1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Замечаем, что на оси виткаOIIH = dH = ez dHz ,где ez – единичный вектор в направлении оси Z. Интегрируя по кольцу z-ю проекциюнапряженности магнитного поля dHz , находимIIJ cos α2πaJ cos α2πJa2Hz = dHz =d`==.(2)cr2cr2c (a2 + z 2 )3/2Используя уравнение (2), получаем, что поле в центре витка¯2πJ.Hz ¯z=0 =caа) Найдем поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны1. Магнитостатика3dzα1αOα2Z2aпод углами α1 и α2 . Используя уравнение (2), запишем поле, создаваемое в точке z = 0 током соленоида, текущим по n dz виткам, расположенным на расстоянии z от начала координатZ0Z-Z0dHz =2πJa2n dz .c (a2 + z 2 )3/2Интегрируя но всей длине соленоида, получаем полное поле, создаваемое соленоидом в точкеz = 0:zZ0 +`2πJnadz,Hz =2c(a + z 2 )3/2z0где ` – длина соленоида.
Перейдем от интегрирования по z к интегрированию по углу α, используя формулы:z = a ctg α ,dz = −Тогда2πnJHz = −ca dα,sin2 αZα2sin α dα =sin α = √a.a2 + z 22πnJ(cos α2 − cos α1 ) .c(3)α1б) Если положить α1 = π/2 , α2 = 0, то из уравнения (3) получим напряженность магнитного поля на конце полубесконечного соленоидаHz =2πJn.cв) При α1 = π , α2 = 0 формула (3) дает поле внутри бесконечного соленоидаHz =4πJn.c1.2. Найти величину магнитного поля на оси равномерно заряженного диска радиуса a (полныйзаряд диска равен Q), вращающегося вокруг оси с угловой скоростью ω на расстоянии h от диска.Решение Магнитное поле (z-компонента) от тонкого кольца с радиусом r шириной dr в соответствии с формулой (2) из предыдущей задачиdHz =2πr2dJ.c (h2 + r2 )3/24Ток dJ, текущий в кольце с радиусом r шириной dr, равенdJ =Qωrdr.πa2Тогда магнитное поле всего диска на осиRa r3 drHz (h) = 2πωQ=cπa2(h2 +r2 )3/20n 2 2o2h +a√= 2ωQ−2h.2cah2 +r22ωQca2n√h2 + r2 +2√ hh2 +r2o¯a¯¯ =01.3.
(Задача 4.4) Определить магнитное поле, создаваемое двумя параллельными плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными плотностями i = const. Рассмотретьслучаи: а) токи текут в противоположных направлениях; б) токи направлены одинаково.РешениеZI4πjds.Hdl =cЭто следствие уравнения Максвелла и теоремы Стоксаrot H =4πj.cИз симметрии ясно, что магнитное поле может быть направлено только параллельно плоскостям иперпендикулярно току. Тогда4π2lH =ilcH1 =2πicа) H = 4πiмежду плоскостями и H = 0 вне них; б) H = 0 между плоскостями и H =cвне них.
В обоих случаях H направлено вдоль плоскостей и перпендикулярно току.4πic1.4. (Задача 4.5) Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b находитсякоаксиальный с ней сплошной провод радиуса a. По этим проводникам текут постоянные одинаковые токи J в противоположных направлениях.
Определить магнитное поле во всем пространстве.Сравнить его с полем прямого тока.Решение Hr = Hz = 0 всюду; Hα = 2Jrпри r ≤ a, Hα = 2Jпри a ≤ r ≤ b и Hα = 0ca2crпри r > b.1. Магнитостатика51.5. (Задача 4.8) Определить магнитное поле в цилиндрической полости, вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника – соответственно aи b, расстояние между их параллельными осями – d (b > a + d).
Ток J равномерно распределенпо всему сечению.Решение Магнитное поле внутри сплошного цилиндра с постоянной плотностью тока в точкеr равно (по теореме Стокса)2π(H) =j × r.cИспользуя принцип суперпозиции и считая что отверстие – это пространство, через которое идутдва тока j и −j. Тогда в этой цилиндрической полостиH=2π2π(j × r − j × r0 ) =j × (r − r0 ) .ccУчитывая, что d = r − r0 , получимH=2πj × d.c1.6. (Задача 4.14) Найти положение границ и оценить объем однородного с точностью до∆H/H=0,01 магнитного поля, создаваемого током J, идущим в витках радиусаR = 10 см. Отрезок O1 O2 = R,центры витков,перпендикулярен их плоскостям.³ соединяющий´32πr2z4J√Решение Hz (r, z) = 5 5 1 − 1, 670 R2 − 1, 152 R4 cR , где расстояния r, z отсчитываются от середины отрезка O1 O2 поперек и вдоль него соответственно.
