1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Графики функций f ∗ (x) и S2 (x)Рис. 26. Графики функций f ∗ (x) и S3 (x)31Рис. 27. Графики функций f ∗ (x) и S4 (x)Рис. 28. Графики функций f ∗ (x) и S99 (x)ЗАДАЧИ9. Разложите функцию f (x) = cos x, 0 ≤ x ≤ π, в ряд Фурьетолько по косинусам.10. Разложите функцию f (x) = eax , a > 0, 0 ≤ x ≤ π, в рядФурье только по синусам.11. Разложите функцию f (x) = x2 , 0 ≤ x ≤ π, в ряд Фурьетолько по синусам.12. Разложите функцию f (x) = sin ax, 0 ≤ x ≤ π, в рядФурье по только косинусам.13.
Разложите функцию f (x) = x sin x, 0 ≤ x ≤ π, в рядФурье только по синусам.Ответы∞k2 X1 − (−1)k eaπ 29. cos x = cos x. 10. e =sin kx.π k=1a + k2 2∞P222n−1 πn11. x(−1)+ 3 ((−1) − 1) sin nx.π n=1nnax3212. Если a — не является целым числом, то∞Pcos 2nx o1 − cos aπ n1 + +2a+sin ax =22πn=1 a − (2n)∞ cos(2n − 1)x1 + cos aπ P+2a; если a = 2m — четное22πn=1 a − (2n − 1)∞8m X cos(2n − 1)xчисло, то sin 2mx =;π n=1 (2m)2 − (2n − 1)2если a = 2m − 1 — положительное нечетное число, то∞oX2ncos 2nxsin(2m − 1)x =1 + 2(2m − 1).2 − (2n)2π(2m−1)n=1∞16 Xnπsin 2nx.13. sin x −2π n=1 (4n2 − 1)23. Ряд Фурье функции спроизвольным периодомПредположим, что функция f (x) задана в промежутlyке [−l, l], l > 0. Сделав подстановку x = , −π ≤ y ≤ π, поπлучим функцию g(y) = f (ly/π), определенную в промежутке[−π, π].
Этой функции g(y) соответствует (формальный) рядФурье ∞lya0 Xf= g(y) ∼+(an cos ny + bn sin ny),π2n=1коэффициентыЭйлера—Фурье:1an =πZπ−πкоторого1g(y) cos ny dy =πнаходятсяпоформуламZπ lyfcos ny dy, n = 0, 1, 2, . . . ,π−π331bn =πZπZπ lyfsin ny dy, n = 1, 2, . . . .π1g(y) sin ny dy =π−π−πВозвращаясь к старой переменной, т. е. полагая в выписанных формулах y = πx/l, мы получим для функции f (x)тригонометрический ряд несколько измененного вида:∞гдеa0 X πnxπnx f (x) ∼,+an cos+ bn sin2lln=11an =lZlf (x) cosπnxdx,l(11)n = 0, 1, 2, . .
. ,(12)n = 1, 2, . . . .(13)−l1bn =lZlf (x) sinπnxdx,l−lГоворят, что формулы (11)–(13) задают разложение в рядФурье функции с произвольным периодом.ПРИМЕР 9. Найдем ряд Фурье функции, заданной в промежутке (−l, l) выражениемA, если − l < x ≤ 0,f (x) =B, если0 < x < l,считая, что она периодична с периодом 2l.Решение.
Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f ∗ (x), кусочно-постоянную в промежутках (−l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающуюразрывы первого рода в точках x = lk, k — целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются поформулам (12) и (13):341a0 =lZl1f (x) dx =l−lZ01A dx +lZlB dx = A + B,0−l1an =lZlf (x) cosπnxdx =l−l1=lZ0πnx1A cosdx +llB cosπnxdx =l0−l=ZlA+Bsin πn = 0, если n 6= 0,πnZlπnx1f (x) sinbn =dx =ll−l1=lZ0πnx1A sindx +llZlB sinπnxdx =l0−lB−A(1 − cos πn).πnСоставим ряд Фурье функции f ∗ (x) :=∞1XA+B+f (x) ∼2π n=1B−Aπnx(1 − cos πn) sinnlТак как cos πn = (−1)n , топри n = 2k получаем bn = b2k = 0,при n = 2k − 1— bn = b2k−1 =352(B − A).π(2k − 1).A+B+22(B − A) πx 13πx 15πx+sin+ sin+ sin+ ...
.πl3l5lОтсюда f (x) ∼Согласно теореме о поточечной сходимости ряд Фурье функции f (x) сходится к суммеA, если − l < x ≤ 0,A+BS(x) =, если x = 0, x = ±l,2B, если0 < x < l.Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций.Пусть l = π, A = 0, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f ∗ (x) и частичнойсуммыa0+ b1 sin x + .
. . + b7 sin 7x.S7 (x) =2a0Величинаявляется средним значением функции на про2межутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием частоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали.На рис. 30 приведен график функции f (x) и частичнойсуммыS99 (x) =a0+ b1 sin x + . . . + b99 sin 99x.2Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса.36Рис. 29. График функции f ∗ (x) с наложенными на негоa0графиками гармоник S 0 (x) =и S 1 (x) = b1 sin x.2Для наглядности графики трех высших гармоник3πx5πx, S 5 (x) = b5 sinS 3 (x) = b3 sinll7πxсдвинуты по вертикали вверхи S 7 (x) = b7 sinl37Рис.
