1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда основное уравнение для тока можно переписать в виде4ψ = 0.Пусть система координат определена так, что ось z направлена от центра выступа к бесконечноудаленному (верхнему) электроду. Тогда, при z → ∞ ток имеет видj = −j0 ez ,и, следовательно, потенциал при z → ∞ стремится к выражениюj0ψ(z → ∞) = z, для z > 0.σ0На нижнем электроде потенциал равен нулю как при z = 0, так и на самом выступе. Будем искатьрешение уравнения Лапласа для потенциала в виде, похожем на решение для шара во внешнемоднородном полеj0prψ = r cos θ + 3 .σ0rГраничное условие на бесконечности (z → ∞) удовлетворяется, условие на нижней плоскости –тоже.
Для того, чтобы удовлетворить всем условиям, положим ψ(r = a) = 0, тогд൶j0 3j0a3p=− a , ψ=r − 2 cos θσ0σ0rПолный ток, который втекает в нижний электрод через выступ, запишется в видеZZ∂ψ 2J = − j dS = σ0a sin θdθdϕ,∂rгде интеграл берется по верхней половине полусферы. Откуда получаемJ = −3πa2 j0 .Отрицательный знак связан с тем, что ток втекает в полусферу. Если не считать проводимостьнижнего электрода бесконечной (что соответствует потенциалу ψ = 0, то задача становится математически подобной задаче о диэлектрическом шаре в диэлектрической среде и однородном электрическом поле. (Это предлагается в качестве самостоятельного упражнения). Тогда решение имеет вид3πa2 σ1j0 ' −3πa2 j0 , при σ0 /σ1 → 0.J =−σ1 + 2σ044.
Сплошной бесконечно длинный цилиндр радиуса a с проводимостью σ1 находится в однородном проводнике с проводимостью σ2 . Внутри цилиндра действует стороннее однородное полеEстр , направленное перпендикулярно оси цилиндра. Найти распределение тока во всем пространстве.Решение Поскольку ни во внутреннем цилиндре ни в окружающем пространстве нет источников тока, то для обеих областей справедливы уравненияdiv j1 = 0, div j2 = 0.Дифференциальный закон Ома в обоих областях запишем в видеj1 =σ1 (E1 + Eстр ) , j2 =σ2 E2 , Eстр = E0 ex .Поля E1 и E2 – потенциальны и, поэтому, введя потенциалы этих полей E1 = −∇ψ1 , E2 =−∇ψ2 , получим уравнения для потенциалов4ψ1 = 0, 4ψ2 = 0.Граничные условия имеют обычный вид.
Внутри цилиндра потенциал ограниченψ1 < ∞. На бесконечности потенциал убывает, т. е. ψ2 → 0 при r → ∞. Поскольку задачастационарная и заряды нигде не накапливаются, то на границе раздела Γ j1n |Γ = j2n |Γ . Откудаполучаем граничное условие для потенциаловσ1 (E1n + Eстрn )|Γ = σ2 E2n |Γ .Предположим, что потенциал внутри и снаружи имеет вид ψ1,2 = R1,2 (r) cos θ, где θ – уголмежду осью x и радиус-вектором. Тогда, решая радиальную часто уравнения Лапласа и учитываяограниченность решения для потенциала внутри цилиндра и стремление снаружи к нулю, получимрешение в виде:ψ1 = −E1 r cos θ,Aψ2 =cos θ.rИспользуя граничное условие ψ1 = ψ2 на поверхности цилиндра, получим−E1 a =A.aИспользуя это соотношение и подставляя решение во второе граничное условие на поверхностицилиндра, получим∂ψ1∂ψ2+ σ1= σ1 E0 cos θ.−σ2∂r∂r5Сокращая на cos θ и решая полученное уравнение, получим(a2Eстр ,A = σσ11+σ21E1 = − σ1σ+σEстр .2Тогда распределение плотности тока во всем пространстве можно записать в виде½2j1 = σ1σ+σEстр ,2σ1 σ2 2 Eстр rj2 = − σ1 +σ2 a ∇ r2 .Вычисляя градиент, получимσ1 σ2 a2j2 = −σ1 + σ2½¾Eстр(Eстр r)−2r .r2r41.
