1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если потребовать, чтобы преобразование Фурье пробной функции было пробной функцией, то такому требованию подчиняется только одна функция— тождественный нуль. Поэтому работая с преобразованиемФурье в пространстве обобщенных функций, в качестве основных функций принимают быстро убывающие функции,знакомые нам по теме «Преобразование Фурье», т. е. бесконечно дифференцируемые функции ϕ : Rn → C, которые убывают на бесконечности быстрее любого многочлена.В пространстве S(Rn ) быстро убывающих функций вводятследующее понятие сходимости: последовательность функций ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk из S(Rn ) сходится в S(Rn ), если длялюбых мультииндексов α и β последовательность функцийxα D β ϕ1 , xα D β ϕ2 , .
. . , xα D β ϕk сходится к функции xα D β ϕпри k → +∞ равномерно в Rn .Определение. Обобщенной функцией медленного ростаназывают линейный непрерывный функционал на пространстве S(Rn ) основных функций, принимающий значения вомножестве комплексных чисел C. Пространство обобщенныхфункций медленного роста обозначают через S 0 (Rn ).Поскольку из темы «Преобразование Фурье» известно,что «классическое» преобразование Фурье переводит любуюбыстро убывающую функцию в быстро убывающую, то правило (F± [F ], ϕ) = (F, F± [ϕ]) действительно определяет новую обобщенную функцию F± [F ] ∈ S 0 (Rn ) для любой обобщенной функции медленного роста F ∈ S 0 (Rn ).
Другими словами, теперь мы знаем наверняка, что преобразование Фурьеможно применять к любой обобщенной функции медленногороста.71Свойства преобразования Фурье обобщенныхфункций медленного роста1. Преобразование Фурье линейно, т. е. для любых a, b ∈ Cи любых F, G ∈ S 0 (Rn ) справедливы равенстваF± [aF (x) + bG(x)](y) = aF± [F (x)](y) + bF± [G(x)](y).2. Для любого мультииндекса α и любой функции F ∈ S 0 (Rn )справедливы равенстваF± [xα F (x)](y) = (±i)|α| D α F± [F (x)](y).3.
Для любого мультииндекса α и любой быстро убывающейфункции f справедливы равенстваF± [D α F (x)](y) = (±iy)|α| F± [F (x)](y).4. Как прямое, так и обратное преобразование Фурье являются непрерывными отображениями пространства обобщенныхфункций медленного роста в себя.5. Для любой функции F ∈ S 0 (Rn ) справедливы равенстваF+ [F− [F ]] = Fи F− [F+ [F ]] = F,называемые формулами обращения.
Другими словами, последовательное применение прямого и обратного преобразований Фурье не изменяет функции.Если обобщенные функции медленного роста F и G таковы, что имеют смысл участвующие в соответствующих формулах операции свертки и умножения для F, G, F± [F ] иF± [G], то справедливы еще и следующие соотношения.6.
F± [F ∗ G] = (2π)n/2 F± [F ] · F± [G].7. F± [F · G] = (2π)−n/2 F± [F ] · F± [G].72Найдем преобразование Фурье некоторых обобщенных функций медленного роста.Пример 42. Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье δ-функции.Решение. Имеем=1(2π)n/2(F± [δ], ϕ) = (δ, F± [ϕ]) = F± [ϕ](0) =!ZZ1ϕ(x)dx =,ϕ ,=ϕ(x)e∓i(x,y) dx(2π)n/2(2π)n/2y=0RnRnпоэтому в S 0 (Rn ) F± [δ] =1.(2π)n/2Пример 43. Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье обобщенной функции F = 1.Решение.
Представим функцию F = 1 в виде1=(2π)n/2.(2π)n/2Используя формулу обращения и тот факт, чтоF± [δ] =1,(2π)n/2имеемhi1 in/2=F(2π)·F[δ]=±∓(2π)n/2hin/2= (2π) F± F∓ [δ] = (2π)n/2 δ,hF± (2π)n/2 ·поэтому в S 0 (Rn ) F± [1] = (2π)n/2 δ.Замечание. Как прямое, так и обратное классическиепреобразования Фурье F = 1 и δ-функции не существуют, мынашли их в смысле обобщенных функций медленного роста.73Пример 44. Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье сдвинутой δ-функции δ(x − x0 ).Решение. По определению преобразования Фурье обобщенной функции медленного роста имеем(F± [δ(x − x0 )](y), ϕ(y)) = (δ(x − x0 ), F± [ϕ(y)](x)) = ∓i(x0 ,x)Z1e∓i(y,x)= F± [ϕ](x0 ) =eϕ(y) dy , ϕ(y) ,=(2π)n/2x=x0(2π)n/2Rnзначит,F± [δ(x − x0 )](y) = (2π)−n/2 e∓i(x0 ,x) .Пример 45.
Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье обобщенной функции ei(x0 ,x) .Решение. По определению преобразования Фурье обобщенной функции медленного роста имеем(F± [ei(x0 ,x) ](y), ϕ(y)) = ei(x0 ,x) · 1, F± [ϕ(y)](x) .По правилу умножения обобщенной функции на бесконечнодифференцируемую функцию имеемei(x0 ,x) · 1, F± [ϕ(y)](x) = 1, ei(x0 ,x)F± [ϕ(y)](x) ="#ZZ1= 1·ei(x0 ,x) e∓i(y,x) ϕ(y) dy dx =(2π)n/2Rn=ZRnRn"11·(2π)n/2=ZRnZ#e∓i(y−x0 ,x)ϕ(y) dy dx =Rn1 · F± [ϕ(y + x0 )] dx.74Перебросив преобразование Фурье с основной функции наобобщенную, получим(F± [1], ϕ(y + x0 )) = (2π)n/2 δ(y), ϕ(y + x0 ) == (2π)n/2 δ(y − x0 ), ϕ(y) .Таким образом, имеем(F± [ei(x0 ,x) ](y) = 2π)n/2 δ(y − x0 ).Пример 46. Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье обобщенной функции δ (k) (x).Решение. По определению преобразования Фурье имеем(F± [δ (k) (x)](y), ϕ(y)) = δ (k) (x), F± [ϕ(y)](x) .По правилу дифференцирования обобщенной функции имеемδ (k) (x), F± [ϕ(y)](x)) = (−1)k (δ(x), D (k) F± [ϕ(y)](x) .Используя свойство преобразования Фурье быстро убывающих функций(±i)|α| D α F± [f (x)](y) = (∓i)|α| F± [xα f (x)](y),запишем(−1)k δ(x), D (k) F± [ϕ(y)](x) == (−1)k δ(x), (∓i)k F± [y k ϕ(y)](x) == (±i)k δ(x), F± [y k ϕ(y)](x) .По определению δ-функции получаем(±i)k δ(x), F± [y k ϕ(y)](x) = (±i)k F± [y k ϕ(y)](0) =75(±i)k=(2π)n/2ZRne∓i(y,x) y k ϕ(y) dy =x=0Z(±iy)kϕ(y) dy =(2π)n/2Rn(±iy)k, ϕ(y) .(2π)n/2Откуда заключаем, что в S 0 (Rn ) выполняется равенство=F± [δ (k) (x)](y) =(±iy)k.(2π)n/2При вычислении преобразования Фурье обобщенныхфункций иногда удобно выбрать последовательность обычных функций, стремящихся в пространстве S 0 к заданной(обобщенной) функции, найти преобразование Фурье членовэтой последовательности, а затем вычислить искомое преобразование Фурье заданной функции с помощью предельногоперехода, используя непрерывность преобразования Фурье.Так, например, для того чтобы вычислить преобразованиеФурье функции Хевисайда H(x), найдем сначала преобразование Фурье функции H(x)e−ax .Пример 47.
Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье H(x)e−ax , где a > 0.Решение. По определению преобразования Фурье имеемZ+∞1H(x)e−ax e∓i(x,y) dx =F± [H(x)e−ax ](y) = √2π−∞1=√2πФункцияZ+∞1(−1) −(a±iy)x x=+∞e−(a±iy)x dx = √.ex=02π (a ± iy)0e−(a±iy)x = e−ax e−iyx = e−ax (cos yx ± i sin yx)76при x = 0 принимает значение e−(a±iy)x = 1, аx → +∞ e−(a±iy)x → 0, поэтому11(−1) −(a±iy)x x=+∞(−1)√e.=√x=02π (a ± iy)2π (a ± iy)приОткуда заключаем1(−1)F± [H(x)e−ax ](y) = √.2π (a ± iy)Пример 48.
Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье H(x).Решение. Покажем, что в S 0H(x) = lim H(x)e−ax .a→+0(18)Действительно, для каждой функции ϕ ∈ S и любого числаA > 0 имеем: +∞Z(H(x), ϕ(x)) − (H(x)e−ax , ϕ(x)) = (1 − e−ax )ϕ(x) dx ≤0 +∞ A ZZ−ax−ax(19)≤ (1 − e )ϕ(x) dx + (1 − e )ϕ(x) dx . 0AЗафиксируем функцию ϕ ∈ S и какое-либо число ε > 0.В силу абсолютной интегрируемости функции ϕ существуетA > 0 такое, чтоZ+∞ε|ϕ(x)| dx < ,2тогдаA +∞ Z+∞Zε−ax (1 − e )ϕ(x) dx ≤|ϕ(x)| dx < .2AA77(20)Выберем a0 > 0 так, чтобы при 0 < a < a0 было справедливо неравенство−aA(1 − e)ZA0|ϕ(x)| dx <ε2и, следовательно, AZZA (1 − e−ax )ϕ(x) dx ≤ (1 − e−aA ) |ϕ(x)| dx < ε .2(21)00Тогда при 0 < a < a0 из (19), (20) и (21) получим(H(x), ϕ(x)) − (H(x)e−ax , ϕ(x)) < ε + ε = ε.2 2Формула (18) доказана.В силу непрерывности преобразования Фурье имеемF± [H(x)](y) = lim F± [H(x)e−ax ](y) =a→+0(−1)1.= F± lim H(x)e−ax (y) = lim √a→+0a→+02π (a ± iy)Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела,1∓i11(−1)(∓i)=√=√.lim √lima→+0(y ∓ ia)2π (a ± iy)2π2π (y ∓ i0)a→+0Используя формулу Сохоцкого, имеемr∓i∓i πi111√==√δ∓√ P .± iπδ + Py22π (y ∓ i0)2π2π yМы получили, чтоF± [H(x)](y) =r781πiδ∓√ P .22π yПример 49.
Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье функции sign x.Решение. Представим функцию sign x в видеsign x = 2H(x) − 1.В силу линейности преобразование Фурье имеемF± [sign x](y) = 2F± [H(x)](y) − F± [1](y) ="r#r√1πi2 1=2− 2πδ(y) = ∓iδ(y) ∓ √ PP .2π y2π yПример 50. Найдем прямое и обратное преобразованиеФурье функции |x|.Решение. Представим функцию |x| как произведение|x| = x · sign x.Используя результат примера 49 и свойство 2 преобразованияФурье, получаемdF± [sign x](y) =dyrrrd2 12 d 12 1= (±i)∓i=P=−PP .dyπ yπ dyyπ y2F± [|x|](y) = F± [x · sign x](y) = (±i)Здесь мы воспользовались результатом примера 29.79ЗАДАЧИ20.
Докажите, чтоа) sin x + 2 sin 2x + . . . + n sin nx + . . . = −π+∞Pδ 0 (x − 2πk);−∞+∞Pб) cos x + 4 cos 2x + . . . + n2 cos nx + . . . = −π−∞δ 00 (x − 2πk).1 p 2ln x + y 221. Докажите, что в D (R ) функция F (x, y) =2πявляетсяфундаментальнымрешениемоператора∂2∂2L = 2 + 2.∂x∂y02H(t) − x2√ e 4t является2 πtодномерного оператора22. Докажите, что функция F (t, x) =фундаментальнымрешением∂2∂2теплопроводности L = 2 + 2 .∂x∂y23. Найти фундаментальное решение обыкновенного диффеd− cos x.ренциального оператора L =dx24. Показать, что δ (n) (x − a) ∗ F (x) = F (n) (x − a).25.
Вычислить в D 0 (R) свертку H(x) ∗ (x2 H(x)).26. Показать, что в D 0(R)1δ(x − x0 ) + δ(x + x0 )(y) = √ cos x0 y;а) F−22π1δ(x − x0 ) − δ(x + x0 )(y) = √ sin x0 y.б) F−2i2π27. Вычислить в D 0 (R) прямое и обратное преобразования11.Фурье функций: а) H(a − |x|); б) P ; в)xx ± i080Ответы23. H(x) sin x.25. H(x)x3.3r2 sin ay27. а) F± [H(a − |x|)] (y) =;πyrrrπππ1(y) = isign y; в) ∓i+isign y.б) F± Px22281Предметный указательДельта-функция 10Лемма Римана-Лебега 25Носитель функции 5Оператор линейный дифференциальный 54Последовательность дельта-образная 17Преобразование Фурье 70Производная обобщенной функции 34Решение фундаментальное 54Свертка 64Скачок функции 36Сходимость основных функций 5Утверждение Фату 38Формула Грина 54— Сохоцкого 15Функционал 7— линейный 8— непрерывный 8Функция— кусочно-гладкая 36— локально интегрируемая 8— обобщенная 8— — медленного роста 71— основная 5— пробная 5— регулярная 10— сингулярная 10— Хевисайда 2882Список литературы1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
