1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТР. К. БельхееваРЯДЫ ФУРЬЕВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчебное пособиеНовосибирск2011УДК 517.52ББК В161Б44Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах:Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.76 с.ISBN 978-5-94356-983-8В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детальноразобран пример применения метода Фурье к решению задачи опоперечных колебаниях струны.
Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения.Предназначено для студентов и преподавателей физическогофакультета НГУ.Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.Рецензент д-р физ.-мат. наук. В.
А. АлександровПособие подготовлено в рамках реализации Программыразвития НИУ-НГУ на 2009–2018 гг.ISBN 978-5-94356-983-8cНовосибирский государственный университет, 2011cБельхеева Р. К., 20111. Разложение 2π-периодическойфункции в ряд ФурьеОпределение. Рядом Фурье функции f (x) называетсяфункциональный ряд∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx) ,2n=1(1)где коэффициенты an , bn вычисляются по формулам:1an =πZπf (x) cos nx dx,n = 0, 1, . . . ,(2)Zπf (x) sin nx dx,n = 1, 2, .
. . .(3)−π1bn =π−πФормулы (2)–(3) называют формулами Эйлера—Фурье.Тот факт, что функции f (x) соответствует ряд Фурье (1)записывают в виде формулы∞f (x) ∼a0 X+(an cos nx + bn sin nx)2n=1(4)и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f (x).Другими словами, формула (4) означает только то, чтокоэффициенты an , bn найдены по формулам (2), (3).3Определение. 2π-периодическая функция f (x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [−π, π] найдетсяконечное число точек −π = x0 < x1 < . .
. < xn = π таких,что в каждом открытом промежутке (xj , xj+1) функция f (x)непрерывно дифференцируема, а в каждой точке xj существуют конечные пределы слева и справа:f (xj − 0) = lim f (xj − h), f (xj + 0) = lim f (xj + h), (5)h→+0h→+0f (xj − h) − f (xj − 0),h→+0−hf (xj + h) − f (xj + 0).h→+0h(6)Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значенийf (xj − 0) и f (xj + 0) значениями f (xj ).limlimТеорема о представимости кусочно-гладкой функции вточке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости).
Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функцииf (x) сходится в каждой точке x ∈ R, а его сумма равначислу f (x), если x — точка непрерывности функции f (x),f (x + 0) + f (x − 0)и равна числу, если x — точка разрыва2функции f (x).ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [−π, π] формулой, f (x) = |x|,предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы∞∞XX11числовых рядов,.2(2n + 1)n2n=0n=1Решение. Построим график функции f (x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k — целое число (рис. 1).4Рис. 1.
График функции f (x)Вычислим коэффициенты Фурье1a0 =πZπ−π1an =πZππ1 x2 f (x) dx = = π,π 2−π2f (x) cos nx dx =π−πZπf (x) cos nx dx =0 π2 x sin nx cos nx 2 cos nx − cos 0=+= =2πnnπn2042 (−1)n − 1 − πn2 , при n нечетном,==πn20, при n четном,Zπ1f (x) sin nx dx = 0,bn =π−πпотому что функция f (x) — четная. Запишем формальный ряд Фурье для функции f (x):∞f (x) ∼π4 X cos (2k + 1)x−.2 π k=0 (2k + 1)25Выясним является ли функция f (x) кусочно-гладкой.
Таккак она непрерывна, вычислим только пределы (6) в конечных точках промежутка x = ±π и в точке излома x = 0 :π−h−πf (π − h) − f (π − 0)= lim= 1,h→+0h→+0−h−hlimlimh→+0f (−π + h) − f (−π + 0)−π + h − (−π)= lim= 1,h→+0hh0+h−0f (0 + h) − f (0 + 0)= lim= 1,limh→+0h→+0hhиf (−0 − h) − f (−0 − 0)−0 − h − (−0)= lim= 1.h→+0h→+0−h−hlimПределы существуют и конечны, следовательно, функциякусочно-гладкая.
По теореме о поточечной сходимости ее рядФурье сходится к числу f (x) в каждой точке, т. е.∞4 X cos (2k + 1) + xπ=f (x) = −2 π k=0(2k + 1)2π4= −2 π11cos x + cos 3x +cos 5x + . . . .925(7)На рис. 2, 3 показан характер приближения частичныхсумм ряда Фурье Sn (x), гдеna0 X+(ak cos kx + bk sin kx),Sn (x) =2k=1к функции f (x) в промежутке [−π, π].6Рис. 2. График функции f (x) с наложеннымина него графиками частичных суммa0a0и S1 (x) =+ a1 cos xS0 (x) =22Рис. 3.
График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммыa0S99 (x) =+ a1 cos x + · · · + a99 cos 99x27Подставив в (7) x = 0 получим:∞14Xπ,0= −2 π k=0 (2k + 1)2откуда мы находим сумму числового ряда:1+1π21++...=.32 528Зная сумму этого ряда, легко найти следующую суммуS =1+1111+ 2 + 2 + 2 + ... .22345Имеем: 1 π2 11111S= 1 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 + 2 + ...
