1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Отняв от 28 то число, которое на-,'Ф:; писано на верхней грани верхнего куба, вы безошибочно определяете сумму чисел на всех семи закрытых гранях столбика. .'.::';4,~ асч Кан отгадать сумму ненаписанных насел Если к пятизначному числу прибавить 99999, то есть 100000 — 1, то впереди числа появится единица, а последнии цифра уменьшится на единицу. На этом и основан фокус. Прибавив мысленно к первому слагаемому 99 999 84706 + 99999, вы пишете будушую сумму трех слагаемых: 184 705. Бам нужно теперь только позаботиться, чтобы второе и третье слагамые вместе составляли 99999. Для этого при записывании третьего слагаемого вы каждую цифру второго слагаемого вычитаете в уме из девяти.
В нашем примере второе слагаемое 30485; поэтому вы пишете 69 514. Так как 30485 + 69514 99999, то заранее написанный результат неизбежно должен оправ- даться. «В Кенигсберге' есть остров, называемый Кнейпгоф. Река, омывающая его, делится на два рукава (рис. 280), через которые перекинуто селгь мостов: а, в, с, г!, е, ), я.
Можно ли обойти все эти мосты, не побывав пи на одном из ннх более раза? Некоторые утверждают, что это возможно. Другие, напротив, находят такое требование неосуществимым». Каково же ваше мнение, читатель? Что такое тоиологияг Задаче о кенигсбергских мостах Эйлер посвятил целое математическое исследование, которое было в !736 году представлено в Петербургскую Академию наук. Работа эта начинается следующилги строками, определяющими, к какой области математики относятся подобные вопросы: «Кроме той отрасли геометрии, которая рассматривает величины и способы измерения н которая тщательно разрабатывалась еще в древности, Лейбниц первый упомянул о другой отрасли, названной им «геометрией положения». Эта отрасль геометрии занимается только порядком расположения частей фигуры друг относительно друга, отвлекаясь от их размеров'.
Недавно мне пришлось слышать об одной задаче, относящейся к геометрии положения, н я решил изложить здесь в виде примера найденный мной способ решения этой задачи». Эйлер имеет в виду задачу о кенигсбергских мостах. Рассуждений великого математика мы здесь излагать не станем, а ограничимся сейчас краткими соображениями, подтверждаюгцнми его окончательный вывод. Он состоит в том, что требуемый задачей обход невыполним. Разбор задачи Для наглядности заменим рисунок расположения речных рукавов упрощенной схемой (рис. 28!).
В предложенной задаче размер острова н длина мостов никакого значения не имеют (такова, лиы знаем„характернаи особенность всех топологиче- ' Теперь г. Калининград, з В наше время эту отрасль высшси гвомс"грин принято называть «топология»; она развилась в сбширную матсматнчсскую .науку. Задачи, предлагаемые в этом разделе, относима к области, составляюшсб лишь небольшую часть гсн1ологии. 4 с к их Зада ельных Поэто В;-С,,О ( чками с ИЯ,ВКО ода.
Зад ИМ, КТО рис. 281) ая пера НОЙ ЛИН Покаж ь одни ле, вка В надо ятем эт ти; иск ки: Вп ности бхода кях, кр вооб 3 ТОЧЕК ТОМУ Н' ователь ч: они рязмеро му мы рис. 28 оответ ТОРЫХ ача св МУ, ЧТО ОДНИЬ от бук ии два ЕМ, ЧТ М РОСЧЕ ждую прийт у точку лючени ервую н покида на~ей оме дв ще четн А, В, ичертит но,ио то ~ д ( од Попытайтесь нарисовать одним росчерком каждую из следующих семи фигур. Помните требования: начертить все линии заданной фигуры, не отрывая пера от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии. Попытки вычерчивания непрерывной линией фигур 1 — 6 (рцс. 282) приводят к неодинаковым результатам.
Некоторые фигуры удается вычерчивать, с какой бы точки ни начинать вести первую линию. Другие вычерчиваются одним росчерком в тех лишь случаях, когда начинают с определенных точек. Наконец, третьи вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией. Чем обусловлено подобное различие? Существуют ли признаки, позволяющие установить заранее, поддает- 4)О тит ~У де С, Ри~. 281. пу начальная и конечная точ ходить, вторую нет надоб можности непрерывного о чтобы во всех узловых точ два, либо по четыре пути— шей же фигуре в каждой и нечетное число линий. Поэ НЕЛЬЗЯ; НЕВОЗМОЖНО, СЛЕД мосты требуемым образом не зависят от относи- в частей фигуры).
можем местности А, О) заменить на схеме ствующего наименова- встречаются пути ободится теперь, как вибы начертить фигуры 4 росчерком, не Отр ы- .,-::.,::::;;:::;:-'~~$ ~аги и не проводя ни:."„::,".Й о фигуру нашу начер- .:::-::.:::;::-:.';-.'4 рком нельзя. В самом из узловых точек А, В, и по одному из путей покинуть по другому е составляют только е надо ниоткуда при- ТЬ.
