1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. иВычислим сумму числового ряда4n2∞4X12−= 0.π π n=1 4n2 − 1Следовательно,∞Xn=1111111= ++++ ... = .−13 15 35 6324n2ПРИМЕР 4.Докажем, что если кусочно-гладкаянепрерывная функция f (x) удовлетворяет условиюf (x − π) = f (x) для всех x (т. е. является π-периодической),то a2n−1 = b2n−1 = 0 для всех n ≥ 1, и наоборот, еслиa2n−1 = b2n−1 = 0 для всех n ≥ 1, то f (x) — π-периодическая.Решение. Пусть функция f (x) является π-периодической.Вычислим ее коэффициенты Фурье a2n−1 и b2n−1 :a2n−11=πZπ−π1=πZ0−πf (x) cos(2n − 1)x dx =f (x) cos(2n − 1)x dx +Zπ0f (x) cos(2n − 1)x dx .В первом интеграле сделаем замену переменной x = t − π :Z0−πf (x) cos(2n − 1)x dx =Zπ0f (t − π) cos(2n − 1)(t + π) dt.16Пользуясь тем, что cos(2n − 1)(t + π) = − cos(2n − 1)t иf (t − π) = f (t), получим:ZπZπ1a2n−1 =− f (x) cos(2n−1)x dx+ f (x) cos(2n−1)x dx = 0.π00Аналогично доказывается, что b2n−1 = 0.Наоборот, пусть a2n−1 = b2n−1 = 0.
Так как функция f (x)непрерывна, то по теореме о представимости функции в точке своим рядом Фурье имеемf (x) =∞X(a2n cos 2nx + b2n sin 2nx) .n=1Тогдаf (x − π) ==∞Xn=1∞Xn=1a2n cos 2n(x − π) + b2n sin 2n(x − π) =a2n cos 2nx + b2n sin 2nx = f (x),что и означает, что f (x) является π-периодической функцией.ПРИМЕР 5. Докажем, что если кусочно-гладкая функция f (x) удовлетворяет условию f (x−π) = −f (x) для всех x,то a0 = 0 и a2n = b2n = 0 для всех n ≥ 1, и наоборот, еслиa0 = a2n = b2n = 0, то f (x − π) = −f (x) для всех x.Решение.
Пусть функция f (x) удовлетворяет условиюf (x − π) = −f (x). Вычислим ее коэффициенты Фурье:171an =πZπf (x) cos nx dx =−π1=πZ0f (x) cos nx dx +−πZπ0f (x) cos nx dx .В первом интеграле сделаем замену переменной x = t − π.ТогдаZ0f (x) cos nxdx =Zπf (t − π) cos n(t − π) dt.0−πПользуясь тем, что cos n(t − π) = (−1)n cos nt иf (t − π) = −f (t), получим:1an =πZπ0=0,2 π(−1)n+1 + 1 f (t) cos nt dt =если n четное,Zπf (t) cos nt dt, если n нечетное.0Аналогично доказывается, что b2n = 0.Наоборот, пусть a0 = a2n = b2n = 0, для всех n ≥ 1.Так как функция f (x) непрерывна, то по теореме о представимости функция в точке своим рядом Фурье справедливоравенствоf (x) =∞Xn=1(a2n−1 cos (2n − 1)x + b2n−1 sin (2n − 1)x) .18Тогдаf (x − π) ==−∞Xn=1∞Xn=1[a2n−1 cos(2n − 1)(x − π)++b2n−1 sin(2n − 1)(x − π)] =[a2n−1 cos(2n − 1)x + b2n−1 sin(2n − 1)x] = −f (x).ПРИМЕР 6. Изучим как следует продолжить интегрируемую на промежутке [0, π/2] функцию f (x) на промежуток [−π, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид:∞Xn=1a2n−1 cos(2n − 1)x.(10)Решение.
Пусть график функции имеет вид, приведенный на рис. 14. Поскольку в ряде (10) a0 = a2n = b2n = 0 длявсех n, то из примера 5 следует, что функция f (x) должнаудовлетворять равенству f (x − π) = −f (x) для всех x. Этонаблюдение дает способ продолжения функции f (x) на промежуток [−π, −π/2] : f (x) = −f (x + π), рис.
