1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

бесконечнодифференцируемой на компакте), то она ограничена, следовательно,существует положительная константа M: ∀ x ∈ R√|ϕ(2 εt)| ≤ M. Значит,√ 2 −t2e ϕ(2 εt) ≤ Me−t ,и для интеграла1√πZ+∞√2e−t ϕ(2 εt)t dt,−∞зависящего от параметра ε, можно выполнить предельныйпереход, так как для него существует интегрируемая мажоранта1lim √ε→+0πZ+∞Z+∞√√12−t2e ϕ(2 εt) dt = √e−t ϕ( lim 2 εt) dt =ε→+0π−∞1=√π−∞Z+∞Z+∞ϕ(0)2−t2e ϕ(0) dt = √e−t dt = ϕ(0) = (δ(x), ϕ(x)).π−∞−∞Здесь мы воспользовались известным интеграломZ+∞√2e−t dt = π.−∞Обратим внимание на то, что последовательность fεk (x) отличается от δ-образной последовательности hk (x), приведенной в примере 6, тем, что не зануляется вне некоторогоотрезка.20Пример 8.1ε→ ±δ(x) при ε → ±0.π x2 + ε2Доказательство.

Покажем, что при ε → +0 предел функции1εfε (x) =действует на основную функцию ϕ(x) так2π x + ε2же, как дельта-функция Дирака δ(x), т. е.lim (fε (x), ϕ(x)) = (δ(x), ϕ(x)).ε→+0На рис. 5 приведены графики функций fεk (x) при различныхзначениях ε (ε2 = ε1 /2, ε3 = ε2 /2), рядом с кривыми поставлены соответствующие номера. При фиксированных значениях аргумента x (x 6= 0) функция fε (x) → 0 при ε → +0.Для x = 0 функция fε (x) → +∞ при ε → +0.Рис. 5.

Графики функций fεk (x)21Функция fε (x) является непрерывной, следовательно, локально интегрируемой, поэтому она порождает регулярную обобщенную функцию по правилу1F (ϕ) =πZ+∞ε1ϕ(x) dx =22x +επ−∞Z+∞−∞1x 2εxϕ(x) d .ε+1xВыполним в интеграле замену переменной t = . Пределыεинтегрирования при ε > 0 не изменятся, а интеграл приметвидZ+∞Z+∞1111xϕ(tε) dt.ϕ(x) d =22xπεπt +1+1ε−∞−∞Оценим подынтегральную функцию 11 t2 + 1 ϕ(εt) ≤ M t2 + 1 .Выше мы уже установили, что основная функция является ограниченной и, следовательно, |ϕ| ≤ M. Подынтегральная функция абсолютно интегрируема, следовательно, можно выполнить предельный переход1limε→+0 πZ+∞11ϕ(tε) dt =2t +1π−∞1=πZ+∞Z+∞t21lim ϕ(tε) dt =+ 1 ε→+0−∞t21ϕ(0) dt = ϕ(0) = (δ(x), ϕ(x)).+1−∞Здесь мы воспользовались интеграломZ+∞−∞t21dt = π.

Если+1ε < 0, то при замене переменной в интеграле пределы интегрирования изменят знаки на противоположные, поэтому22получаем1πZ+∞−∞1ϕ(x) dx = −x 2π+11εZ+∞t2−∞1ϕ(tε) dt → −ϕ(0) при ε → −0.+1Пример 9.x1sin → δ(x) при ε → +0.πxεДоказательство. Покажем, что при ε → +0 предел функ1xции fε (x) =sin , график которой приведен на рис. 6,πxεРис. 6. График функций fε (x)23действует на основную функцию так же, как δ-функция, т. е.1xlimsin , ϕ(x) = (δ(x), ϕ(x)).ε→+0 πxεxε1sin →при фиксированном ε и x → 0,πxεπ1xто функцияsinявляется непрерывной, ограниченнойπxεи, следовательно, локально интегрируемой. Поэтому она порождает регулярную обобщенную функцию по правилуТак как1(fε (x), ϕ(x)) =πZ+∞sin xεϕ(x) dx.x−∞Убедимся, что предел этого интеграла равен ϕ(0)при ε → +0. К числителю подынтегральной функции добавим ϕ(0) и −ϕ(0) и, используя то, что для каждой основнойфункции существует число R > 0, такое что для всех |x| > Rϕ(x) = 0, совершим преобразования1πZ+∞ϕ(x)xsin dx =xε−∞1=πZR−Rϕ(0)x1sin dx +xεπZRϕ(x) − ϕ(0)xsin dx.xε−RРассмотрим второй интеграл: подынтегральная функция имеет особенность при x = 0, ноϕ(x) − ϕ(0)→ ϕ0 (0) при x → 0.xФункции ϕ0 (x) и ϕ(x) пробные, а значит, функϕ(x) − ϕ(0)абсолютно интегрируема на [−R; R].цияx24Применив лемму Римана-Лебега, утверждающую, чтоесли функция f интегрируема на промежутке [a, b],тоZblimf (x) sin px dx = 0,p→+∞aубеждаемся:ZRxϕ(x) − ϕ(0)sin dx → 0 при ε → 0.xε−RxВ первом интеграле выполним замену переменной t = .εZ+∞sin tdt = π, поИспользуя известный интеграл Дирихлеt−∞лучаем1πZRxϕ(0)ϕ(0)sin dx =xεπ−RZR/εsin tdt → ϕ(0)t−R/εпри ε → +0.

