1611690907-cdb7ba9a19e66c50054693ec4d5311b7 (826951), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из приведенного выше уравнения следует, что D = const. Из граничного условия дляграницы металл-диэлектрикD1n − D2n = 4πσсвобдля нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что D2n = 0, получаемU ε0.D = 4πσсвоб = 4πQ/S = 4πCU/S =a ln 2Откуда получаемDUE==ε(x + a) ln 2Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношениемdiv E = 4πρсвяз ,откудаCU a1ε0 S (x + a)2А плотность связанных зарядов на границах металл-диэлектрик определяется из соотношения награниц嶵E1n − D1nCU1σсвяз |x=0 ==−,1−4πSε0ඵE1n − D1nCU1σсвяз |x=a = −=.1−4πS2ε0ρсвяз = −44.
(Задача 2.13) Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок a и b диэлектрическая проницаемость меняется по закону½ε1 = const при a ≤ r < cε (r) =,ε2 = const при c ≤ r ≤ bгде a < c < b. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов σсвяз и полный связанныйзаряд в диэлектрике.Решение Очевидно, что система представляет собой два последовательно соединенных сферических конденсатора. Полная емкость последовательно соединенных конденсаторов определяетсясоотношением111+.=CCa−c Cc−bДля нахождения емкости одного сферического конденсатора рассмотрим 2 вложенные одну в другую концентрические сферы с радиусами R1 и R2 , (R1 < R2 ).
Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Предположим, что вектор электростатической индукции D в шаровом слое между обкладками имеет только радиальную компоненту (всилу сферической симметрии задачи), и она выражается в видеD=aQ1,r2где Q1 – заряд внутренней обкладки. Граничное условие на границе радиуса R1 можно рассматривать как следствие теоремы Гаусса.Q1,R12D1n = D|r=R1 = 4πσ =откуда следует a = 1.
Таким образом, в зазоре между сферическими поверхностямиD=Q1Q1, E = 2.2rεrРазность потенциалов между обкладками равнаZR2∆ϕ =Q1Edr =εR1ZR2Q1dr=2rεµR1Таким образом, емкость сферического конденсатораC=Q1=∆ϕ1R1ε−1R2.11−R1 R2¶.5Откуда получаем емкость 2-х последовательно соединенных конденсатороⶵ¶¸−1· µ1 1 11 1 1−+−C=.ε1 a cε2 c bРаспределение связанных зарядов получается из описанного выше решения с учетом того, чтоD = Qr21 во всем пространстве между обкладками, а электрическое поле в области a < r < cE =D/ε1 , а в области < r < E = D/ε2 .
Тогд൶E1n − D1nQ11σсвяз (a) ==−1−,4π4πa2ε1µ¶Q11Ec+ − Ec−1σсвяз (c) ==−,4π4πc2 ε2 ε1µ¶1Q11−.σсвяз (b) =4πb2ε2где Q1 – заряд внутренней обкладки.1Урок 13Емкость 21. (Задача 2.13) Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок a и b диэлектрическая проницаемость меняется по закону½ε1 = const при a ≤ r < c,ε (r) =ε2 = const при c ≤ r ≤ bгде a < c < b. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов σсвяз и полный связанныйзаряд в диэлектрике.Решение Очевидно, что система представляет собой два последовательно соединенных сферических конденсатора. Полная емкость последовательно соединенных конденсаторов определяетсясоотношением111=+.CCa−c Cc−bДля нахождения емкости одного сферического конденсатора рассмотрим 2 вложенные одну в другую концентрические сферы с радиусами R1 и R2 , (R1 < R2 ). Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε.
Предположим, что вектор электростатической индукции D в шаровом слое между обкладками имеет только радиальную компоненту (всилу сферической симметрии задачи), и она выражается в видеD=aQ1,r2где Q1 – заряд внутренней обкладки. Граничное условие на границе радиуса R1 можно рассматривать как следствие теоремы Гаусса.Q1,R12D1n = D|r=R1 = 4πσ =откуда следует a = 1. Таким образом, в зазоре между сферическими поверхностямиD=Q1Q1, E = 2.2rεrРазность потенциалов между обкладками равнаZR2∆ϕ =R1Q1Edr =εZR2R1Q1dr=2rεµ11−R1 R2¶.2Таким образом, емкость сферического конденсатораC=Q1=∆ϕ1R1ε−1R2.Откуда получаем емкость 2-х последовательно соединенных конденсаторов·1C=ε1µ1 1−a c¶1+ε2µ1 1−c b¶¸−1.Распределение связанных зарядов получается из описанного выше решения с учетом того, чтоD = Qr21 во всем пространстве между обкладками, а электрическое поле в области a < r < cE =D/ε1 , а в области < r < E = D/ε2 .
Тогд൶Q11E1n − D1n=−1−,σсвяз (a) =4π4πa2ε1µ¶Ec+ − Ec−1Q11σсвяз (c) ==−,4π4πc2 ε2 ε1µ¶1Q11−.σсвяз (b) =4πb2ε2где Q1 – заряд внутренней обкладки.2. (Задача 2.14) Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Ω с вершиной в центре обкладок.Радиусы обкладок – a и b, проницаемость диэлектрика – ε. Найти емкость конденсатора.Решение 1. Емкость составного сферического конденсатора представляет собой емкость 2-хпараллельно соединенных конденсаторов.