ЗНЯЧИТ, ДЛЯ ВОЗ- фигуры необходимо, ух, сходилось либо по ое число путей. В на- С, В сходится как раз ее одним росчерком бойти кенигсбергские ся ли данная Фигу1)а вырисовываник) Одним Росчерком, и если поддается, то с какой точки следует начинать черчение? Теория дает на эти вопросы исчерпывающие ответы, и мы сейчас познакомимся с некоторыми положениями этой теории. Условимся называть «четными» те точки фигуры, в которых сходится ч е т и О е числО линиЙ, В Отличие От тОчек «нечетных», в которых встречается н еч е т но е число линий.
Можно доказать (приводить доказательств не станем), что, какова бы ни была фигура, нечетных точек в ней либо нет совсем, либо их имеется две, четыре, шесть — вообще четное число. Если нечетных точек в фигуре н е т, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и б (рис.
282). Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то тякую фигуру можно нарисоВать Одним росчерком, нячяв черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, д, б; в фигуре о, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В. Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек.
Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, Рис. 282. фиг у а ссор : «В лож у пу нед соб фи бу ойдя уры н также В. Л се уж сутст м, что И ЭТЯ Им, На ти: АВ очерч ой не гуру А дет не п уть ачала перей ельз ,ск ренс е на вующ бы лини прим СВ. енны ЕС, ДОЧЕ АВС обч Ти К я нарисовать о акой точки над предлагает рук черченные лин ими и при вы фигура сохрани Я тЯкже буДет и ер, что вычерч Если теперь пр ми две фигур язяны (фигур мы не сможем рчР.нных ли.ний, В, Нельзя идти ертить путь Вв фигуре АРС'.
д11им росчерко о начинать вь оводствоватьс ии заданной ооре очередно" ла цельность зъята из черт иванне фигуры ОВЕСТИ ЛИНИЮ ы — АСГиВ а 5 распалясь перейти к фигу их связываю дальше по ли ЕВ и за~ем по м и 1ЧЕРЧ Я ДЯЛ фигур и лин (не ежя». 5 нач .ОА, т .ЮЕ, к ). Тог ре ВВ щ,их. оста Еще семь задач Качертите одним росчерком следующие фигуры: Рис. 283. какие можно Профе ВИЛОМ считат дить з лась), ПО таком нутся между КОНЧИВ КЯК НЕ МУ, ПР следуе линии какие ивание. ее пра- -.,:-:.,:::::„',''® ы надо ии сл.- распаато по о остаоторые дя, зя- Е, так ПоэтоВА, а вшейс .
В заключение предлагаем задачу, составляющую сюжет одного из экспонатов математического зала Дома занимательной науки. Задача состоит в том, чтобы пройти по 17 мостам, соединяющим участки изображенной здесь территории Ленинграда, не побывав ни на одном мосту два раза. В отличие от кенигсбергской задачи, требуемый обход на этот раз выполним, и наш читатель достаточно вооружен тейерь теоретически, чтобы справиться с задачей самостоятельно.
1-1а внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля'меда в 3 см от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась. - муха (рис. 301). Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до меловой капли. Высота банки 20 см; диаметр 1О см. Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи; для этого ей нужно было бы обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы. Рис. 301, У дороги лежит тесаный гранитный камень в 30 см длины, 20 см высоты и такой же толщины (рис. 302). В точ- Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара? ке А — жук, намеревающийся кратчайшим путем направиться к углу В.
Как пролегает этот кратчайший путь и какой он длины? Путешествие шмеля Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родно~о гнезда он летит прямо на юг, персссиает речку и наконец после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса, Теперь надо посетить сад, где шмель вчера заметил цветущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, н шмель спешиг прямо туда.
Спустя з/, часа ои был уже в саду. Крыжовник в полном цвету, и, чтобы посетить все кусты, попадоби.тось шмелю 1'/з часа. А затем, не отвлекаясь в стороны, шмель кратчайшей дорогой полетел домой, в родное гнездо, Сколько времени шмель пробыл в отсутствии? Ф Основание Карфагена Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тпрского царя, потеряв мужа, убитою рукой ее брата, бежала в Лфрику и высадилась со многимн жителями Тира иа ее северном берегу. Здесь опа купила у пумиднйского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура>.
Когда сделка состоялась, ,Цидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и бла~одаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости, Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город. Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на копорыс Дндона ее разрезала, принять равной 1 мм. о т в и т ы Телега На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии.
Но в том-то и состоит овладение этой наукой„чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу безусловно геометрическая: без знания геометрии ее не решить. Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колеса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее; у меньшего круга и окружность меньше — оттого она укладывастсч в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние ее колеса делают больше оборотов, нежели задние, а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось. Число граней Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления, У шестигранного карандаша не шесть граней, как, вероятно, полагает большинство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