Электрический ток1.1Электрический токУрок 17Закон 3/21.1. (Задача 3.32) Найти вольт-амперную характеристику плоского диода (площадь электродов – S, расстояние между ними – d), катод которого неограниченно испускает электроны снулевой начальной скоростью (закон «3/2»). Считать, что электрическое поле у катода отсутствует (внешнее поле самого диода компенсируется полем образовавшегося между электродамиобъемного заряда).Решение Запишем уравнение Пуассона для координаты x, отсчитываемой от катода (заземленного электрода):4ϕ(x) = −4πρ, ρ = j/v.Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальныхmv 2 /2 = eϕ(x),откудаv(x) =p2e/m · ϕ(x).Подставляя выражение для скорости через потенциал в уравнение Пуассона, получаемrrd2 ϕm J −1/22m J−1/2= 4πϕ≡ Aϕ, где A = 2π.2dx2e Se Sϕ(0) = 0, ϕ(d) = U, (dϕ/dx)x=0 = 0.Граничные условия на катоде и аноде имеют вид, причем третье условие – это условие равенстванулю электрического поля вблизи анода.Представим уравнение в видеµ ¶2dϕdϕ d2 ϕ1dx ·· 2 = d= Aϕ−1/2 dϕdx dx2dxи проинтегрируем его, домножив обе части на 2:µ ¶2Zdϕ= 2A ϕ−1/2 dϕ = 4Aϕ1/2 + C1 ,dxC1 = 0 из граничных условий ϕ(0) = 0 и E(0) = 0.2Тогда√dϕ= 2 Aϕ1/4 .dxИнтегрируем еще раз:Z√42 Ax = ϕ−1/4 dϕ = ϕ3/4 + C2 ; C2 = 0 при ϕ(0) = 0.3Так как ϕ(d) = U , то√492 Ad = U 3/4 , откуда Ad2 = U 3/2 .34ПодставляяrA = 2πимеемr2m Jd2·= U 3/2 ,eS√ r2 e SJ=· U 3/2 .9π m d29· 2π4т.
е.2m J· ,e S1.2. (Задача 3.33) Обобщить закон «3/2» на область ультрарелятивистских энергий.Решение Единственное, что отличает релятивистский случай от нерелятивистского – это закон сохранения энергии. Уравнение Пуассона и граничные условия остаются в том же виде.4ϕ(x) = −4πρ, ρ = j/v.Теперь наша задача – найти релятивистскую зависимость v от ϕ.
В релятивистской механикезакон сохранения энергии записывается в видеγmc2 − eϕ = mc2 , или γ −eϕ = 1.mc2Выбрав систему единиц, в которой e = 1, m = 1, c = 1, и, следовательно, e/mc2 = 1, т.е.потенциал измеряется в единицах e/mc2 , скорость измеряется в единицах скорости света и т.д.,получимpϕ(ϕ + 2)1= 1 + ϕ, v = β =.γ = 1 + ϕ, p1+ϕ1 − β21. Электрический ток3Уравнение Пуассона для релятивистских электронов тогда запишется в видеd2 ϕ1+ϕ= −4πj p.2dxϕ(ϕ + 2)используя тот же прием, что и ранее, т.е.
домножив обе части уравнения на dvarphi, уравнениеdxможно один раз проинтегрировать, и , используя граничное условие на катоде, получим первыйинтегралµ ¶2p1 dϕ= −4πj ϕ(ϕ + 2).2 dxК сожалению проинтегрировать это уравнение в рациональных функциях не удается, и мы рассмотрим ультрарелятивистский предел, т.е. γ À 1, откуда ϕ À 1. Тогда первый интеграл перепишется в видеdϕ= (−8πjϕ)1/2 .dxИнтегрируя и используя граничные условия, получаем решениеϕ = −2πjx2 ,а при x = d используя varphi(d) = U получаем соотношение типа закона Омаj=−U, (в обезразмеренных единицах),2πd2а в единицах CGSEj=cU.2πd21.3.
Найти вольтамперную характеристику цилиндрического диода с нулевым радиусом катода(радиус анода a).Решение Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается так:rµ¶1 ddϕ(R)4πJm −1/2R= −4πρ(R) =ϕ(R),R dRdR2πRe 2eт. е.ddRµdϕRdR¶J=`r2m −1/2ϕ= Aϕ−1/2 ; ϕ(0) = 0; ϕ(a) = U.eИщем решение в виде ϕ(R) = CRα .4Подставляем в уравнение и получаемCα(α − 1)Rα−1 = AC −1/2 R−α/2 .Степени R должны быть одинаковы: α − 1 = −α/2, откуда α = 32 .Подставляя α = 23 в предыдущее уравнение и сокращая на R2/3 , получаем уравнение для C:9C = AC −1/2 ,4откудаµC=Таким образом,4A9µϕ(R) =откуда4aAU=,9¶2/34A9.¶2/3,√r2 2 ` e 3/2J=·U .9a m3.40.1.4.Между плоскостями 1, 2, имеющими потенциалы U1 и U2 , проходитпоток электронов, испускаемых плоскостью O с потенциалом U = 0.
Найтимаксимальную плотность тока, поступающего на плоскость 2 при работе системы в режиме виртуального катода, если расстояние d0 ¿ 2d. Нарисовать ходпотенциала между пластинами.Решение При прохождении потока электронов между электродами 1 и 2 с потенциаламиU1 и U2 из-за образования объемного заряда происходит «провисание» потенциала U (x) вплотьдо зануления в плоскости, находящейся на расстоянии xm от электрода 1. Так как d0 ¿ 2d поусловию, то и на расстоянии xm от реального катода 0). В этой плоскости скорости электроновобращаются в нуль и часть электронов поворачивает обратно к электроду 1. Такое «провисание»потенциала до нулевого значения называется образованием виртуального катода 3.Теперь от электрода 1 идет ток с плотностью j1 , от виртуального катода 3 в обратном направлении идет отраженный ток −j3 и к электроду 2 приходит ток с плотностью j2 : j2 = j1 − j3 .Отсюда максимальный ток на аноде 2 j2max получается в режиме возникновения виртуальногокатода, если отраженный ток j3 обращается в нуль, т.
