1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Дляэтого сгруппируем слагаемые с номерами n и −n для n 6= 0 :an einx + an e−inx = 2aneinx + e−inx= 2an cos nx.2Поскольку c0 = 1, тоf (x) =∞X1 − a2=1+2an cos nx.1 − 2a cos x + a2n=1Это ряд Фурье в вещественной форме функции f (x).Таким образом, не вычислив ни одного интеграла, мы нашли ряд Фурье функции.

При этом мы вычислили трудныйинтеграл, зависящий от параметраZπ−πcos nx dx2 π an=,1 − 2a cos x + a21 − a2|a| < 1.(15)ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулойa sin xf (x) =, |a| < 1, a ∈ R.1 − 2a cos x + a2Решение. Функция f (x) является нечетной, поэтому длявсех n an = 0 и2bn =πZπ2af (x) sin nxdx =π0Zπ0sin x sin nxdx.1 − 2a cos x + a2Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом:44ii (a + a−1 )z − 2a(z − z −1 )=+=2i (1 − a(z − z −1 ) + a2 )2 2 (z − a)(z − a−1 )iaia−1= +.+2 2 z − a z − a−1Каждую из простых дробей разложим по формуле геометрической прогрессии:f (x) =+∞a X ana 1a==,z−az1− az n=0 z nz+∞Xa−11an z n .=−=−z − a−11 − azn=0Это возможно, так как |az| = |a/z| = |a| < 1.

Значит −n+∞ ia /2, если n < 0,Xinx0,если n = 0,f (x) ∼cn e , где cn =n=−∞−ian /2, если n > 0,1или, более коротко, cn = a|n| sgn n. Тем самым, ряд Фурье2iв комплексной форме найден.Сгруппировав слагаемые с номерами n и −n получимряд Фурье функции в вещественной форме:+∞Xa sin x∼cn einx =f (x) =1 − 2a cos x + a2 n=−∞ X+∞ +∞X1 n inx1 n −inx==an sin nx.a e − a e2i2in=1n=1Вновь нам удалось вычислить следующий сложный интеграл:Zπsin x sin nx dx= π an−1 .(16)1 − 2a cos x + a2−π45ЗАДАЧИ24. Используя (15), вычислите интегралZπ−πcos nx dx1 − 2a cos x + a2для вещественных a, |a| > 1.

25. Используя (16), вычислитеZπsin x sin nx dxинтегралдля вещественных a, |a| > 1.1 − 2a cos x + a2−πВ задачах 26–28 найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций.26. f (x) = sgn x, π < x < π.27. f (x) = ln(1 − 2a cos x + a2 ), |a| < 1.1 − a cos x28. f (x) =, |a| < 1.1 − 2a cos x + a229. Докажите, что функция f , определенная в промежутке[−π, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты cn ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениямиcn = c−n , n = 0, ±1, ±2, . . .

.30. Докажите, что функция f , определенная в промежутке [−π, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f (−x) = f (x)), если и только если коэффициенты cn еекомплексного ряда Фурье связаны соотношениями cn = c−n ,n = ±1, ±2, . . . .31. Докажите, что функция f , определенная в промежутке [−π, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f (−x) = −f (x)), если и только если коэффициенты cn ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениямиcn = −c−n , n = 0, ±1, ±2, . .

. .Ответы+∞1 2ππi X e2inx24. n 2. 25. n+1 . 26. −, где подразумеваa a −1aπ n=−∞ nется, что слагаемое, соответствующее n = 0, пропущено.∞ an∞PP27. −2cos nx. 28.an cos nx.nn=1n=0465. Равенство Ляпунова(равенствоЛяпунова). Пусть функцияZπf 2 (x) dx < +∞, и пусть an ,f : [−π, π] → R такова, чтоТеорема−πbn — ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство,∞a20 X 21+(an + b2n ) =2πn=1Zπf 2 (x) dx,−πназываемое равенством Ляпунова.ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции1, если |x| < a,f (x) =0, если a < |x| < πи найдем с его помощью суммы числовых рядов+∞Xsin2 nan=1n2+∞Xиn=11.(2n − 1)2Решение. Очевидно,1πZπ1f (x) dx =π2−πZadx =2a.π−aТак как f (x) — четная функция, то для всех n имеемbn = 0,ZπZa22a2f (x) dx =dx =,a0 =πππ00472an =πZπ2f (x) cos nx dx =π0Zacos nx dx =2 sin na.πn0Поэтому равенство Ляпунова для функции f (x) принимаетвид:∞2 a2 X 4 sin2 na2a+=.222ππ nπn=1Из последнего равенства для 0 ≤ a ≤ π находим∞Xsin2 nan2n=1=a(π − a).2π, получаем sin2 na = 1 при n = 2k − 1 и2sin2 na = 0 при n = 2k.

