1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (826868), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . .Zπ2Поскольку [f 0 (x)] dx < +∞, то по равенству Ляпунова01πZπ02[f (x)] dx =∞Xn=1−π54n2 a2n .(18)Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), тоZπ2[f (x)] dx ≤−πZπ2[f 0 (x)] dx.−πВспоминая, что f (x) является четным продолжением исходной функции, имеемZπ02[f (x)] dx ≤Zπ2[f 0 (x)] dx.0Что и доказывает равенство Стеклова.Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n ≥ 2 ,коэффициент an отличен от нуля, то a2n < na2n .
Следователь∞∞XX2но, равенствоan =n2 a2n возможно только если an = 0n=1n=1для n ≥ 2. При этом a1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только нафункциях вида f (x) = A cos x.Отметим, что условиеZ ππa0 =f (x)dx = 0(19)0существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид:∞∞a20 X 2 X 2 2+an ≤n an ,2n=1n=1а это не может быть верно при произвольном a0 .55ЗАДАЧИ37. Пусть кусочно-гладкая функция f (x) непрерывна впромежутке [0, π].
Докажите, что при выполнении условияf (0) = f (π) = 0 имеет место неравенствоZπ[f (x)]2 dx ≤0Zπ[f 0 (x)]2 dx,0также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, чторавенство в нем имеет место лишь для функций вида f (x) =B sin x .38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [−π, π]и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f 0 (x), интегрируемую с квадратом.Докажите, что если при этом выполнены условияZπf (−π) = f (π) иf (x) dx = 0,−πто имеет место неравенствоZπ−π[f (x)]2 dx ≤Zπ[f 0 (x)]2 dx,−πназываемое неравенством Виртингера, причем равенство внем имеет место лишь для функций видаf (x) = A cos x + B sin x.567. Применение рядов Фурье длярешения дифференциальныхуравнений в частных производныхПри изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т.
д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленныхзнаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление — физическая модель — математическая модель.Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главныефакторы на него влияющие. Математическая постановка(модель) заключается в описании выбранных в физическойпостановке факторов и условий в виде системы уравнений(алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.).Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальныхи граничных условий.Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием.7.1.
Вывод уравнения свободных малыхпоперечных колебаний струныБудем следовать учебнику [3].Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия(например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет57колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струналежит в одной и той же плоскости.Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xOu.
Тогда, если в начальный момент времени t = 0струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означатьотклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). Прикаждом фиксированном значении t график функции u(x, t)представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t)дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, па∂uраллельной оси Ou, производная— скорость этого дви∂t∂2uжения, а вторая производная 2 — ускорение.∂tРис.
32. Силы, приложенные к бесконечно маломуучастку струныСоставим уравнение, которому должна удовлетворятьфункция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб58кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне,всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны.
Примем,что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна.Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, чтомы рассматриваем свободные колебания.Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времениt, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t),т. е.
ϕ2 ≈ 0.∂uТак как угол ϕ мал, то cos ϕ ≈ 1, ϕ ≈ sin ϕ ≈ tg ϕ ≈,∂x 2∂uследовательно, величинойтакже можно пренебре∂xгать.Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можемпренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M1 M2 , проектирующаясяв промежуток [x1 , x2 ] оси абсцисс, где x2 = x1 + ∆x, равнаs2Zx2∆u∆l =dx ≈ ∆x.1+∆xx1Покажем, что при наших предположениях величина силынатяжения T будет постоянной вдоль всей струны.
Возьмем для этого какой либо участок струны M1 M2 (рис. 32) вмомент времени t и заменим действие отброшенных участ59ков силами натяжений T1 и T2 . Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силыотсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Oxдолжна равняться нулю:−T1 cos ϕ(x1 , t) + T2 cos ϕ(x2 , t) = 0.Отсюда в силу малости углов ϕ1 = ϕ(x1 , t) и ϕ2 = ϕ(x2 , t)заключаем, что T1 = T2 .
Обозначим общее значение T1 = T2через T.Теперь вычислим сумму проекций Fu этих же сил на осьOu :Fu = T sin ϕ(x2 , t) − T sin ϕ(x1 , t).(20)Так как для малых углов sin ϕ(x, t) ≈ tg ϕ(x, t), аtg ϕ(x, t) ≈ ∂u(x, t)/∂x, то уравнение (20) можно переписатьтакFu ≈ T (tg ϕ(x2 , t) − tg ϕ(x1 , t)) ≈∂u∂u∆x∂2u≈T(x2 , t) −(x1 , t) ·≈ T 2 (x1 , t)∆x.∂x∂x∆x∂xТак как точка x1 выбрана произвольно, то∂2uFu ≈ T 2 (x, t)∆x.∂xПосле того как найдены все силы, действующие на участок M1 M2 , применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно суммевсех действующих сил. Масса кусочка струны M1 M2 равна∂ 2 u(x, t)m = ρ∆l ≈ ρ∆x, а ускорение равно. Уравнение∂t2Ньютона принимает вид:2∂2u2∂ u(x,t)∆x=α(x, t)∆x,∂t2∂x2где α2 =T— постоянное положительное число.ρ60Сокращая на ∆x, получим2∂2u2∂ u(x,t)=α(x, t).(21)∂t2∂x2В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его называютуравнением колебаний струны или одномерным волновымуравнением.Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том,что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно.
Уравнениями эти условия будем записывать так:а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = 0 и x = l, т. е. будем считать, что для всех t ≥ 0выполнены соотношенияu(0, t) = 0,u(l, t) = 0;(22)б) будем считать, что в момент времени t = 0 положение струны совпадает с графиком функции f (x), т. е. будемсчитать, что для всех x ∈ [0, l] выполнено равенствоu(x, 0) = f (x);(23)в) будем считать, что в момент времени t = 0 точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать,что∂u(x, 0) = g(x).(24)∂tСоотношения (22) называются граничными условиями,а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных61колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24).7.2.
Решение уравнения свободных малыхпоперечных колебаний струныметодом ФурьеРешения уравнения (21) в области0 ≤ x ≤ l,0 < t < ∞,удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальнымусловиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных).Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутсяв виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая — только от t. То есть мы ищемрешения уравнения (21), которые имеют специальный вид:u(x, t) = X(x)T (t),(25)где X — дважды непрерывно дифференцируемая функцияот x на [0, l], а T — дважды непрерывно дифференцируемаяфункция от t, t > 0.Подставляя (25) в (21), получим:X T 00 = α2 X 00 T ,или(26)T 00 (t)X 00 (x)=.(27)α2 T (t)X(x)Говорят, что произошло разделение переменных.
Так какx и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая — от t и общая величина этих отношений62должна быть постоянной, которую обозначим через λ:X 00 (x)T 00 (t)== λ.α2 T (t)X(x)Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальныхуравнения:X 00 (x) − λX(x) = 0,(28)T 00 (t) − α2 λT (t) = 0 .(29)При этом граничные условия (22) примут видX(0)T (t) = 0 и X(l)T (t) = 0.Поскольку они должны выполняться для всех t, t > 0, тоX(0) = X(l) = 0.(30)Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (30).
Рассмотрим три случая.Случай 1: λ > 0. Обозначим λ = β 2 . Уравнение (28) принимает видX 00 (x) − β 2 X(x) = 0.Его характеристическое уравнение k 2 − β 2 = 0 имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28)имеет вид X(x) = C e−βx + Deβx . Мы должны подобратьпостоянные C и D так, чтобы соблюдались граничныеусловия (30), т. е.X(0) = C + D = 0,X(l) = C e−βl + Deβl = 0.Поскольку β 6= 0, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