=+ S,3524684следовательно∞Xπ2π21S = , то есть=.6n26n=1Сумму этого знаменитого ряда впервые нашел Леонард Эйлер. Она часто встречается в математическом анализе и егоприложениях.ПРИМЕР 2. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции заданной формулой f (x) = x для −π ≤ x < π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых∞ 1 1X(−1)nрядов+, 1+ − +2n + 12 4n=0 1 111 + ...+ −+ ... .++ − +5 73k − 1 3k + 1Решение. График функции f (x) приведен на рис.
4.8Рис. 4. График функции f (x)Функция f (x) непрерывно-дифференцируема на промежутке (−π, π). В точках x = ±π, она имеет конечные пределы (5): f (−π) = −π, f (π) = π. Кроме того существуютконечные пределы (6):f (−π + h) − f (−π + 0)=1 иh→+0hlimf (π − h) − f (π + 0)= 1.h→+0−hЗначит, f (x) — кусочно-гладкая функция.Так как функция f (x) нечетна, то an = 0. Коэффициенты bn находим интегрированием по частям:lim1bn =πZπ−ππ11 f (x) sin πnxdx = −x cos nx−π +πnnZπ−πcos nxdx =12(−1)n+1[(−1)n π + (−1)n π] =.πnnСоставим формальный ряд Фурье функции=−f (x) ∼∞X2(−1)n+1nn=19sin nx.Согласно теореме о поточечной сходимости кусочно-гладкой 2π-периодической функции ряд Фурье функции f (x) сходится к сумме:∞X2(−1)n+1sin nx =nn=1f (x) = x, если − π < x < π,f (π − 0) + f (π + 0)= 0,еслиx = π, (8)=2 f (−π − 0) + f (−π + 0) = 0, еслиx = −π.2На рис.
5–8 показан характер приближения частичныхсумм Sn (x) ряда Фурье к функции f (x).Рис. 5. График функции f (x) с наложенным на негоa0графиком частичной суммы S1 (x) =+ a1 cos x210Рис. 6. График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммы S2 (x)Рис. 7. График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммы S3 (x)11Рис. 8. График функции f (x) с наложенным нанего графиком частичной суммы S99 (x)Используем полученный ряд Фурье для нахождения суммдвух числовых рядов.
Положим в (8) x = π/2. Тогда1 1 1π2 1 − + − + . . . = , или3 5 72∞X (−1)nπ1 1 1= .1 − + − + ... =3 5 72n + 14n=0Мы легко нашли сумму известного ряда Лейбница.Положив в (8) x = π/3, найдем√√ √3 1 √ 3 1 π1 − 3 1 − 32 1·− ·+ ·0− ·+ ·+ ... = ,22 2342523или√ 1 1 1 13π11 +. . . =+.1+ − + + − + +. . .+ −2 45 73k − 1 3k + 1912ПРИМЕР 3. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции f (x) = | sin x|, предполагая, что она имеет период 2π, и∞X1вычислим сумму числового ряда.24n − 1n=1Решение. График функции f (x) приведен на рис.
9. Очевидно, f (x) = | sin x| непрерывная четная функция с периодом π. Но 2π тоже является периодом функции f (x).Рис. 9. График функции f (x)Вычислим коэффициенты Фурье. Все bn = 0 потому, чтофункция четная. Пользуясь тригонометрическими формулами вычислим an при n 6= 1 :ZπZπ12an =| sin x | cos nx dx =sin x cos nx dx =ππ−π=1π0Zπ01=−π(sin(1 + n)x − sin(1 − n)x) dx =cos(1 + n)x cos(1 − n)x+1+n1−n( 4 1− 2, если=πn −10,если13 π2 1 + (−1)n= =π1 − n20n = 2k,n = 2k + 1.Это вычисление не позволяет нам найти коэффициент a1 ,потому что при n = 1 знаменатель обращается в ноль. Поэтому вычислим коэффициент a1 непосредственно:1a1 =πZπ−π| sin x | cos x dx = 0.Так как f (x) непрерывно дифференцируема на (−π, 0) и(0, π) и в точках kπ, (k — целое число), существуют конечныепределы (5) и (6), то ряд Фурье функции сходится к ней вкаждой точке:∞24 X cos 2nx| sin x| = −=π π n=1 4n2 − 142= −π π111cos 2x +cos 4x +cos 6x + .
. .31535.На рис. 10–13 показан характер приближения функции f (x) частичными суммами ряда Фурье.Рис. 10. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S0 (x)14(9)Рис. 11. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S1 (x)Рис. 12. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S2 (x)Рис. 13. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S99 (x)15∞X1. Для этого−1n=1положим в (9) x = 0. Тогда cos nx = 1 для всех n = 1, 2, . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
