1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, X(x) ≡ 0 и63u(x, t) ≡ 0. Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем.Случай 2: λ = 0. Тогда уравнение (28) принимает видX 00 (x) = 0 и его решение, очевидно, задается формулой:X(x) = C x + D . Подставляя это решение в граничные условия (30), получим X(0) = D = 0 и X(l) = Cl = 0, значит,C = D = 0. Следовательно, X(x) ≡ 0 и u(x, t) ≡ 0, и мыопять получили тривиальное решение.Случай 3: λ < 0. Обозначим λ = −β 2 .
Уравнение (28)принимает вид: X 00 (x)+β 2 X(x) = 0. Его характеристическоеуравнение имеет вид k 2 + β 2 = 0, а k = ±βi являются егокорнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) вэтом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cos βx. В силуграничных условий (30) имеемX(0) = D = 0,X(l) = C sin βl = 0.Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие,когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнегоравенства находимsin βl = 0,т.
е.βl = nπ,n = ±1, ±2, . . . ,n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3,в котором β 6= 0. nπ 2nπИтак, если β =, т. е. λ = −, то существуютllрешенияπnx,(31)Xn (x) = Cn sinlCn — произвольные постоянные, уравнения (28), не равныетождественно нулю.64В дальнейшем будем придавать n только положительныезначения n = 1, 2, . . . , поскольку при отрицательных n будутполучаться решения тогоже вида. nπ Величины λn = −называются собственными чисlπnx— собственными функлами, а функции Xn (x) = Cn sinlциями дифференциального уравнения (28) с краевыми условиями (30).Теперь решим уравнение (29). Для него характеристическое уравнение имеет видk 2 − α2 λ = 0.(32)Поскольку выше мы выяснили, что нетривиальные решенияX(x) уравнения (28) имеются только для отрицательных λ,n2 π 2равных λ = − 2 , то именно такие λ мы и будем рассматlривать далее.
Корнями уравнения (32) являются√k = ±iα −λ,а решения уравнения (29) имеют вид:πnαtπnαt+ Bn cos,(33)llгде An и Bn — произвольные постоянные. Подставляя формулы (31) и (33) в (25), найдем частные решения уравнения(21), удовлетворяющие краевым условиям (22):πnxπnαtπnαtCn sin+ An sin.un (x, t) = Bn coslllTn (t) = An sinВнося множитель Cn в скобку и вводя обозначенияCn An = bn и Bn Cn = an , запишем un (X, T ) в видеπnαtπnxπnαtun (x, t) = an cossin+ bn sin.(34)lll65Колебания струны, соответствующие решениям un (x, t), называются собственными колебаниями струны.Так как уравнение (21) и граничные условия (22) линейны и однородны, то линейная комбинация решений (34)∞ Xπnαtπnxπnαtu(x, t) =an cossin+ bn sin(35)llln=1будет решением уравнения (21), удовлетворяющим граничным условиям (22) при специальном выборе коэффициентов an и bn , обеспечивающем равномерную сходимость ряда.Теперь подберем коэффициенты an и bn решения (35) так,чтобы оно удовлетворяло не только граничным, но и начальным условиям (23) и (24), где f (x), g(x) — заданные функции (причем f (0) = f (l) = g(0) = g(l) = 0 ).Считаем, что функции f (x) и g(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье.
Подставляя в (35) значениеt = 0, получимu(x, 0) =∞Xan sinn=1πnx= f (x).lДифференцируя ряд (35) по t и подставляя t = 0, получим∞X πnαπnx∂u(x, 0) =bn sin= g(x),∂tlln=1а это есть разложение функций f (x) и g(x) в ряды Фурье.Следовательно,2an =lZlπnxf (x) sindx,l2bn =πnα0Zl066g(x) sinπnxdx.l(36)Подставляя выражения для коэффициентов an и bn в ряд (35),мы получим решение уравнения (21), удовлетворяющее граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24).Тем самым мы решили задачу о свободных малых поперечных колебаниях струны.Выясним физический смысл собственных функцийun (x, t) задачи о свободных колебаниях струны, определенных формулой (34). Перепишем ее в видеun (x, t) = αn cosгдеαn =pa2n + b2n ,πnxπnα(t + δn ) sin,ll(37)bnπnαδn = − arctg.lanИз формулы (37) видно, что все точки струны совершаютгармонические колебания с одной и той же частотойπnαπnαи фазойδn .
Амплитуда колебания зависит отωn =llπnxабсциссы x точки струны и равна αn sin. При таком коlлебании все точки струны одновременно достигают своегомаксимального отклонения в ту или иную сторону и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебанияназываются стоячими волнами. Стоячая волна будет иметьn + 1 неподвижную точку, задаваемую корнями уравненияπnx= 0 в промежутке [0, l]. Неподвижные точки наsinlзываются узлами стоячей волны. Посередине между узлами располагаются точки, в которых отклонения достигаютмаксимума; такие точки называются пучностями.
Каждаяструна может иметь собственные колебания строго опредеπnα, n = 1, 2, . . . . Эти частоты назыленных частот ωn =lваются собственными частотами струны. Самый низкийтон, который может издавать струна, определяется самой67rπ Tи называется оснизкой собственной частотой ω1 =l ρновным тоном струны. Остальные тона, соответствующиечастотам ωn , n = 2, 3, . .
