1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Взаимодействие токов с полем1.4. (Задача 5.28) Зазор магнитопровода (µ À 1) окружен плоской шиной, по1. Квазистационарные явления3которой течет ток J. Найти давления (по величине и направлению) наповерхности шины и железа (высота зазора много меньше его ширины).Решение Давление внутри области, окруженной шиной (в зазоре) равноH2p=.8πНаправление силы определяется тем, что если ток течет по шине справа от нас, а слева на нас,то магнитное поле направлено вверх. Поскольку сила Ампера пропорциональна I × H, то ясно,что она будет действовать наружу – раздвигать шину. По величине давление равно плотностимагнитной энергии, т.е.H2p=.8πp=(µ−1)H 2.8π1.5.
(Задача 5.29) По кольцу радиуса R = 0, 1 м идет ток J = 1 А. Кольцо находится в полеH = 100 Э, которое перпендикулярно плоскости кольца. Найти натяжение кольца в граммах.Решение Сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током определяетсязаконом Ампера и, поскольку,vecH ⊥ J,1F = JH,cи вектор силы направлен по радиусу наружу. Работа по увеличению радиуса под действием этойсилыZ2πJHJHδA = rdϕδr = 2πrδr.cc0Работа по растяжению окружности на длину 2πδr (увеличение радиуса на δr) равнаδA = 2πrJHδr = 2πT δr.cТаким образомT =JHR= 0, 1г.c41.6.
(Задача 5.30) Бесконечный прямолинейный ток J1 и круговой ток J2 радиуса a лежат водной плоскости. Расстояние от центра кругового тока до прямолинейного равно b (b > a). Найтисилу, действующую на круговойток. ´³4πJ1 J21 − √b2b−a2 .Решение F = c1.7. По бесконечному сплошному цилиндрическому проводнику радиуса R идет ток J. Найтидавление на оси проводника.2Решение p = 2πcJ2 R2 .1. Квазистационарные явления11.
Квазистационарные явленияУрок 25Сохранение магнитного потока1.1. (Задача 6.23) Внутри сверхпроводящего бесконечного цилиндра с сечениемS1 расположены аксиально симметрично бесконечный соленоидс сечением S2 и вокруг него одиночный измерительный виток сплощадью S3 . В соленоиде создается магнитное поле H. Найтиизменение магнитного потока через контур витка.Решение В момент времени t = 0 магнитный поток Φ = 0. После включениямагнитного поля H в соленоиде по сверхпроводящему внешнему цилиндру потечеттакой ток, который обеспечит равенство нулю полного потока через сверхпроводящийцилиндр. Этот ток создаст внутри цилиндра дополнительное поле H1 . Из условияравенства нулю полного тока имеемHS2 − H1 (S1 − S2 ) = 0,откудаS2.S1 − S2Изменение потока через виток с площадью S3H1 = H∆Φ3 = H1 · (S1 − S3 )откуда∆Φ3 =S2 · (S1 − S3 )H.S1 − S21.2. (Задача 6.24) Две параллельные шины замкнуты на нижнем конце неподвижнойперемычкой с размерами a × b, а сверху – «поршнем» веса P иb aразмерами a × b.
Все материалы сверхпроводящие, поле междуh шинами H0 . Трением пренебречь. Найти зависимость h(t), считая поле внутри контура однородным (h À a, b) и пренебрегаяобратным полем.Решение Поток через прямоугольное сечение h × a сохраняется, поэтомуΦ0 = h0 aH0 = Φ = haH,откуда получаем в любой момент времениH=H0 h 0.h2Давление со стороны замкнутого пространства (вверх)p=H2H 2 h2= 0 20 .8π8πhТогда уравнение движения поршня весом Pmḧ = −P +H2H 2 h2ab = −P + 20 0 ab8πh 8πили, учитывая, что P = mg и вводя обозначение A =ḧ = −g +H02 h208πm ab,получаемA.h2Введя переменную F (h) = ḣ, получим уравнениеFdFA= −g + 2 .dhhdF 2A= −gdh + 2 dh,2hоткудаF 2 = −2gh − 2A+ C1 .hПри h = h0 (в начальный момент времени) F = 0, откуда получаемC1 = 2gh0 + 2A.h0Уравнение F (h) = 0 имеет еще одно решение, т.е.µ2F = 0 = 2g(h0 − h) − 2A11−h h0¶,откудаh1 =AH 2 ab= h0 0 .gh08πmgH 2 ab0таким образом поршень будет осуществлять колебания между h0 и h0 8πmg.1.
Квазистационарные явления31.3. (Задача 6.25) Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором течет ток J, вдвигается полностью в однородное магнитное поле H0 . Найти токJ 0 , который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца– S. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением H0 угол θ.Решение Поток через кольцо в начальный момент времени равенΦ0 =LJ.cДополнительный поток, который появился в связи с появлением внешнего поля∆Φ = H0 cos θ · S.Поскольку поток через сверхпроводящее кольцо не должен изменяться, в кольце пойдет другой ток J 0LJLJ 0Φ0 ==+ H0 cos θ · S,ccоткудаLJ 0LJH0 S cos θ · c=−ccLилиcH0 SJ0 = J −cos θ.L1.4.
(Задача 6.26) Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольцаравен Φ0 ). Затем температура понижается и кольцо переводится в сверхпроводящеесостояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внешнее магнитноеполе?РешениеLIΦ0 =cI=cΦ0.L1.5.