Следовательно,Полагая a =∞Xk=11111π2=1++++...=.(2k − 1)29 25 498ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f (x) = |x| cos x, x ∈ [−π, π], и найдем с его помощью сум∞X(4n2 + 1)2му числового ряда.(4n2 − 1)4n=1Решение. Прямые вычисления дают1πZπ1f (x) dx =π2−πZπ1x cos x dx =π22−πZπx21 + cos 2xdx =2−ππZπZπ2π1π11=x sin 2xdx =cos 2xdx =−+ x cos x − 4π32π34π2−π−π21π+ .=3248−πПоскольку f (x) — четная функция, то для всех n имеемbn = 0,ZπZπ22f (x) cos nx dx =x cos x cos nx dx =an =ππ0=1π0Zπx (cos(n + 1)x + cos(n − 1)x) dx =0Zπ1sin(n + 1)xdx −sin(n − 1)xdx =π(n − 1)00ππ11+cos(n+1)xcos(n−1)x= =22π(n + 1)π(n − 1)1=−π(n + 1)Zπ0011(n+1)(n+1)=(−1)−1+(−1)−1=π(n + 1)2π(n − 1)211(−1)(n+1) − 1=+=π(n + 1)2 (n − 1)24 4k 2 + 1, если n = 2k,−(n+1)2(−1)−1 n +1π (4k 2 − 1)2=2=π(n2 − 1)2 0,если n = 2k + 1.Коэффициент a1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль.ZπZπ22f (x) cos x dx =x cos2 x dx =a1 =ππ01=πZπ00π1x(1 + cos 2x)dx = −2 2π49Zπ0sin 2x dx =π.2Таким образом, равенство Ляпунова для функции f (x)имеет вид:∞π 2 16 X (4n2 + 1)2π2 18++=+ ,π24π 2 n=1 (4n2 − 1)432откуда находим сумму числового ряда∞X(4n2 + 1)2n=1(4n2 − 1)4=π4π2 1+− .192 32 2ЗАДАЧИ32.

Напишите равенство Ляпунова для функцииx2 − πx, если 0 ≤ x < π,f (x) =−x2 − πx, если − π < x ≤ 0.33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos axи g(x) = sin ax, x ∈ [−π, π].34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая,что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctg aπ и (π/ sin aπ)2 по рациональным функциям:+∞πctg aπ =1 X 2a+,a n=1 a2 − n2+∞Xπ 21=.sin aπ(a − n)2n=−∞35. Выведите комплексную форму обобщенного равенстваЛяпунова.36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпуновасправедлива не только для вещественнозначных функций,но и для комплекснозначных функций.50Ответы∞64 Pπ41=.π 2 n=1 (2n + 1)615∞sin2 απsin2 απ Xα2sin 2απ=2 2 2 +4;33. 1 +2απα ππ 2 n=1 (α2 − n2 )2∞sin 2απsin2 απ Xn21−=4.2αππ 2 n=1 (α2 − n2 )2Zπ∞X135.f (x)g(x) dx =cn dn , где cn — коэффициент Фурье2π−∞32.−πфункции f (x), а dn — коэффициент Фурье функции g(x).6.

Дифференцирование рядов ФурьеПусть f : R → R — непрерывно дифференцируемая2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид:∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx) .f (x) =2n=1Производная f 0 (x) этой функции будет непрерывной и2π-периодической функцией, для которой можно записатьформальный ряд Фурье:∞Xa0f (x) ∼ 0 +(a0n cos nx + b0n sin nx) ,2n=10где a00 , a0n , b0n , n = 1, 2, .

. . — коэффициенты Фурье функции f 0 (x).51Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a00 = 0, a0n = nbn , b0n = −nan , n ≥ 1.ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f (x) непрерывна в промежутке [0, π]. Докажем, что при выполненииZπусловияf (x)dx = 0 имеет место неравенство0Zπ2[f (x)] dx ≤0Zπ2[f 0 (x)] dx,0называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций видаf (x) = A cos x .Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, привыполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном).Решение.Продолжим функцию f (x) на промежуток [−π, 0] четным образом.

Обозначим продолженнуюфункцию тем же символом f (x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [−π, π].Так как функция f (x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывZπ[f (x)]2 dx < +∞, следовательно, можнона на отрезке и−πприменить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство1πZπ−π+∞[f (x)]2 dx =a20 X 2+an + b2n .2n=152Так как продолженная функция четная, то bn = 0, a0 = 0по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимаетвидZπ∞X12[f (x)] dx =a2n .(17)πn=1−πУбедимся, что для f 0 (x) выполняется заключение теоремыо почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть чтоa00 = 0, a0n = nbn , b0n = −nan , n ≥ 1.Пусть производная f 0 (x) претерпевает изломы в точкахx1 , x2 , . .

. , xN в промежутке [−π, π]. Обозначим x0 = −π,xN +1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [−π, π] наN +1 промежуток (x0 , x1 ), . . . , (xN , xN +1 ), на каждом из которых f (x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используясвойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим:b0n1=πZπ−π=1πNXj=0xN Zj+11Xf (x) sin nxdx =f 0 (x) sin nxdx =π j=00xjxxj+1Zj+1−nf (x) cos nxdx =f (x) sin nxxjxjxj+1ZπN1Xn=−f (x) sin nxf (x) cos nxdx =π j=0πxj−π1[(f (x1 ) sin nx1 − f (x0 ) sin nx0 ) +π+ (f (x2 ) sin nx2 − f (x1 ) sin nx1 ) + . . . +=53+ (f (xN +1 ) sin nxN +1 − f (xN ) sin nxN )] − nan ===1[f (xN +1 ) sin nxN +1 − f (x0 ) sin nx0 ] − nan =π1[f (π) sin nπ − f (−π) sin(−nπ)] − nan = −nan .πxZπN Zj+1X11f 0 (x)dx =a00 =f 0 (x)dx =ππ j=0−πxjxj+1N1X1== (f (π) − f (−π)) = 0.f (x)π j=0πxjПоследнее равенство имеет место в силу того, что функция f (x) была продолжена четным образом, а значитf (π) = f (−π).Аналогично получим a0n = nbn .Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой2π-периодической функции, производная которой в промежутке [−π, π] претерпевает разрывы первого рода, верна.Значит∞∞Xa00 X 0+(an cos nx + b0n sin nx) =(−nan ) sin nx,f (x) ∼2n=1n=10так как a00 = 0, a0n = nbn = 0, b0n = −nan , n = 1, 2, .

Характеристики

Список файлов книги