. , называются обертонами или гармониками.Для наглядности изобразим типичные профили струны,издающей основной тон (рис. 33), первый обертон (рис. 34)и второй обертон (рис. 35).Рис. 33. Профиль струны, издающей основной тонРис. 34. Профиль струны, издающей первый обертонРис. 35. Профиль струны, издающей второй обертонЕсли струна совершает свободные колебания, определяемые начальными условиями, то функция u(x, t) представляется, как это видно из формулы (35), в виде суммы отдельных гармоник.
Таким образом произвольное колебание68струны представляет собой суперпозицию стоячих волн. Приэтом характер звучания струны (тон, сила звука, тембр) будет зависеть от соотношения между амплитудами отдельныхгармоник.7.3. Сила, высота и тембр звукаКолеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха,воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной. Сила звука характеризуется энергией или амплитудойколебаний: чем больше энергия, тем больше сила звука.Высота звука определяется его частотой или периодомколебаний: чем больше частота, тем выше звук. Тембр звукаопределяется наличием обертонов, распределением энергиипо гармоникам, т.
е. способом возбуждения колебаний.Амплитуды обертонов, вообще говоря, меньше амплитудыосновного тона, а фазы обертонов могут быть произвольными. Наше ухо не чувствительно к фазе колебаний.Сравните, например, две кривые на рис. 36, заимствованном из [2]. Это запись звука с одним и тем же основнымтоном, извлеченного из кларнета (а) и рояля (б). Обазвука не представляют собой простых синусоидальныхколебаний. Основная частота звука в обоих случаях одинакова — это и создает одинаковость тона. Но рисунки кривыхразные потому, что на основной тон наложены разныеобертона. В каком-то смысле эти рисунки показывают, чтотакое тембр.69Рис.
36. Запись звука с одним и тем же основным тоном:а — кларнет; б — рояльСпособность уха отличать ноту «до» рояля от той женоты кларнета также основывается на разложении звукана гармонические составляющие, т. е. на основной тон иобертоны.707.4. Примеры решения задачи о колебанииструны с различными граничнымии начальными условиямиТеперь конкретизируем задачу о колебании струны, конкретизировав функции f (x) и g(x) определенные значения.ПРИМЕР 16.
Найдем функцию u(x, t), описывающуюпроцесс колебания струны с закрепленными концами и начальными условиямиu(x, 0) = f (x),∂u(x, 0) = 0.∂t(38)Решение. Функция f (x) задает начальное положение∂u(x, 0) = 0 говорит о том, что струна отпуструны, условие∂tщена без толчка. Эта модель описывает движение гитарнойструны.В соответствии с изложенным ранее, функция u(x, t) задается формулой (35), в которой нам нужно найти коэффициенты an и bn так, чтобы выполнялись начальные условия∂u(38). Из условия(x, 0) = 0 и формул (36) следует, что∂tbn = 0,Zlπnx2f (x) sinan =dx.(39)ll0Поэтомуu(x, t) =∞Xan cosn=1πnαtπnxsin.llИспользуя формулу тригонометрииsin α cos β =1(sin(α + β) + sin(α − β))271запишем решение в виде∞u(x, t) =∞πnπn1X1Xan sinan sin(x + αt) +(x − αt).2 n=1l2 n=1lВ силу (39) заключаем, что первая сумма представляетсобой разложение в тригонометрический ряд функцииf (x + αt), а вторая функции f (x − αt).Значитu(x, t) =1[f (x + αt) + f (x − αt)] .2Эту формулу называют формулой Даламбера.
Она позволяет представить решение в виде полусуммы «волны, бегущейвлево» f (x + αt) и «волны, бегущей вправо» f (x − αt).ПРИМЕР 17. Найдем функцию u(x, t), описывающую процесс колебания струны, закрепленной на концах x = 0, x = ππи возбуждаемой оттягиванием ее в точке x = на величи2ну h (рис. 37). Начальная скорость равна нулю.Рис. 37. Начальное положение струны из примера 1772Решение. Функция f (x) описывающая начальное положение струны задается формулойπ2hесли 0 ≤ x ≤ , π x,2f (x) =π2h(π − x), если < x ≤ π.π2Второе начальное условие имеет вид:∂u(x, 0) = 0.∂tПоложения точек струны u(x, t) задаются уравнением (35).Подберем коэффициенты an и bn так, чтобы выполнялисьначальные условия2an =πZπ0πf (x) sin nx =Z22 2h π π0Zπx sin nx + (π − x) sin nx =8h sin=2bn =πnαZππ2nπ2 ,n2 π 2∂u(x, 0) sin nx = 0.∂t0Итак, положения точек струны в момент времени t задаются соотношением:nπ∞ 8h sinX2 cos nαt sin nx.u(x, t) =2π2nn=173ЗАДАЧА39.
Найти функцию u(x, t), определяющую процесс колебания струны, закрепленной на концах x = 0, x = l, ивозбуждаемой ударом молоточка ширины 2δ в точке струныс постоянной скоростью v0 . Эта задача описывает колебанияструны рояля.Ответ∞4v0 l X 1πncπnδπnx39. u(x, t) = 2sinsinsinsin ωn t,π α n=1 n2lllrTπnα, α=.где ωn =lρ74Список литературы1. Александров В. А.
Ряды Фурье: Метод. пособие. Новосибирск: НГУ, 1996.2. Ландау Л. Д., Китайгородский А. И. Физика для всех.—М.: Наука, 1974.3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.75Содержание1. Разложение 2π-периодической функции в рядФурье . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Разложение функции, заданной в промежутке [0, π], только по синусам или только косинусам 243. Ряд Фурье функции с произвольным периодом . . . . 334. Комплексная форма ряда Фурье . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
