1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Работа, которую следует совершить, чтобы преодолеть силуотталкивания при наращивании слоя толщиной dR, равна4 R33Q2 R 42dA = πρ· ρ · 4πR dR =dR .3 Ra6Интегрируя по всем слоям, находимZa3Q23 Q2W =A= 6R 4 dR =.a5 a03. (Задача 2.50) Диполь с моментом p1 находится в начале координат, а другой диполь смоментом p2 – в точке с радиус-вектором r. Найти энергию взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?Решение Напряженность электрического поля, создаваемого диполем p1 в точке r³ rp ´p1 3r (rp1 )1E = −∇=− 3 +3rrr5Потенциальная энергия взаимодействия диполей p1 и p2U (r) = − (p2 E) .илиp2 p1 3 (p1 r)(p2 r)p2 p1−=(sin θ1 sin θ2 cos φ − 2 cos θ1 cos θ2 ) ,r3r5r3где θ1 = (crp1 ), θ2 = (crp2 ), ϕ – угол между плоскостями (p1 r) и (p2 r).U (r) =3U∂U3p2 p1 (sin θ1 sin θ2 cos φ − 2 cos θ1 cos θ2 )==.4∂rrrОчевидно, что выражение в скобках, зависящее от углов, имеет максимальное значение при θ1 =θ2 = 0.
Это значение равно −2, тогдаFr = −6p1 p2(притяжение!),r4и это имеет место когда диполи параллельны.Fmax = −34. (Задача 2.51) Электрический диполь с моментом p находится в однородном диэлектрикевблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергиювзаимодействия диполя с индуцированными зарядами, силу и вращательный момент, приложенныек диполю. Расстояние a, проницаемость диэлектрика ε.РешениеU = − (pE)если p и E независимы, p ∼ E, то 21 .U==p2r3 ε12np2 p1r3 εr = 2ao3(p2 r)(p1 r)−=r5 ε2(cos 2θ − 3 cos θ) =2 22θp2 cos2 θ− 3p rr5cosr3 εε2− 8ap3 ε (1 + cos2 θ)=p2dW = − 16εa3 (1 + cos2 θ) , где θ = (p,ez ); Fz = − 3W,ap2 sin 2θNθ = − 16εa3 .5.
(Задача 2.52) Электрический диполь p0 находится в однородном диэлектрике на расстоянии r от центра заземленного проводящего шара радиуса R. Найти энергию взаимодействия диполя с шаром, силу и вращательный момент, приложенные к диполю. Рассмотреть случай r → R(r > R).∗r∗ )(pr∗ )0 p)0r )+ (p− 3(p02εr, где заряд изображенияРешение W=− Q(p∗52εr∗32εr∗3(pr)(p0 r)r R3R3Q = r3 R и диполь изображения p = −p0 r3 + 2 r2 r3 отстоят от диполя p0 на расстояниеr∗ = r − R2 /r, а r, r∗ – радиус-векторы положения диполя p0 и его изображений соответственно.2222p2 R(R2 +r2 cos2 θ )p2 Rr (R +2r ) cos θ+3Rp20 Rr 2 sin 2θЕсли θ = (dp, r), то W = − 0 2ε(r2 −R2 )3 , Fr = − 0ε,N=−.4θ22(r −R )2ε(r2 −R2 )36.
(Задача 2.54) Плоский конденсатор (подключен к батарее, эдс E) с вертикально расположенными пластинами опущен в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Плотность жидкости ρ, расстояние между пластинами d. На какую высоту поднимется жидкость внутри конденсатора?РешениеD = εE0E2εE02= 0 + ρgh8π8πEE0 =d2(ε − 1) E0= h,8πρg4илиh=(ε − 1) E 2.8πρgd27.
