1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда, используя интегральную форму закона электромагнитной индукции, мыможем записатьZ1 dΦ1 dEϕ · 2πr sin θ = −=−BdS.c dtc dtПоскольку поток вектора можно вычислять через любую поверхность, опирающуюсяна заданный контур, в данном случае это удобно сделать выбрав в качестве поверхности часть сферы с центром в начале координат и радиусом R. Тогда поток вектора B1. Квазистационарные явления9можно записать в видеZZm cos θΦ = BdS = Br · R2 sin ϑdϑdϕ, Br = −2.R3Производя элементарные вычисления, получимEϕ = −¢J0 ωπ ¡ 2b − a2 cos ωt sin θ.22c RМожно вычислить электрическое поле используя векторный потенциал AE=−1 ∂A.c ∂tПо определению векторный потенциал магнитного диполяA=m×R(m2 − m1 ) × R=.R3R3Используя такое же приближение, как и выше – кольцо с током можно представитькак магнитный диполь¡¢π b2 − a2JSm=n=J0 sin ωt · ez .ccТогда¡¢1 π b2 − a2ez × erJ0 ω cos ωt,ccR2или¡¢πωJ0 b2 − a2Eϕ =sin θ cos ωt.c2 r2Результат, конечно, совпадает с полученным ранее.
Сила, действующая на заряд,E=Fϕ = −w¢QωπJ0 sin θ ¡ 2b − a2 cos ωt.22c R1.10. (Задача 6.55 а) Два длинных коаксиальных полых цилиндра заряженызакрепленными противоположными по знаку и равными по величине зарядами. Поверхностная плотность зарядов внутреннегоaцилиндра радиуса a равна +σ, масса его единицы длины равнаsµ.
Внешний цилиндр закрутили с угловой скоростью ω− . Найтиугловую скорость ω+ внутреннего цилиндра.10б) Твердый непроводящий диск, равномерно заряженный по поверхности, можетсвободно вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Вначале диск покоился. Затем было включено однородное магнитноеполе B = B0 eiωt , перпендикулярное плоскости диска. Найти движение диска, еслиего масса – m, а величина заряда на поверхности – q.Решение a) Магнитное поле, создаваемое вращающимся заряженным цилиндром(в пренебрежении краевыми эффектами) направлено вдоль оси цилиндра и определяется из теоремы СтоксаH=4π4π4πj=σv =σωa.cccУравнение вращения цилиндра вокруг оси под действием момента сил имеет видJdω+dω+= µa2= N = F a = σE2πaa,dtdtгде использовалось выражение для момента инерции единицы длины цилиндра J =µa2 .
Вихревое электрическое поле, которое, собственно говоря, и вращает цилиндр,определяется из закона электромагнитной индукции·¸1 dΦ1 dΦ−dΦ+2πaE = −=−+.c dtc dtdtМагнитные потоки через площадь внутреннего цилиндра, создаваемые вращениемцилиндров, равны, соответственно,Φ− = −4π 2 a24π 2 a2ω− σ+ a, Φ+ =ω+ σ+ a.ccПри выводе этих формул использовался факт равенства зарядов цилиндров, которыйзаписывается в виде σ+ a = σ− b. В итоге, используя выведенные формулы, уравнение вращения переписывается в видеµa2dω+4π 2 a4 σ 2 d=(ω− − ω+ ) .dtc2dtРешение этого уравнения имеет видω+ =4π 2 a2 σ 2(ω− − ω+ ) + C1 .µc2Из условия ω+ = 0 при ω− = 0 получаем C1 = 0. Тогдаω+ =1+ω−.2µc /4π 2 a2 σ 21. Квазистационарные явления11б)Уравнение движения (вращения) диска записывается в видеJdΩma2 dΩ== N,dt2 dtгде N – суммарный момент сил, J =ma22– момент инерции диска.ZaN=ZaE(r)r2 drrσE(r)2πrdr = 2πσ00Циркуляция электрического поля определяется из интегрального выражения законаэлектромагнитной индукции (в пренебрежении магнитного поля, создаваемого самимвращающимся заряженным диском)2πrE(r) = −πr2 dHiωπr2=−H0 eiωt .c dtcТогда уравнение движения диска запишется в видеdΩπa2 σ= −iωH0 eiωt .dt2mcрешение это уравнения имеет видΩ=¢qa2 H0 ¡1 − eiωt .4cJ1.