Таким образом, мы убедились, что предел функx1sinпри ε → +0 является δ-функцией.цииπxεОбратим внимание на то, что последовательностьfεk (x) =x1sin ,πxεkв отличие от δ-образной последовательности hk (x), не зануляется для |x| > εk и принимает отрицательные значения.Дельта-образные последовательности такого вида расширяют представление о δ-функции.25Пример 10.1πZ+∞cos xy dy = δ(x).0Доказательство. Запишем несобственный интеграл какпределy=AZA11sin xy sin Ax1=cos xy dy =limlim.limA→+∞ ππ A→+∞ x π A→+∞ xy=001 sin Axявляется локально интегрируемой, следоФункцияπ xвательно, она порождает регулярную обобщенную функцию1=π1 sin Ax, ϕ(x)π xZ+∞−∞sin tϕt/A1=πZ+∞sin Axϕ(x) dx =x−∞ Z+∞1sin tt dttdt.=ϕA AπtA−∞(В интеграле выполнили замену переменной t = Ax.) Так какфункция ϕ пробная, то существует положительное число Rтакое, что supp ϕ(x) ⊂ [−R; R] и1πZ+∞−∞ ZRsin t1tsin ttdt =dt.ϕϕtAπtA−RПоскольку подынтегральная функция ограничена константой, независящей от A, то можно совершить предельный переход под знаком интегралаlimA→+∞1 sin Ax, ϕ(x)π x1= limA→+∞ π26Z∞−∞sin tϕt tdt =A1=πZ∞−∞sin tϕttlimA→+∞ A1dt = ϕ(0)πZ∞sin tdt = ϕ(0).t−∞Мы воспользовались известным интегралом ДирихлеZ∞sin tdt = π.t−∞Пример 11.

Найдите пределы в D 0 (R) последовательностей функций f1 , f2 , . . . , fk , . . . и F1 , F2 , . . . , Fk , . . . , еслиk2 2fk (x) = √ e−k xπи Fk (x) =Zxfk (t) dt.−∞1Решение. Выполнив замену k = √ , сведем задачу вы2 εчисления предела первой последовательности к пределу, найденному в примере 7,x21lim fk = lim √ e− 4ε = δ(x).ε→0k→+∞πεВычислим предел второй последовательности. Интеграл,Zxзависящий от параметра Fk (x) =fk (t) dt, задает непре−∞рывную ограниченную функцию.

Следовательно, Fk (x) порождает регулярную обобщенную функцию. Выполнив замену z = kt, получимZ+∞ Zxk2 2√ e−k t dt ϕ(x) dx =limk→+∞π−∞−∞27Z+∞ Zk·xZ+∞2z2zk√ e−k k2 d  ϕ(x) dx = lim= limIk (x)ϕ(x) dx,k→+∞k→+∞kπ−∞где Ik (x) =−∞Zk·x−∞12√ e−z dz. Зависящий от параметра интегралπ−∞Ik (x) при k → +∞ равен −∞Z12√ e−z dz = 0, если x < 0,π−∞ Z0 112√ e−z dz = , если x = 0,I(x) =2π−∞+∞ Z 12√ e−z dz = 1, если x > 0,π−∞т.

е. I(x) = H(x), где H(x) — функция Хевисайда, задаваемаясоотношением0, если x < 0,H(x) =1, если x > 0.(Мы никак не определяем эту функцию в нуле, так как будемтрактовать ее как обобщенную регулярную функцию.)RxИтак, мы можем заключить, чтоδ(x) dx = H(x).−∞282. Замена переменных в обобщенныхфункцияхЕсли f ∈ L1,loc (Rn ), A : Rn → Rn — невырожденное линейное преобразование и b — фиксированный вектор из Rn ,то для произвольной обобщенной функции F ∈ D 0(Rn ) определим новую обобщенную функцию F (Ax + b), которая действует на произвольную пробную функцию ϕ ∈ D(Rn ) поправилуϕ (A−1 (y − b))(F (Ax + b), ϕ(x)) = F (y),.|detA|При этом будем говорить, что F (Ax + b) получена из F линейной заменой переменных.Нелинейную замену мы будем рассматривать только применительно к одномерной δ-функции.Теорема.