(Подумайте, как это можно доказать). ТогдаC = C1 + C2 .½¾½¾abSсферы − Sугл.Sугл.abΩΩC=+ε=1−+εb−aSсферыSсферыb−a4π4π¾½abΩ[1 − ε] .=1−b−a4π3. (Задача 2.15) Найти взаимную емкость двух шаров радиуса a, если расстояние между ихцентрами равно b À 2a.3Решение Для поиска взаимной емкости необходимо поместить на каждый из шаров одинаковый (по модулю) заряд и посчитать емкость полученного "конденсатора". Пусть q1 = −q2 . Тогдапотенциалы на поверхности первого и второго шаров соответственн11ϕ1 = q1−,a b−aµ¶11ϕ2 = q1.−b−a aµϕ1 − ϕ2 = 2q111−a b−aC=Поскольку b À 2a¶= 2q1b − 2aa (b − a)q1a b−a=∆ϕ2 b − 2aaaC ' (1 + ).2b4.
(Задача 2.19) Внутри плоского конденсатора, заряженного до напряжения U , на расстоянии h от одной из пластин находится маленький металлический шарик радиуса r. Пренебрегаяискажением поля конденсатора, найти заряд, появившийся на шарике, если соединить его с пластиной с нулевым потенциалом. Расстояние между пластинами d.Решение Q = −U hr/d.5. (Задача 2.21) Трем одинаковым изолированным конденсаторам емкостью C были сообщены заряды q1 , q2 , q3 соответственно. Потом конденсаторы соединили. Найти величины зарядов,оставшихся на конденсаторах.Решение- +q’ 21q’ 1+-23q’3 +Пусть на конденсаторах после соединения появятся заряды какэто показано на рисунке. Если знаки определены неверно, то после решения соответствующие заряды будут другого знака.Обозначим разность потенциаловмежду конденсатором 1 и 3 как ϕ13 .
Тогда для конденсатора с зарядом q10 можноq0записать ϕ13 = C1 , где C – емкость конденсатора. С другой стороны, при обходе этого контура в противоположном направлении сумма падений потенциаловϕ13 = ϕ12 + ϕ23 =, а они в свою очередь из-за одинаковых емкостей могутбыть записаны какϕ13q30q20=− − .CC4Знак минус в этом уравнении связан с тем, что потенциал при переходе от положительной пластины к отрицательной убывает, а при обратном направлении возрастает.
Приравнивая два выражения для ϕ13 получимq10 + q20 + q30 = 0.Теперь рассмотрим сохранение зарядов на каждом участке. При соединении конденсатора 1 и 2сумма зарядов, которая была на этих пластинах сохранилась и поэтому можно записать¾q1 − q2 = q10 − q20q2 − q3 = q20 − q30Решив систему из трех уравнений, получим1qi0 = qi − q̄, где q̄ = (q1 + q2 + q3 ).31Урок 14Энергия поля, Давление. Силы1. (Задача 2.47) Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинамиконденсатора. Диэлектрическая проницаемость стекла – ε. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить задачу при условиях: а) конденсатор все времяприсоединен к батарее с эдс E; б) конденсатор был сначала подсоединен к той же батарее, а затем отключен и только после этого пластинка была удалена.
Найти механическую работу, котораязатрачивается на удаление пластинки в том и другом случае.2(1−ε)Q2SРешение а) ∆W = (1−ε)CU;б)∆W=, A = ∆W , C = 4πd.22εC2. (Задача 2.48) Найти энергию электростатического поля заряженного равномерно по объему шара через плотность энергии и через плотность заряда и потенциал. Заряд шара Q, радиусR.Решение Энергия электростатического поля может быть подсчитана по двум эквивалентнымформулам:Z1W =(ED) dV(1)8πZZ11ϕ dq =ρϕ dV ,(2)W =22где E, D – векторы электрической напряженности и электрической индукции поля,ϕ – потенциал поля в месте нахождения заряда dq.
Первый интеграл берется по всему объему,где E 6= 0, во втором интеграле интегрирование ведется по всем зарядам системы.Найдем энергию электростатического поля шара, равномерно заряженного с плотностью ρ.Используя распределение поля для заряженного шара (см. 1.23) и полагая ε = 1, находим1W =8π·Za ³4 ´2 2πρ R · 4πR2 dR +30Z∞³¸4 ´2 a63 Q22πρ·4πRdR=,3R45 aaгде Q = 43 πa3 ρ – полный заряд шара.Распределение потенциала внутри шарඵQQR2ϕ(R) = +1− 2a2aaприR ≤ a.2Подставляя потенциал в формулу (2), получаем¸Za ·1QQ³R2 ´3 Q2+ρ · 4πR2 dR =.W =1− 22a2aa5 a0Энергию можно найти и как работу, которую нужно совершить, чтобы «слепить» равномерно заряженный шар. Если уже «слепили» шар радиуса R, то, чтобы нарастить его на dR, нужно добавитьк нему заряд dQ = ρ · 4πR2 dR.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