е.j2max = j1 ,при j3 = 0.(1)1. Электрический ток5Заметим, что режим виртуального катода соответствует при этом тому, что образовались как быдва диода с общим катодом, которые включены навстречу друг другу.У одного анодное напряжение U1 , у другого U2 . В плоском диоде с расстоянием между электродами 2d и напряжением на аноде U2 вольт-амперная характеристика выглядит так (см. задачу3.32):√ r3/22 e U2j0 =.(2)9π m (2d)2Тогда3/2µ3/2AU2AU1j2 =, j1 =2(2d − xm )x2m= j0U1U2¶2(2d)2.x2m(3)Введем безразмерные параметры:k = (U1 /U2 )1/2 и ` = xm /2d, ` < 1.Подставляя j1 и j2 из уравнения (3) в уравнение (1) и сокращая на j0 , получаем 1/(1 − `)2 =k 3 /`2 , откуда для ` следует квадратное уравнение:`2 = k 3 − 2k 3 ` + k 3 `2.Записываем уравнение в стандартной форме:(k 3 − 1)`2 − 2k 3 ` + k 3 = 0и получаем решениеk3 ±√k6 − k6 + k3k 3 ± k 3/2=.k3 − 1k3 − 1Оставляем лишь один корень, отвечающий условию ` < 1.`1,2 =`=т.
е.k 3 − k 3/2k 3/2 (k 3/2 − 1)k 3/21===,33/223/2k −1(k ) − 1k +11 − k −3/2xm1=.2d1 + (U2 /U1 )3/4Таким образом,xm =2d,1 + (U2 /U1 )3/46j2max¶−23/23/23/2 µAU2AU2AU21== 2=· 1−=(2d − xm )24d (1 − `)24d2(U2 /U1 )3/4´2A ³ 3/43/4= 2 U1 + U2.4d√r´22e ³ 3/43/4+U··U.j2max =129π · (2d)2m1. Магнитостатика1.1МагнитостатикаЗакон Ампера (µ = 1):dF12 =J1 J2 [dl1 × [dl2 × r12 ]][j2 × [j1 × r12 ]] dV1 dV2==332c r12c2 r12[v2 × [v1 × r12 ]] dq1 dq2=.3c2 r12Сила Ампера:J [dl × B][j × B] dV[v × B] dq==.cccЗакон Био–Савара (µ = 1, B = H):dF =J [dl × r][j × r] dV[v × r]==dqcr3cr3cr3B[Тл] = 104 B[Гс], H[А/м] = 4π · 10− 3H[Э].В вакууме (µ = 1) для постоянных токов уравнения Максвела имеют вид:dH =div B = 0, rot B =4πj, B = H.cВ интегральной форме:ZZIZZ4π° Bn dS = 0,Bl dl =jn dS.cГраничные условия:4π[Iпов × n21 ] .cСкалярный магнитный потенциал ϕm для областей, где j ≡ 0 удовлетворяет уравнениям:¯¯∂ϕ1 ¯¯∂ϕ2 ¯¯∆ϕm = 0, ϕ1m | = ϕ2m | , µ1= µ2.∂n ¯∂n ¯Векторный магнитный потенциал A (B = rot A) удовлетворяет уравнениямB1n | = B2n |, H1τ | − H2τ | =4π1 ∂ϕµj, div A += 0.cc ∂tµjµ dlvdqεµvdA =dV = J = µ=dϕ.crZc rcrcj(r0 )dV 0µ.A(r) =cR(r, r0 )∆A = −2Векторный потенциал магнитного диполяAточ[m × r]1=, где m =3r2cZ[r0 × j0 ]dV 0 .Магнитный момент маленького витка с током m = JSn.cСила и момент, действующие на магнитный диполь в слабо неоднородном полеF = ∇(mB) = (m · ∇)B, N = [m × B].Урок 18Закон Био-Савара.
Теорема Стокса. Суперпозиция1.1. (Задача 4.1) Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса a с током J. Используяполученный результат, найти:а) поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами α1 , α2 ;б) поле на конце полубесконечного соленоида;в) поле внутри бесконечного соленоида.Число витков на единицу длины соленоидов n.Решение По закону Био-Савара напряженность магнитного поля dH, создаваемаяэлементом тока J d`,uurZJdHdH = 3 [ d` × r] ,(1)rcrz uur rгде r – расстояние от элемента тока до точки наблюдения. По принципу суперпоdlзиции полное поле в данной точке можно получить интегрированием (1) по всемуαaкольцу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