15. Из того, чторяд (10) содержит только косинусы, заключаем, что продолженная функция f (x) должна быть четной (т. е. ее графикдолжен быть симметричен относительно оси Oy), рис. 16.19Рис. 14. График функции f (x)Рис. 15. График продолжения функции f (x)на промежуток [−π, −π/2]20Итак, искомая функция имеет вид, приведенный нарис. 16.Рис.
16. График продолжения функции f (x)на промежуток [−π, π]Подводя итог, заключаем что функцию следует продолжить следующим образом: f (−x) = f (x), f (π − x) = −f (x),то есть на промежутке [π/2, π], график функции f (x) центрально симметричен относительно точки (π/2, 0), а на промежутке [−π, π] ее график симметричен относительно оси Oy.21ОБОБЩЕНИЕ ПРИМЕРОВ 3–6Пусть l > 0. Рассмотрим два условия:а) f (l − x) = f (x);б) f (l + x) = −f (x), x ∈ [0, l/2].С геометрической точки зрения условие (а) означает, чтографик функции f (x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) — что график f (x) центрально симметричен относительно точки (l/2; 0) на оси абсцисс.Тогда справедливы следующие утверждения:1) если функция f (x) четная и выполнено условие (а), тоb1 = b2 = b3 = .
. . = 0, a1 = a3 = a5 = . . . = 0;2) если функция f (x) четная и выполнено условие (б), тоb1 = b2 = b3 = . . . = 0, a0 = a2 = a4 = . . . = 0;3) если функция f (x) нечетная и выполнено условие (а), тоa0 = a1 = a2 = . . . = 0, b2 = b4 = b6 = . . . = 0;4) если функция f (x) нечетная и выполнено условие (б), тоa0 = a1 = a2 = . . .
= 0, b1 = b3 = b5 = . . . = 0.ЗАДАЧИВ задачах 1–7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурьедля функций,предполагая, что они имеют период 2π:0, если −π < x < 0,1.f (x) =1, если 0 < x < π. −1, если −π < x < −π/2,0, если −π/2 < x < π/2,2.f (x) =1, если π/2 < x < π.23.f (x) = x (−π < x < π).4.f (x) = x3 (−π < x < π).π/2 + x, если −π < x < 0,5.f (x) =π/2 − x, если 0 < x < π.226.f (x) =1, если −π/2 < x < π/2,−1, если π/2 < x < 3π/2.0,если −π < x < 0,sin x, если 0 < x < π.8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [0, π/2] функцию f (x) на промежуток [−π, π], чтобы ее∞Xряд Фурье имел вид:b2n−1 sin (2n − 1)x ?7.f (x) =n=1Ответы∞∞4 X sin(2n + 1)x1 2 X sin(2n − 1)x.
2..1. +2 π n=12n − 1π n=02n + 1∞∞XX12 2π 21 2(−1)nnsin nx.3. π + 4(−1)cos nx. 4.−3n2n3nn=1n=1∞∞4 X cos(2n + 1)x1 2 X (−1)n5.. 6. +cos(2n + 1)x.π n=0 (2n + 1)22 π n=0 2n + 1∞1 12 X cos 2nx7. + sin x −. 8. Функцию следует продолπ 2π n=1 4n2 − 1жить следующим образом: f (−x) = −f (x), f (π − x) = f (x),то есть на промежутке [0, π], график функции f (x) будетсимметричен относительно вертикальной прямой x = π/2,на промежутке [−π, π] ее график центрально симметриченотносительно точки (0, 0).232. Разложение функции, заданнойв промежутке [0, π], только посинусам или только по косинусамПусть функция f задана в промежутке [0, π]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, мы сначала продолжим f в промежуток [−π, π] произвольным образом, азатем воспользуемся формулами Эйлера—Фурье.
Произволв продолжении функции приводит к тому, что для одной итой же функции f : [0, π] → R мы можем получать различные ряды Фурье. Но можно использовать этот произвол так,чтобы получить разложение только по синусам или только по косинусам: в первом случае достаточно продолжить fнечетным образом, а во-втором — четным.Алгоритм решения1. Продолжить функцию нечетным (четным) образомна (−π, 0), а затем периодически с периодом 2π продолжитьфункцию на всю ось.2. Вычислить коэффициенты Фурье.3. Составить ряд Фурье функции f (x).4.