Область однородности поля сзаданнойвеличиной qδестьцилиндррадиусаpδ234r = R δ/1, 67 и длины ` = 2R 1,152 . r=0,77 см и `=6,1 см; V = πr `=11,5 см .1. Магнитостатика1.1МагнитостатикаУрок 19Векторный потенциал, магнитный диполь. Векторный магнитный потенциал A (B = rot A)удовлетворяет уравнениям4π1 ∂ϕµj, div A += 0.cc ∂tµjµ dlvdqεµvdA =dV = J = µ=dϕ.crZc rcrcµj(r0 )dV 0A(r) =.cR(r, r0 )Векторный потенциал магнитного диполя∆A = −Aточ[m × r]1=, где m =3r2cZ[r0 × j0 ]dV 0 .Магнитный момент маленького витка с током m = JSn.cСила и момент, действующие на магнитный диполь в слабо неоднородном полеF = ∇(mB) = (m · ∇)B, N = [m × B].1.1.
(Задача 4.15) Вычислить векторный потенциал: 1) однородного поля в координатах: а) декартовых, б) цилиндрических, в) сферических; 2) поля прямого тока; 3) поля кругового витка набольших расстояниях от витка.Решение Векторный потенциал A магнитного поля B определяется соотношениемB = rot A(1)div A = 0 .(2)и дополнительным условиемВ тех областях, где магнетик однороден, вектор A удовлетворяет уравнению∆A = −4πµj,c(3)где j – заданное распределение токов. Решение уравнения (3) можно записать в виде интегралапо объемуZj(R0 ) dV 0µ,(4)A(R) =c|R − R0 |2где R0 – вектор положения элемента тока j(R0 ) dV 0 в выбранной системе координат.1 a) Пусть B направлено по оси Z.
Положим Az = 0, поскольку циркуляция вектора A максимальна в плоскости (X,Y ). Векторное уравнение (1) равносильно трем скалярным уравнениям,которые с учетом Az = 0 запишутся в виде:∂Ay ∂Ax−= Bz ,∂x∂y∂Ay= 0,(5)∂z∂Ax= 0.∂zРешение этой системы не однозначно. Из двух последних уравнений следует, что Ay и Ax могутбыть только функциями от x и y и удовлетворяют уравнению∂Ax ∂Ay+= 0.∂x∂y(6)Решение уравнения (6) можно выбрать, например:Ay = 0,Ax = A1 (y).Подставляя их в уравнение (5), находимAx = Bz · y.Более симметричное решение уравнения (6) имеет вид:Ax = b · x + A1 (y) ,Ay = −b · y + A2 (x) ,где b – произвольная постоянная.
Подставляя это решение в уравнение (5), получаем∂A2 (x) ∂A1 (y)−= Bz = const .∂x∂yОткуда1A1 (y) = − Bz · y ,2Выбирая b = 0, окончательно находим:1A x = − Bz · y ,21A2 (x) = Bz · x .21A y = Bz · x ,2Az = 0 .1. Магнитостатика31 б) В цилиндрической системе координат ( z, r, α) уравнение (1) будет равносильно уравнениям1 ∂1 ∂Ar(rAα ) −= Bz ,r ∂rr ∂α1 ∂Az ∂Aα−= 0,r ∂α∂z∂Ar ∂Az−= 0.∂z∂rПолагая Az = 0, как и в декартовой системе координат, уравнения принимают вид:1 ∂1 ∂Ar(rAα ) −= Bz ,r ∂rr ∂α∂Aα= 0,∂z∂Ar= 0.∂zВыбирая Ar = 0, из уравнения (7) находим(7)1Aα = Bα r.21 в) В сферической системе координат ( R,θ,α) проекциями вектора B будут:BR = B cos θ ,Bθ = −B sin θ ,Bα = 0 .Выбираем вектор A (как и в предыдущих случаях) лежащим в плоскостях, перпендикулярных B.Тогда у A существует только отличная от нуля проекция Aα .