Квазистационарные явления11. Квазистационарные явленияУрок 26Скин-эффект. Базовые решения - плоскость, шар, цилиндр1.1. (Задача 6.76)Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с проводи-iwt мостью σ и магнитной проницаемостью µ. Параллельно0E0e плоскости Z = 0 имеется электрическое поле E =xy1E0 e−iωt . Найти: а) поле Rв полупространстве; б) среднюю за1∞период мощность W = 0 (jE)dz, выделяющуюся в бесs,mzконечном столбике от нуля до ∞ по Z и с единичной площадью сечения (1 × 1).Решение Поскольку плотность токов смещения в проводящей среде мала посравнению с током проводимости, то уравнения Максвелла, описывающие распределение переменных полей и токов в проводниках, принимают видrot E = −1 ∂B,c ∂t4πσE,cdiv B = 0,rot H =div D = 0,j = σ E,B = µ H,D = ε E,(1)где σ – проводимость среды. Используя эти уравнения, можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только вектор напряженности электрического илимагнитного полей:4πµσ ∂E∇2 E =.(2)c2 ∂tИз симметрии рассматриваемой задачи ясно, что E может зависеть только откоординаты z и времени.
Граничное условие для электрического поля на поверхности проводника очевидно из первого уравнения системы (1): E1τ = E2τ . В силу этого условия электрическое поле в проводнике у его поверхности равно E =E0 exp(−iω t). В переменном поле с частотой ω зависимость всех величин от времени описывается множителем exp(−iω t). Тогда уравнение (2) для напряженностиэлектрического поля, зависящей только от координат, примет вид∂2E+ k2 E = 0 ,∂z 22гдеrk=−√4πµσω i2πµσω1−i=±(1 − i) = ±,c2cδδ=√c.2πµσωРешениеэтого уравнения,обращающееся в нуль при z → ∞, пропорционально¡¢exp − (1 − i)z/δ .
Учитывая граничное условие при z = 0, получаемzzE = E0 e− δ e−i(ω t − δ ) ,zzj = σ E0 e− δ e−i(ω t − δ ) .Таким образом, по мере проникновения вглубь проводника амплитуда напряженностиэлектрического поля, а с ней и амплитуда тока убывает по экспоненциальному закону. При этом основная часть тока сосредоточена в поверхностномслое толщиной δ.√Величина скин-слоя δ уменьшается с частотой δ ∼ 1/ ω . Условие применимостимакроскопических уравнений поля, о которых говорилось выше, требует, чтобы δ было велико по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости.
Приувеличении частоты это условие в металлах нарушается первым.Средняя по времени энергия dW , диссипируемая в элементе объема dv проводника в единицу времени, равнаdW = (j E) dv = σ E 2 dv ,где черта означает усреднение по времени. Здесь j и E вещественные.Энергия, выделяемая в бесконечном столбике с единичной площадью сечения:Z∞σ E 2 dz .W =0Если j и E взять в комплексном виде, то среднее по времени значение их произведения можно вычислить так:1W =2Z∞σ E02Re (j E ) dz =2Z∞∗0e−2z/δ dz =0E02 σ δ.41.2.
(Задача 6.77) Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с проводимостью σ. Параллельно плоскости Z = 0 включено переменное электрическое поле,представляющее собой сумму двух полей с разными амплитудами E0 и E1 . Частотыразличаются на порядок ω и 10ω соответственно. Найти среднюю за большой периодмощность W , выделяющуюся в бесконечном столбике по Z от нуля до бесконечностис единичной площадью сечения.1. Квазистационарные явления3Решение Основное уравнение, описывающее скин-эффект, имеет вид∆E =4πσµ ∂E,c2 ∂tи граничное условиеE(0, t) = E0 e−iω0 t + E1 e−iω1 t .Легко убедиться, что решение в виде линейной комбинации удовлетворяет как исходному уравнению, так и граничным условиям.E(z, t) = E0 e−z/δ0 e−iωt−z/δ0 + E1 e−z/δ1 e−iωt−z/δ1 .Плотность тока подчиняется закону Ома j = σE. Тогда средняя мощность, выделяющаяся в единице объемаZ∞2W = σ (E) dz.0Среднее от квадрата поля можно записать в виде2(E) =i1 h 2 −2z/δ0E0 e+ E12 e−2z/δ1 + 2E0 E1 cos[(ω0 − ω1 )t].2Поскольку среднее по большому интервалу времени от косинуса равно нулю, получимσW =2Z∞ hi¢1 ¡E02 e−2z/δ0 + E12 e−2z/δ1 dz = σ E02 δ0 + E12 δ1 ,40√где δi = c/ 2πσµωi , i = 0, 1 и ω1 = 0, 1ω0 .1.3.