(Задача 6.27) В постоянном однородном магнитном поле с индукцией Bнаходится круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения сверхпроводящеекольцо радиуса R. В начальный момент плоскость кольца параллельна направлениюмагнитного поля, а ток в кольце отсутствует. Определить силу тока в кольце сразупосле того, как оно было повернуто так, что плоскость кольца стала перпендикулярнак линиям магнитного поля. Найти затраченную работу.4Решение Если индуктивность кольца L, то изменение магнитного потока от внешнего поля после поворота∆Φ = BπR2 .Это изменение компенсируется током I, которое возникнет в кольце∆Φ =LI,cоткудаI=cBπR2.Lработа, которая совершается при этомA=B 2 π 2 R4Φ2=.2L2L1.6. (Задача 6.29) Сверхпроводящий короткозамкнутый соленоид с током J,имеющий N плотно намотанных витков, длину `, радиус витка a (` À a), растягивают в длину в два раза.
Какую работу нужно при этом затратить?Решение Магнитное поле внутри соленоида в начальный момент времени (по теореме Стокса)4πH0 ` =N I,cа поток через поперечное сечение соленоидаΦ0 = H0 S.После того, как соленоид растянули, поле внутри определяется из соотношения2H1 ` =4πN I1,cа поток не должен измениться - соленоид сверхпроводящий и короткозамкнутый.Φ1 = H1 S = H0 S.Откуда получаем H1 = H0 , I1 = 2I. Работа по растяжению, следовательноA = `S ·H216π 2 N 2 I 22N 2 I 2 π 2 a2= `S 2 2=.8π` c 8π`c21. Квазистационарные явления51.7.
(Задача 6.33) Медный тонкостенный цилиндр массы m и длины ` внесли воднородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткийинтервал времени τ поле быстро увеличили до значения H1 и выключили. Известно,что цилиндр сжался без разрушения («магнитное обжатие»). Считая цилиндр длинным, а его форму после обжатия – цилиндрической, найти поле внутри цилиндрасразу после «обжатия» (H1 = 5 кГс, H0 = 1 кГс, τ = 10−6 с, m/` = 1 г/см.Силами упругой деформации пренебречь).Решение Предположим, что за время t, 0 ≤ t ≤ τ когда поле снаружи стало H1 ,радиус цилиндра не успел измениться. Магнитное поле внутри определяется из закона сохранения магнитного потока через поперечное сечение цилиндра (приближение«сверхпроводимости» тонкого медного цилиндра)Φ = H0 πr02 = H(r)πr2 ,где r– текущий радиус сжимающегося цилиндра. Тогда поле внутри цилиндраH(r) = H0r02.r2Уравнение движения элемента цилиндра длиной rδϕ вдоль радиуса под действиемразности давлений магнитных полей описывается уравнением·¸r4δϕrδϕ`mr̈ = −H12 − H02 04 ,2π8πrили, упрощая, получимr̈ = −·¸r`r4H12 − H02 04 .4mrДомножив обе части уравнения на ṙ, можно привести уравнение к виду·¸d 2`dd 1ṙ = −H12 r2 + H02 r04,dt4mdtdt r2откуда получаем решение·¸4`2 r02 2ṙ = −H1 r + H0 2 + C 1 .4mr2Из начальных условий получимC1 =¤` £ 2 2H1 r0 + H02 r02 .4m6Считая, как указано выше, что цилиндр не сдвинулся с места при t, 0 ≤ t ≤ τ , т.е.ṙ = 0.
Тогда¡¢H12 r4 + H02 r04 − H12 + H02 r02 r2 = 0,откуда, решая квадратное уравнение, получимr = r0H2H0, и H = 1.H1H01. Квазистационарные явления11. Квазистационарные явленияУрок 26Электромагнитная индукция1.1. (Задача 6.35)По катушке сверхпроводящего соленоида течет постоянный токJ. Катушка совершает малые колебания по закону ` = `0 + a cos ωt. При этом назажимах ее возникает переменное напряжение. Какой амплитуды переменный ток тойже частоты ω следует пропустить по катушке, чтобы на ее зажимах возникло такоеже напряжение?Решение Магнитное поле в соленоиде (в соответствие с теоремой Стокса в приближении бесконечного соленоида) определяется из соотношенияH` =4π4πNJ =nJ`.ccТогдаH=4πnJ.cПотокосцеплениеΦ = HSN =4πN 2 JS.c`Электродвижущая сила в таком соленоидеE =−1 dΦ4πN 2 Jωa sin ωt,=−c dtc2 `20откуда следует, что необходимо приложить токJ1 ∼Ja.`01.2. (Задача 6.36) В линейном индукционном ускорителе ЛИУ электроны летятвдоль оси цилиндрического магнитопровода (длина ` = 50см, внутренний радиус r1 = 2 см, внешний r2 = 5 см).
Завремя τ = 10−6 с индукцию в магнитопроводе изменяютот B0 = −5 кГс до B1 = +5 кГс. Оценить максимальную энергию, набираемуюэлектроном. Ответ выразить в электрон-вольтах (1 эВ = 1, 6 · 10−12 эрг).Решение Предположим, что магнитные силовые линии представляют собой окружности внутри магнитопровода (см. рис.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
