщины dR выразится так:dm =ωR2dQ ,3cгде dQ – заряд шарового слоя. Так какdQ =Q3QR2 dR2·4πRdR=,4πa3 /3a3то магнитный момент шара будет равенQωm= 3caZaR4 dR =0Qa2ω.5c1. Магнитостатика71.4. (Задача√ 4.24) Найти магнитное поле полубесконечного соленоида на расстоянии r от еготорца (r À S) под углом θ к его оси.
Ток в соленоиде – J, число витков на единицу длины –n, сечение – S.Решение Поле от каждого витка соленоидаBm =3r (mr) m− 3r5rm=πa2Jnzcρ–проекция Bm от ndzвитков.dBρ = Bm,ρ ndz3msin θ cos θr3ρ1cos θ = =rrBm,ρ =Подставляя в это выражениеcos θ =p1ρ(b ctg θ0 − z) , sin θ = , R = ρ2 + (b ctg θ0 − z)2RRи интегрируя по z dBρ , получаемZ∞Bρ = 3mn³0(b ctg θ0 − z) dzρ2 + (b ctg θ0 − z)2´5/2 = −(ρ2mnρ.+ ctg2 θ0 )3/2b2Вычисляя подобным образом Bz , находим, чтоZ∞Bz = mn³02(b ctg θ0 − z)2 − ρ2mnb ctg θ0.´5/2 dz = − 2(ρ + b2 ctg2 θ0 )3/222ρ + (b ctg θ0 − z)Таким образом,r,(14)r3где r = (ρ2 + b2 ctg2 θ0 )1/2 — расстояние от начала соленоида до точки наблюдения.
Поле (3)является полным аналогом поля точечного магнитного заряда.H = qrm3r , где qm = JnS– магнитный заряд соленоида.cB = −mn81.5. (Задача 4.26) Найти потенциальную функцию двух малых токов, магнитные моменты которых m1 и m2 . Определить силу взаимодействия этих токов и приложенные к ним вращательныемоменты.
Рассмотреть частный случай m1 k m2 .2 r)Решение U = (m1r3m2 ) − 3(m1 r)(m;r5153[m2 (m1 r) + +m1 (m2 r) + r (m1 m2 )] − 7 (m1 r) (m2 r) r,5rrгде r – радиус-вектор от первого тока ко второму.F2 = −F1 =Ni =[m2 × m1 ] 3 [mi × r] (mi+1 · r)+для i = 1, 2 (i + 1 = 2, 1) .r3r5При параллельных диполях (m1 = m1 n, m2 = m2 n, r = rr0 , n, r0 – единичные векторы),3m1 m2 [2n(nr0 )−r0 (5nr0 )2 −1].F2 =r41.6.
(Задача 4.28) Два равномерно заряженных шарика с зарядами q1 , q2 и радиусами a1 , a2вращаются без поступательного движения с угловыми скоростями ω1 , ω2 так, что векторы ω1 , ω2перпендикулярны отрезку `, соединяющему центры шаров (` À a1 , a2 ). Оценить силу взаимодействия шариков.Решение Выберем начало координат в центре шара (1). ОсьZ совпадает снаправлением ω1 , центр второго шара находится на расстоянии ` вω2Z ωплоскости ( X , Y ). Сила взаимодействия шаров складывается из силrкулоновского и магнитного взаимодействий. Она может быть предO2lO1ставлена как сила, действующая на шар 2 со стороны шара 1. Поскольa1ку расстояние между шарами велико по сравнению с их размерами, тоa2(1)(2)силу магнитного взаимодействия можно рассматривать как силу взаимодействия двух магнитных моментов:1Fm = (m2 ∇)H1 ,H1 =3R(R m1 ) m1− 3 ,R5Rгде m1,2 = q1,2 a21,2 ω1,2 /5c; H1 – поле, создаваемое магнитным моментом m1 на большом расстоянии, m2 – магнитный момент шара (2).