Полагая AR = Aθ = 0, скалярныеуравнения, соответствующие векторному уравнению (1), будут иметь вид:1∂(sin θ Aα ) = B cos θ ,R sin θ ∂θAα ∂Aα+= B sin θ .R∂RИнтегрируя уравнение (8), получаем1Aα = BR sin θ + f (R) ,2(8)(9)4где f (R) – произвольная функция от R. Из симметрии задачи следует, что Aα не зависит отα. Подставляя Aα в уравнение (9), получаем ∂f (R)/∂R = 0, значит, f (R) можно выбратьравным нулю, f (R) = 0. Окончательно1Aα = BR sin θ .22) Будем решать задачу в цилиндрической системе координат.
Пусть ток J течет вдольоси Z . Тогда из уравнения (3) следует, что векторный потенциал можно выбрать направленнымтоже по Z. Напряженность магнитного поля прямого тока имеет только α-ю компоненту: Hα =2J/cr. Запишем проекцию векторного уравнения (1) на α-е направление:AR = Aθ = 0 ,2J∂Az=−.cr∂r3десь положено µ = 1. Интегрируя уравнение (10), получаем(10)2Jln r + const .cКонстанта произвольна. Можно приписать точкам произвольной цилиндрической поверхности,соосной с током, нулевой векторный потенциал.3) Кольцо с током радиуса R0 расположено в плоскости (X, Y ). Найдемurвекторный потенциал в точке наблюдения, задаваемой радиус-векторомZRR.
Для линейного тока выражение (4) запишется так:IθJd`YθA(R) =.(11)c|R − R0 |RuurAz = −00αdlНаправим ось X перпендикулярно плоскости, в которой лежат Z и R(см. рисунок). На больших расстояниях подынтегральное выражение (11)можно представить так:µ¶11(R R0 )R0≈1+при¿ 1.2|R − R0 |RRRXТогда·I¸IJ1A(R) =d` + 2 (R R0 ) d` .(12)cRRПервый интеграл равен нулю. Подынтегральное выражение второго интеграла представим ввиде(R R0 )d` = RR02 cos θ0 (−nx sin α + ny cos α) dα == RR02 sin θ sin α (−nx sin α + ny cos α) dα ,(13)где nx , ny – единичные векторы в направлении осей X, Y .
При преобразовании1. Магнитостатика5использованы равенства:YαurR0αd` = (−nx sin α + ny cos α)R0 dα ,uurdlcos θ0 = sin θ sin α .Подставляя выражение (13) в уравнение (12) и интегрируя по кольцу,окончательно получаемXA(R) = −где m =1.2.πR02 Jnz –cДваπR02 J sin θ[m × R]nx =,2cRR3магнитный момент кольца радиуса R0 с током J.бесконечных прямолинейных тока J текут в противоположныхнаправлениях. Найти первый неисчезающий член разложения длярасстояний r À a: а) векторного потенциала; б) магнитного поля.Токи параллельны оси Z.Решение Нас интересует область r À ar12 = r2 + a2 + 2ar cos θ√2J2J r12Jr2 + a2 + 2ar cos θ2JAz = Az1 + Az2 =ln r1 −ln r2 =ln =ln √cccr2cr2 + a2 − 2ar cos θТогда, учитывая малость a/r, можно записатьq¡ ¢21 + ar + 2arcos θJI4a[mr]rAz = ln q≈cos θ = 2 2 ,¡¢2ccrrr 1 + ar − 2acos θrгде2Jm=[a × ez ] ,cа вектор a направлен от центра системы координат вправо.Тогда, вычисляя H = rot A в цилиндрической системе координат, получим4JaHr = − 2 sin θ,cr4JaHθ = 2 cos θ,crHz = 0.или2m 4 (mr) rH=− 2 +.rr461.3.
(Задача 4.22) Найти магнитный момент однородно заряженного шара (сферы), вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью ω. Заряд шара – e, радиус –a.Решение а) Найдем магнитный момент сферы. Возьмем на поверхности сферы узкий поясок,заключенныймеждуугламиθиθ + dθ.Заряд,вращаясьвместесо сферой, создает ток, величина которого на выделенном пояскеZdθdJ = υσa dθ =θO a1Qω sin θ dθ ,4πгдеυ=ωa sin θ – скорость вращения пояска,2σ = Q/4πa – поверхностная плотность заряда. Магнитный момент этого токаdm =dJ sπa2 Qω=sin3 θ dθ .c4πcИнтегрируя по θ, находим магнитный момент всей сферы:ZQa2 ωdm =4cm=Zπsin3 θ dθ =Qa2 ω.3c0б) Найдем магнитный момент равномерно заряженного вращающегося вокруг одного из своихдиаметров шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