(Задача 2.60) Найти сечение захвата электронов (заряд – e, масса – m, скорость набесконечности – υ0 ) абсолютно проводящей нейтральной закрепленной сферой радиуса a.РешениеДвижение электрона в поле индуцированных зарядов сферы эквивалентно движению в поле двух зарядов: e0 = ea/r и (−e0 ), рас02r-e положенных соответственно в центре и на расстоянии r = a /r,vrгде r– расстояние от центра сферы до летящего электрона.r′eρ′При движении электрона заряды изображения и электрон буa rϕдут находиться на одной прямой, проходящей через центр сфе− e′ры, поэтому можно считать, что электрон движется в центральносимметричном поле. В центрально-симметричных полях сохраняется момент количества движения и, значит, движение частицы плоское.Выбирая полярную систему координат в плоскости движения электрона с началом в центресферы, запишем закон сохранения энергииmυr2 mυϕ2mυ02+=,(1)222где υr , υϕ – проекции скорости электрона на направление радиус-вектора r и на перпендикулярноек нему направление, U – энергия взаимодействия электрона со сферойU+U =−e2 a3.2r2 (r2 − a2 )Исключив скорость υϕ из уравнения (1), воспользовавшись выражением для момента количествадвижения M = mυϕ r, получимmυr2mυ02+ Uэф =,(2)22гдеM2e2 a3Uэф =−(3)2mr2 2r2 (r2 − a2 )есть эффективное поле, в котором происходит одномерное (по r) движение электрона.График функции Uэф показан на рисунке.
Из этого графика и из уравUэф2нения (2) следует, что если энергия электрона, равная³ mυ´ 0 /2, меньше,mv2чем максимальное значение эффективной энергии Uэф, то миниmaxr1r2 r0мальное расстояние r0 , на которое может подойти электрон, опреде0ляется равенством25Uэф (r0 ) =mυ02.2³ ´³ ´Если энергия электрона больше Uэф, то электрон упадет на сферу. Найдем Uэфприmaxmaxнекотором моменте M электрона.эфДифференцируя по r выражение (3) и приравнивая производную нулю dU= 0, находимdrM 2 r4 − 2r2 X + a2 X = 0 ,(4)где введено обозначение X = M 2 a2 + m e2 a3 .
Решая уравнение (4), получаем√me2 a322r = r1 ± r1,(5)Mгдеme2 a3r12 = a2 +M2³´есть расстояние, на котором обращается в нуль Uэф , Uэф (r1 ) = 0 . В соотношении (5) нужновыбрать знак «+», иначе r < a. Итак,r³ ´me2 a3r22 = r12 + r1,Uэф= Uэф (r2 ) .M2maxПодставляя r2 в уравнениеmυ02,(6)2находим предельное значение момента M0 , а с ним и прицельного параметра ρ0(M0 = mυ0 ρ0 ) , такое, что при M < M0 электроны захватываются сферой.После несложных арифметических преобразований уравнения (6) получим промежуточноеуравнениеr¶µmυ0me2 a3= 1,r1 +M0Mоткуда следует√M022 me2 a3−= a2 .(7)22m υ0mυ0Uэф (r2 ) =Заменяя в уравнении (7) M0 на mυ0 ρ0 , окончательно находимsµ¶e2 /a22ρ0 = a 1 + 2,mυ026Yuurv0euurp1θρrrXuurp1′сечение захватаsµσ=πρ20= πa21+2¶e2 /a.mυ028.
(Задача 2.61) Найти сечение рассеяния на малые углы электронов (заряд – e, масса –m, скорость на бесконечности – υ0 ), пролетающих с большим прицельным параметром ρ мимошара радиуса a, если: а) шар проводящий и заземлен; б) шар проводящий и изолирован; в) шардиэлектрический с проницаемостью ε; г) шар диэлектрический с поляризуемостью v E 2 .Решение Рассеяние на малые углы означает, что рассматриваются столкновения на больших прицельных расстояниях, где поле соответственно будет слабое.
Выберем оси (X,Y ) так, какпоказано на рисунке. Пусть P1 – импульс частицы до рассеяния, P01 – после рассеяния, тогда00sin θ = P1y/P10 . Поскольку при малых углах sin θ ≈ θ, P10 ≈ P1 = mυ0 , то θ ≈ P1y/mυ0 . Сдругой стороны,Z∞0P1y= Fy dt.0Переходя от интегрирования по t к интегрированию по r и используя приближенные соотношенияdt 'dx,υ0r2 ' x2 + ρ2 ,Fy = Fr ·получаем2ρθ'mυ02Z∞ρr drdx ' pr 2 − ρ2,ρ,rdrFr p.r2 − ρ2а) Проводящий шар заземлен.В этом случае рассеяние происходит в поле заряда e0(1)=−ea/r, находящегося7uurv0e′r′aerrρна расстоянии r0 = a2 /r от центра. Сила, действующая на электрон:Fr =0−e2 ar.(r2 − a2 )2Подставляя силу в уравнение (1) и используя при малых углах неравенство r À a, получаемθ≈πae2,2mυ02 ρ2откудаπa2 e2.(2)2mυ02 θСвязь дифференциального эффективного сечения dσ с прицельным параметром ρ имеет вид dσ =2πρ(θ) dρ.