Пусть функция a : R → R непрерывно дифференцируема и имеет только простые нули x1 , x2 , . . . (напомним, что число y называется простым нулем функции a, еслиa(y) = 0, но a0 (y) 6= 0). Тогда справедливо равeнствоX δ(x − xk )δ(a(x)) =.|a0 (xk )|kПример 12. Покажем, что а) δ-функция является четнойфункцией и б) (δ(x − x0 ), ϕ(x)) = ϕ(x0 ).Решение. Пункт а) следует из вычисления(δ(−x), ϕ(x)) = (δ(y), ϕ(−y)) = ϕ(−0) = (δ(x), ϕ(x)).Для доказательства б) выполним замену переменнойy = x − x0 :(δ(x − x0 ), ϕ(x)) = (δ(y), ϕ(y + x0 )) = ϕ(x0 ).Функцию δ(x − x0 ) называют «сдвинутой» δ-функцией.29В примерах 13–15, считая a вещественным числом, отличным от нуля, докажем равенства в D 0 (R).δ(x).|a|Доказательство.

Здесь непрерывно дифференцируемойфункцией с простым нулем x = 0 является функция a(x) =a · x, a0 (0) = a. Согласно теореме о замене переменной имеемПример 13. Покажем, что δ(ax) =δ(ax) =δ(x).|a|Пример 14. Покажем, что+∞X)δ(x + πkaδ(sin ax) =.|a|k=−∞Доказательство. Простыми нулями непрерывно дифференцируемой функции a(x) = sin ax являютсяxk =0aπkaπk, k = 0, ±1, ±2, . . . ,a= a cos aπk= a · (−1)k 6= 0.aПрименяя теорему, имеемδ(sin ax) =+∞Xδ(x + πk)a.|a|k=−∞303. Операции над обобщеннымифункциямиМы познакомились с новым видом функций — обобщенными функциями. Изучим теперь, как производить математические операции над обобщенными функциями. Общееправило такое: действие с обобщенной функции по некоторому правилу переносится на пробную функцию.3.1. Умножение обобщенных функций набесконечно дифференцируемые функцииПусть F ∈ D 0(G) a : G → C — бесконечно дифференцируемая функция.

Произведением обобщенной функции F набесконечно дифференцируемую функцию a называется новая обобщенная функция aF , действующая на произвольнуюосновную функцию ϕ по правилу (aF, ϕ) = (F, aϕ).Пример 15. Произведение δ-функции на бесконечно дифференцируемую функцию a(x) : a(x) δ(x) = a(0) δ(x).Решение. В самом деле, для любой основной функцииϕ ∈ D(G) мы имеем(a(x) δ(x), ϕ(x)) = (δ(x), a(x) ϕ(x)) = a(0) ϕ(0) == (a(0) δ(x), ϕ(x)).1= 1.x ±i0Решение.

Подействуем на основную функцию ϕ(x) функ1, перенесем операцию умножения на бесконечноцией x·x ±i0Пример 16. Докажем равенство x ·31дифференцируемую функцию a(x) = x c обобщенной функции по заданному правилу на основную функцию и воспользуемся формулами Сохоцкого и определением сингулярной1функции P :x11x, ϕ(x) = (∓iπ δ, x ϕ(x)) + P , x ϕ(x) .x ± i0xПервая обобщенная функция в правой части равенства занулится, так как(∓iπ δ, x ϕ(x)) = (δ, ∓iπ x ϕ(x)) = ∓iπ · 0 · ϕ(0) = 0.1Действуя функцией P на основную функцию x ϕ(x), полуxчаемZ+∞Z+∞1x ϕ(x)P , x ϕ(x) = v.p.dx = v.p.ϕ(x) dx =xx−∞=−∞Z+∞−∞1 · ϕ(x) dx = (1, ϕ(x)).1x ±i0действует на основную функцию так же, как обобщеннаяфункция 1.Итак, мы убедились, что обобщенная функция x ·Замечание.

Если бы мы решали уравнение x·F (x) = 1 дляобычных функций, то для всех x 6= 0 мы бы получили един1ственное решение F (x) = . Приведенный пример показал,xчто в пространстве обобщенных функций D 0 (G) уравнениеx · F (x) = 1 имеет несколько линейно независимых решенийF (x) =1;x+ i0321;x −i0P1xи бесконечно много линейных комбинацийF (x) =c1c21++ c3 P + c4 δ(x),x + i0 x− i0x3Xci = 1,i=1каждая из которых является решением этого уравнения.Пример 17.

Докажем, что для любого натуральногоm в пространстве D 0(G) справедливо равенствоxm P1= xm−1 .xРешение. Подействуем на основную функцию ϕ(x) функ1цией xm P , перенесем операцию умножения на бесконечноxдифференцируемую функцию a(x) = xm c обобщенной функции на основную функцию и воспользуемся определениями1сингулярной функции P :x Z+∞ mx ϕ(x)1 m1mdx =x P , ϕ(x) = P , x ϕ(x) = v.p.xxx−∞Z+∞Z+∞m−1xm−1 · ϕ(x) dx = (xm−1 , ϕ(x)).= v.p.x· ϕ(x) dx =−∞−∞1Тем самым мы убедились, что обобщенная функция xm Pxдействует на основную функцию так же, как обобщеннаяфункция xm−1 .333.2. Дифференцирование обобщенныхфункций.

Характеристики

Список файлов книги