Проверить условия сходимости ряда.5. Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд.ПРИМЕР 7. Разложим функцию f (x) = cos x, 0 < x < π,в ряд Фурье только по синусам.Решение. Продолжим функцию нечетным образомна (−π, 0) (т. е. так, чтобы равенство f (−x) = −f (x) выполнялось для всех x ∈ (−π, π)), а затем периодически спериодом 2π на всю ось. Получим функцию f ∗ (x), графиккоторой приведен на рис. 17.24Рис. 17. График продолженной функцииОчевидно, что функция f ∗ (x) кусочно-гладкая. Вычислим коэффициенты Фурье: an = 0 для всех n потому, чтофункция f ∗ (x) — нечетна. Если n 6= 1, то2bn =πZπ2f (x) sin πnx dx =π02=πZπcos x sin nx dx =0Zπ0[sin (n + 1) x + sin (n − 1) x] dx = π2 cos (n + 1) x cos (n − 1) x =−+ =πn+1n−10n+1n−11 (−1)− 1 (−1)−1=−=+πn+1n−1если n = 2 k + 1, 0,1 − (−1)n+1 (n − 1) + (n + 1) ==π(n + 1)(n − 1) 2 2n , если n = 2k.π n2 − 1При n = 1 в предыдущих вычислениях знаменатель обращается в ноль, поэтому коэффициент b1 вычислим непосред25ственно:2b1 =πZπcos x sin x dx = 0.0Составим ряд Фурье функции f ∗ (x) :∞8Xkf (x) ∼sin 2kx.π k=1 4k 2 − 1∗Поскольку функция f ∗ (x) кусочно-гладкая, то по теореме опоточечной сходимости ряд Фурье функции f ∗ (x) сходитсяк сумме: − cos x, если − π < x < 0,0,если x = 0, x = ±π,S(x) =cos x,если0 < x < π.В результате функция f (x) = cos x, заданная на промежутке (0, π), выражена через синусы:∞8Xkcos x =sin 2kx,2π k=1 4k − 1x ∈ (0, π).Рис.
18–20 демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S1 (x), S2 (x), S3 (x) к разрывной функции f ∗ (x).26Рис. 18. График функции f ∗ (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S1 (x)Рис. 19. График функции f (∗ x) с наложенным на негографиком частичной суммы S2 (x)27Рис. 20. График функции f ∗ (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S3 (x)На рис. 21 приведены графики функции f ∗ (x) и ее частичной суммы S99 (x).Рис.
21. График функции f ∗ (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S99 (x)28ПРИМЕР 8. Разложим функцию f (x) = eax , a > 0,x ∈ [0, π], в ряд Фурье только по косинусам.Решение. Продолжим функцию четным образомна (−π, 0) (т.
е. так, чтобы равенство f (−x) = f (x) выполнялось для всех x ∈ (−π, π)), а затем периодически с периодом2π на всю числовую ось. Получим функцию f ∗ (x), графиккоторой представлен на рис. 22. Функция f ∗ (x) в точкахРис. 22. График продолженной функции f ∗ (x)x = kπ, k — целое число, имеет изломы.Вычислим коэффициенты Фурье: bn = 0,∗f (x) — четная. Интегрируя по частям получаем29так как2a0 =πZπeax dx =02an =πZπ2 aπ(e − 1) ,πa2f (x) cos πnx dx =π0=2πaZπ0Zπeax cos nx dx =0πZπ22ncos nx d(eax ) =eax sin nx dx =eax cos nx +πaπa0=2 aπ2n(e cos nπ − 1) + 2πaπaZπ0sin nx deax =0π2n ax2 aπ(e cos n π − 1) +esinnx= −πaπ a20−2n2π a2Zπeax cos nx dx =02 aπn2(e cos n π − 1) − 2 an .πaaСледовательно,an =2a eaπ cos n π − 1.πa2 + n2Поскольку f ∗ (x) непрерывна, то согласно теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к f ∗ (x).
Значит,для всех x ∈ [0, π] имеем∞1 aπ2a X eaπ (−1)k − 1f (x) =(e − 1)+cos kxπaπa2 + k 2k=1(0 ≤ x ≤ π).Рис. 23–28 демонстрируют постепенное приближение частичных сумм ряда Фурье к заданной разрывной функции.30Рис. 23. Графики функций f ∗ (x) и S0 (x)Рис. 24. Графики функций f ∗ (x) и S1 (x)Рис. 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