30. График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммы S99 (x)Рис. 31. Фрагмент рис. 30 в другом масштабе38ЗАДАЧИВ задачах 14–21 разложить в ряды Фурье указанные функции в заданных промежутках.114. f (x) = |x| − , (−1, 1).15. f (x) = ch2x, (−2, 2].2π16. f (x) = |x| (1 − |x|) , (−1, 1]. 17.
f (x) = cos x, [−1, 1].2π18. f (x) = sin x, (−1, 1). 21, если −1 < x < 1,2l = 4.19. f (x) = 0, если 1 < x < 3;если 0 ≤ x ≤ 1, x,1,если 1 < x < 2,20. f (x) =2l = 3. 3 − x, если 2 ≤ x < 3;0,если −π ≤ ωx ≤ 0,21. f (x) =2l = 2π/ω.sin ωx, если 0 ≤ ωx ≤ π;Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам;б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (0, l)ax, если 0 < x < l/2,22. f (x) = a(l − x), если l/2 < x < l.1, если 0 < x ≤ 1,23.
f (x) =2 − x, если 1 ≤ x ≤ 2.14.15.16.17.Ответыcos(2n − 1)πx4.f (x) = − 2π n=1 (2n − 1)2∞Xsh4nπx(−1)nf (x) =+ 8 sh4cos.22416 + π n2n=1∞11 X cos 2nπxf (x) = − 2.6 π n=1n2∞28 X (−1)n nf (x) = +cos nπx.π π n=1 1 − 4n2∞P39∞8 X (−1)n nsin nπx.π n=1 1 − 4n2∞1 2 X (−1)n2n + 119. +cosπx.2 π n=1 2n + 12∞6 X 12πnxπn2sin2cos.20. − 223 π n=1 n33∞1 12 X cos 2nωx21. + sin ωx −.π 2π n=1 4n2 − 1∞l2 P(4n − 2)πx122. а) f (x) = al,−cos4 π 2 n=1 (2n − 1)2l∞ (−1)n−1(2n − 1)πx4al Psin.б) f (x) = 22π n=1 (2n − 1)l323. а) f (x) = +422π13π15π4 π+ 2 cos x − 2 cos x + 2 cos x + 2 cos x − . . .
,π2 2232254π13πб) f (x) = 2 sin x − 2 sin x + . . . +π232π12π2sin x + cos x + . . . .+π22218. f (x) =4. Комплексная форма ряда ФурьеРазложение f (x) =∞Xinxcn en=11, где cn =2πZπ−πf (x)e−inx dx,n = ±1, ±2, . . . , называется комплексной формой ряда Фурье.Функция разлагается в комплексный ряд Фурье при выполнении тех же условий, при которых она разлагается ввещественный ряд Фурье.40ПРИМЕР 10.
Найдем ряд Фурье в комплексной формефункции, заданной формулой f (x) = eax , в промежутке [−π, π), где a — вещественное число.Решение. Вычислим коэффициенты:1cn =2πZπ1f (x)e−inx dx =2π−π=Zπe(a−in)x dx =−π1(−1)n(−1)n eaπ − (−1)n e−aπ =sh aπ.2π(a − in)π(a − in)Комплексный ряд Фурье функции f имеет вид∞sh aπ X (−1)n inxe .f (x) ∼π n=−∞ a − inУбедимся, что функция f (x) является кусочно-гладкой: впромежутке (−π, π) она непрерывно-дифференцируема, и вточках x = ±π существуют конечные пределы (5), (6)lim ea(−π+h) = e−aπ ,h→+0lim ea(π−h) = eaπ ,h→+0ea(−π+h) − ea(−π+0)ea(π−h) − ea(π−0)= ae−aπ , lim= aeaπ .h→+0h→+0h−hСледовательно, функция f (x) представима рядом Фурьеlim∞sh aπ X (−1)n inxe ,π n=−∞ a − inкоторый сходится к сумме: axe , если − π < x < π,S(x) =ch a, если x = ±π.41ПРИМЕР 11.
Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулойf (x) =1 − a2,1 − 2a cos x + a2где |a| < 1, a ∈ R.Решение. Функция f (x) является четной, поэтому длявсех n bn = 0, а2an =πZπ2 (1 − a2 )f (x) cos nxdx =π0Zπ0cos nxdx.1 − 2a cos x + a2Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применимследующий прием:1. используя формулы Эйлераeix − e−ixz − z −1eix + e−ixz + z −1sin x ==, cos x ==,2i2i22где z = eix , преобразуем f (x) к рациональной функции комплексной переменной z;2.
полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби;3. разложим простейшую дробь по формуле геометрическойпрогрессии;4. упростим полученную формулу.Итак, по формулам Эйлера получаемf (x) ==1 − a2=1 − a(z + z −1 ) + a2a1(a2 − 1)z=+.(z − a)(z − a−1 )z − a 1 − az42(14)Напомним, что сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q (|q| < 1) вычисляется по формуле:+∞Xqn =n=01.1−qЭта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку |az| = |a| < 1 и |a/z| = |a| < 1,то+∞+∞XX1n n=a z =an einx ,1 − azn=0n=0+∞+∞+∞aa X an X an+1 X n+1 −i(n+1)x1a====a e.z−az 1 − a/zz n=0 z nz n+1n=0n=0После замены переменной −(n + 1) = k, −∞ < k < −1,получим:−1Xa=a−k eikx .z−ak=−∞Следовательно,f (x) ∼+∞Xinxcn e, где cn =n=−∞an , если n ≥ 0,a−n , если n < 0,то есть cn = a|n| .Поскольку функция f (x) непрерывна, то в силу теоремыо поточечной сходимости имеет место равенство:f (x) =+∞Xa|n| einx .n=−∞Тем самым мы разложили функцию f (x) в ряд Фурье в комплексной форме.43Теперь найдем ряд Фурье в вещественной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