Деля обе части этого равенства на элемент телесного угла dΩ = 2π sin θ dθ ≈ 2πθ dθи делая несложные преобразования, получаем¯¯dσ1 ¯¯ ∂ρ2 ¯¯ dθ≈ ¯.(3)dΩ2 ∂θ ¯ θρ2 ≈Окончательноdσπae2 1≈.dΩ4mυ02 θ3б) Проводящий шар изолирован.В этом случае сила, действующая на электрон,2e2 a3.r5Подставим выражение для силы в формулу (1), получим связь угла рассеяния с прицельным параметром3πa3 e2θ≈.4mυ02 ρ4Откудаs3πa3 e2 1√ ,ρ2 ≈4mυ02θFr ≈и дифференциальное эффективное сечение рассеяния (3) для электронов на изолированном проводящем шареsπa2 3e2 /a −5/2dσ≈θ.dΩ8πmυ028в) Шар диэлектрический с проницаемостью ε.В этом случае∞X`(` + 1) a2`+12Fr = −e (ε − 1).(ε` + ` + 1) r2`+3`=0Ограничимся первым слагаемым, поскольку r À a, тогдаFr = −e2θ=и2(ε − 1) a3,(ε + 2) r53π a3 e2 (ε − 1) 1,4 mυ02 (ε + 2) ρ4µ¶1/2dσπa2 3 e2 /a ε − 1=θ−5/2 .dΩ8 4 mυ02 (ε + 2)1.
Электрический ток1.1Электрический токУрок 15Закон сохранения заряда. Закон ОмаНаправленное движение электрических зарядов q – ток J.J = dq/dt.Вектор плотности тока j = ρv = env.Закон Ома в дифференциальной форме: j = σE.Для линейных проводников закон Ома J = U/R, где R = `/(σS).Закон сохранения заряда в интегральной формеIdq/dt = − j1n dS,а в дифференциальной форме: ∂ρ/dt = − div j.Для стационарных токов div j = 0, откуда следует граничное условие j1n | = j2n |.Из потенциальности поля E следует E1τ | = E2τ | или jσ1τ1 | = jσ2τ2 |.Потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Пуассона∆ϕ = −4πρ, где E = −∇ϕ, E1τ | = E2τ |, σ1 E1n | = σ2 E2n |.По найденному E иPзакону ОмаPj = σE находимвектор плотности тока j.PПравила Кирхгофа Ji = 0,Ek =Ji R i .RR 2Закон Джоуля–Ленца: мощность N = σE 2 dV = jσ dV .Вольт-амперная характеристика для вакуумного диода – закон «3/2»: j =Заметим, что Jd` = jdV = ρvdV =1.1.ÀНаdqdV19πq2e U 3/2.m d2vdV = vdq.полый металлический цилиндр, радиус крышек-торцов которогоравен a, падает параллельно оси цилиндра однородный поток электронов.
Зарядэлектрона – e, скорость – v, число электронов в единице объема – n. Собираемый заряд через амперметр, подсоединенный к центру нижнего торца, уходитна землю. Найти распределение тока на торцах j1,2 (R).Решениеjверх = envr/2, jнижнenvrevnπr2= j1 =2πr22evnπaevna2j2 ==2πr2r2= enva /2r.21.2. (Задача 3.2) Пучок заряженных частиц с массой m, зарядом q и скоростью v0 каждаявлетает в пространство с электрическим полем E в направлении вдоль поля и проходит в нем путь`. Найти плотность тока пучка на выходе, если на входе она равна j0 , а также скорость и плотностьчисла частиц в пучке.Решениеj = j0mv 2mv02 2qEl=+aamr2qElv = v02 +mn=j = j0 , v =pj0n0 v0=qvvv02 + 2qE`/m, n = j0 / (qv) .1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