(Задача 6.79) Найти активное сопротивление тонкого цилиндрического проводника (длина – `, радиус – a, проводимость – σ; µ = 1) в предельных случаяхслабого и сильного скин-эффекта.Решение Внутри провода ввиду его осевой симметрии в цилиндрической системекоординат с осью Z вдоль оси провода поле E имеет лишь z-компоненту и зависиттолько от координаты r. Для периодического поля с частотой ω получаем уравнение(см. задачу 6.76) Бесселя∂2E1 ∂E++ k2 E = 0 ,∂r2r ∂r4гдеk=±1−i,δδ=√c,2πµσωE = Ez .Общим решением этого уравнения будет выражениеEz = A1 I0 (kr) + A2 Y0 (kr) ,где I0 (kr) , Y0 (kr) — цилиндрические функции нулевого порядка соответственно первого и второго рода.
Так как E не может обратиться в бесконечность на осипровода, то A2 следует положить равным нулю: A2 = 0, поскольку Y0 (0) = ∞.Таким образом, Ez = A1 I0 (kr).Используя разложение функции Бесселя при kr ¿ 1, что соответствует предельному случаю малых частот ( a/δ ¿ 1),I0 (kr) = 1 −(kr/2)2(kr/2)4+− ...(1!)2(2!)2для напряженности электрического поля получаем"µ ¶2µ ¶4 #i r1 rEz ' A1 1 −−e−iω t .2 δ16 δПо такому же закону распределена плотность тока jz = σEz . Сопротивление проводника переменному току силы J найдем как отношение среднего количества энергии W , выделяемой в проводнике за единицу времени, к среднему за период значению квадрата силы тока J 2 :W,R=J2õ ¶4 !Za22σ`πa`σA1a1W =Re (Ez · Ez ∗ ) 2πr dr '1+.2224 δ0Найдем полный ток, текущий по проводнику:"µ ¶2µ ¶4 #Zai a1 a2J = jz 2πr dr = πa σ A1 1 −−e−iω t .4 δ48 δ0Тогда средний квадрат тока:J2µ¶1π 2 a4 σ 2 A211 a4∗= Re (JJ ) =1+2248 δ 41.
Квазистационарные явления5и сопротивление:õ¶µ¶2 !`1 a4`1π σ ω a21+=1+при δ À a.R=πa2 σ48 δ 4πa2 σ12cПри больших частотах ( δ ¿ a) можно считать поверхность плоской. Поэтому (см. 6.76)Ez = A1 e−a−rδe−i(ω t −a−rδ ).Поступая далее так же, как и в случае малых частот, находимW =πal σ δA21,2J 2 = π 2 a2 σ 2 δ 2 A21 .И значит,R=WJ2=`2πa σ δприδ ¿ a.1.4. Широкая плита с проводимостью σ и магнитной проницаемостью µ, ограниченная плоскостями x = ±h, обмотана проводом, по которому течет токJ = J0 e−iωt . Провод тонкий, число витков на единицу длины n, витки намотаны параллельно друг другу.
Пренебрегая краевыми эффектами, определить вещественнуюамплитуду магнитного поля внутри плиты. Исследовать предельные случаи слабого(δ À h) и сильного (δ ¿ h)qскин-эффекта.£¡ 2 x¢±¡ 2 h¢¤Решение H (x) = H0sh δ + cos2 xδsh δ + cos2 hδ , где H0 =4πJ0 n/c. При слабом скин-эффекте (δ À h) H (x) ' H0 ; при сильном скинэффекте (δ ¿ h) H (x) ' H0 e−(h−|x|)/δ .1.5. Металлический шар радиуса a проводимостью σ и магнитной проницаемостью µ помещен в однородное переменное магнитное поле H(t) = H0 e−iωt .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