Поскольку у m2 есть только составляющая по Z, тоскалярное произведение вектора m2 и вектора ∇ запишется так:(m2 ∇) = m2а сила магнитного взаимодействия∂,∂z¶µ∂ 3R(R m1 ) m1F m = m2− 3 .∂zR5R1. Магнитостатика9Далее, вычисляя производные по z, находи쵶3m1 z 3m1 R 15z 2 m1 R∂ 3R(R m1 )=+−.∂zR5R5R5R7µ¶3m1 z∂ m1=− 5 .3∂z RRПодставляя в найденные выражения z = 0 , R = `, окончательно получаемFm =3m1 m2 `.`5Таким образом, при ` À a1 , a2 полная сила взаимодействияF=3 q1 q2q1 q2 ``ω1 ω2 5 + 3 .225 c``Силу магнитного взаимодействия можно представить и так:Ã!¯¯¯¯3(Rm)(Rm)(mm)¯2121Fm = grad(m2 H1 )¯¯= grad−¯53¯RRR=`R=`Ã= − grad(m2 m1 )R3!¯¯¯¯¯R=`=3m1 m2 `.`5=1. Магнитостатика1.1МагнитостатикаУрок 20Магнитное поле в среде Закон Био–Савара в среде:dB =µ J [dl × r]µ [j × r] dVµ [v × r]==dq.33crcrcr3Сила Ампера в среде:J [dl × B][j × B] dV[v × B] dq==.cccВектор намагниченности M – средний магнитный момент единицы объемаdF =dm = MdV, jмол = c rot M;B = H + 4πM.Дифференциальные уравнения Максвела в среде:4πdiv B = 0, rot H =j, где H = B − 4πM.cВ интегральной форме:ZZIZZ4π° Bn dS = 0,Hl dl =jn dS.cГраничные условия:4π[Iпов × n21 ] .cМагнитная проницаемость µ = 1 – вакуум, µ & 1 – парамагнетик, µ .
1 – диамагнетик, µ = 0– сверхпроводник (эффект Мейснера), µ À 1R– ферромагнетик.µH 2dV , сила давления магнитного поляЭнергия магнитного поля W=8πRR µH 2Fn = pdS =dS.8πПравила Кирхгофа для потока магнитного поля:XXXΦk = 0,EM =Φ k Jk ,B1n | = B2n |, H1τ | − H2τ | =гдеEM =1.1.(Задача5.1)Впространстве,4πJN.cзаполненноммагнетикомспроницаемостью2µ1 , расположен бесконечный прямолинейный проводник с током J вдоль осиZ.
Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус a ) заменяет соответствующую часть линейного проводника. Внутри сферы – магнетик с проницаемостью µ2 . Найти B и H всюду.Решение В силу осевой симметрии силовые линии магнитного поля имеют только α-тую составляющую т.е.Hz = Hr = 0.Записывая теорему Стокса с использованием интеграла по силовой линии вне сферы и проводникамы получимI4πHd` = Hα 2πr =I,cоткуда2JHα =, Bα = µ1 Hα .crВнутри сферыH = 0, B = 0.Легко показать, что на сфере выполняются все граничные условия - непрерывность нормальнойсоставляющей B (она равна нулю с обеих сторон поверхности), и граничное условие для Hτ .
Покажите это сами.1.2.(Задача 5.2) Цилиндрический проводник радиуса a проходит перпендикулярно через плоскую границу раздела двух магнетиков с проницаемостями µ1 иµ2 . По проводнику идет постоянный ток J. Найти распределение полей H и B вовсем пространстве.Решение Так же как и в предыдущей задаче система осесимметрична, поэтому Hr = Hz =Br = Bz = 0 всюду. Отлична от нуля только α-тая составляющая H и B.
Предположим также,что ток распределен равномерно по сечению проводника. Тогда, используя теорему Стокса, мыможем записать внутри проводника r ≤ aI4π Jπr2Hd` = Hα 2πr =,c πa2откуда2JrHα = Bα = 2 , при r ≤ a.caСнаружи при r > aHα =2J2µ1 J2µ2 Jи Bα =для z > 0 и Bα =для z < 0.crcrcr1. Магнитостатика31.3. (Задача 5.3) Прямой провод с постоянным током J проходит по оси симметрии толстой трубы с радиусами a, b (a < b). Одна половина трубы имеетмагнитную проницаемость µ1 , вторая – µ2 . Найти B во всем пространстве.Решение Задача решается аналогично предыдущим. Br = Bz = 0 всюду, (Bα )i = µi 2Jдляcri = 1, 2 при a ≤ r ≤ b; Bα = 2Jвостальномпространстве.cr1.4. (Задача 5.4) Ток J течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью Z. Отоси расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла α1 , α2 , α3 ,(α1 + α2 + α3 = 2π).
Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным магнетикомс магнитными проницаемостями соответственно µ1 , µ2 , µ3 . Определить магнитное поле во всемпространстве.Решение Предположим, что по прежнему имеется только α-ая составляющая векторов B иH. Используя теорему Стокса для окружности с центром на проводе, получим (подразумеваяHi = Hα,iXX4πHi rαi =J =rHi αi .ciiУмножая и деля каждый член под суммой на µi , получимXX µi4πJ=Hi αi =Hi αi ,crµiiiиспользуя определение Bi = µi Hi и непрерывность нормальных компонент (т.е. Bα ) на каждойиз границ, выражение перепишется в видеB1 = B2 = B3 = Bα =2π2J.cr (α1 /µ1 + α2 /µ2 + α3 /µ3 )Hα,i = Bα /µi , i = 1, 2, 3.1.5. (Задача 5.5) Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если поле в среде (µ) можносчитать однородным.Решение Предположим, что поле в среде вдали от щели направлено под углом θ к нормали кщели и обозначим индексом 0 поле в щели, а индексом 1 поле в среде.
Тогда из граничных условийможно написатьH0n =Bn1 = B cos θBB1τ= sin θ.H0τ =H1τ =µµ4Это можно записать в векторном видеH0 = n (Bn) +1n × [B × n] ,µили используя известное соотношение для двойного векторного произведения, можно это выражение переписать в вид嶵11(Bn) n.H= B+ 1−µµ1.6. (Задача 5.7) В однородное магнитное поле H0 вносится шар радиуса a с магнитной проницаемостью µ1 . Определить результирующее поде, индуцированный магнитный момент шара mи плотность токов jмол , эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности.
Магнитная проницаемость окружающей среды µ2 .Решение В области, в которой нет токов, магнитное поле определяется системой уравненийrot H = 0; div B = 0;С граничными условиями на границе раздела сред (на границе шар-окружающая среда)H1τ = H2τ ; B1n = B2n .Поскольку rot H = 0, то можно ввести скалярную функцию ψ такую, что H = −∇ψ. Еслизаписать уравнения и граничные условия через потенциал, то мы получим в точности такую жематематическую задачу, как и задачу о электростатическом поле при наличии границы разделадвух диэлектриков (задача 2.8а). Тогда, выполнив заменуε1,2 → µ1,2 , E → H, B → Dможно записать решение для магнитного поля, используя ранее полученное решение для электростатического поля3µ2 H0,µ1 + 2µ2m 3 (mr) r,H2 =H0 − 3 +rr5µ1 − µ2m=H0 a3 .µ1 + 2µ2H1 =Поскольку поле внутри шара однородное, то намагниченностьM=m,4/3πa31. Магнитостатика5плотность объемных токовjмол = c rot M = 0,а плотность поверхностных токовiмол = c [n × (M2 − M1 )] , iα =.3 µ1 − µ2cH0 sin θ4π µ1 + 2µ21.
Магнитостатика1.1МагнитостатикаУрок 21Граничные условия. Метод изображений1.1. (Задача 5.9) Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное магнитное поле H0 . Найти результирующее магнитное поле. Магнитная проницаемость сферы µ1 , окружающей среды µ2 .Решение Пусть M0 – вектор намагниченности.
Уравнения, описывающие распределениемагнитного поля намагниченного шара в однородном магнитном поле, имеют вид rot H = 0,div B = 0, из которых следуют граничные условия H1τ | = H2τ |; B1n | = B2n | (непрерывность тангенциальной составляющей напряженности магнитнго поля и непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции). Решением первого уравнения является функцияH = − grad ψ. Подставляя это решение во второе уравнение, получаем уравнение Лапласа дляскалярного потенциала ∇2 ψ = 0. Таким образом, задача о магнитном шаре в магнитном полеаналогична задаче о диэлектрическом шаре в электрическом поле (см. 2.8a). Потенциал внутришара будем искать в видеψ1 = −c1 (H0 R) + b1 (M0 R)приR ≤ a.Наличие второго слагаемого учитывает тот факт, что при снятии поля H0 в шаре остается поле,порождаемое собственной намагниченностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
