1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В примере 22 мыпоказать,показали,ε→+0чточтоϕ(−ε) − ϕ(ε)= −2ϕ0 (0). Следовательно,ε1dln|x|, ϕ(x) = P .dxxПример 29. Докажем равенствоd 11P = −P 2 ,dx xxгдеZ+∞ϕ(x) − ϕ(0)1dx.P 2 , ϕ(x) = v.p.xx2−∞1Доказательство. По определению функции P и правиxлу дифференцирования обобщенной функции имеемd 1−P , ϕ(x)dx xZ+∞ 0ϕ (x)1 0= P , ϕ (x) = v.p.dx.xx−∞Подынтегральная функция имеет особенность при x = 0,supp ϕ ⊂ [−R; R], поэтому интеграл в смысле главного значения запишем в виде −εZ+∞ 0Z 0ZR 0ϕ (x)ϕ (x) dx ϕ (x) dxv.p.dx = lim +.ε→0xxx−∞−R46εПосле того как каждый из интегралов возьмем по частям,выражение примет видv.p.Z+∞ϕ0 (x)dx =x−∞−ε Z−εR ZRϕ(x) dx ϕ(x) ϕ(x) dx ϕ(x) = lim +. + +2ε→0x xx x2−Rε−RεВ каждом из интегралов к числителю добавим ±ϕ(0) и сгруппируем приведенное выше выражение в виде"Z+∞ 0ϕ (x)ϕ(−ε) ϕ(−R) ϕ(R) ϕ(ε)v.p.dx = lim−+−+ε→0x−ε−RRε−∞+Z−εϕ(x) − ϕ(0)dx +x2ZRϕ(x) − ϕ(0)dx +x2ε−R+ ϕ(0)Z−εdx+x2ZRε−Rdxx2!#.Слагаемые(13)ϕ(R)ϕ(−R)==0−RRпо определению пробной функции.Вычислив интегралы, стоящие в круглых скобках, равенство (13) запишем в видеv.p.Z+∞−∞#"ϕ(−ε) ϕ(ε)ϕ0 (x)+dx = lim−ε→0x−εε47+ limε→0" Z−εϕ(x) − ϕ(0)dx +x2ZRε−R#ϕ(x) − ϕ(0)dx +x2Rh 1 −ε1 i−ϕ(0) lim + =ε→0 x x−Rε"#Z+∞ϕ(−ε) ϕ(ε)ϕ(x) − ϕ(0)= lim+ v.p.−dx +ε→0−εεx2−∞#"1111−+ − .−ϕ(0) limε→0 −ε−R R ε1→ 0, тогда последнее равенствоRможно переписать в видеПри R → +∞ дробьv.p.Z+∞ϕ0 (x)dx =x−∞"# ϕ(−ε) ϕ(ε) ϕ(0) ϕ(0)1= lim+ P 2 , ϕ(x) =−−+ε→0−εε−εεx# "1ϕ(−ε) − ϕ(0) ϕ(ε) − ϕ(0)+ P 2 , ϕ(x) =−= limε→0−εεx 1100= ϕ (0) − ϕ (0) + P 2 , ϕ(x) = P 2 , ϕ(x) .xxТаким образом, мы показали, что d 11−P , ϕ(x) = P 2 , ϕ(x) ,dx xxи это доказывает требуемое равенство.48В примерах 30–32 проверьте, что решениями приведенных уравнений являются указанные функции.Пример 30.
xF 0 = 1; F (x) = c1 + c2 H(x) + ln|x|.Решение. Простой подстановкой производной указаннойфункции F в данное дифференциальное уравнение убедимся, что F является решением уравнения. Вычислим производную F 0F 0 = (c1 + H(x) + ln|x|)0 = c01 + (c2 H(x))0 + ln0 |x| =1= 0 + c2 δ(x) + P .x1В примере 28 мы убедились, что (ln|x|)0 = P . Подставимxфункцию F 0 в уравнение110= xδ(x) + xP = 0 + 1 = 1,xF = x δ(x) + Pxxчто и требовалось показать.Нахождение решения данного дифференциального уравнения xF 0 = 1 и доказательство единственности этого решения выходит за рамки этого пособия.
Аналогично впримерах 31 и 32.11Пример 31. xF 0 = P ; F (x) = c1 + c2 H(x) − P .xxРешение. Подстановкой указанной функции F в данноеуравнение убедимся, что F является решением уравнения.Вычислим производную F 0 :0 1 01000F = c1 + c2 H(x) − P= c1 + (c2 H(x)) − P=xx= c2 δ(x) + P491.x2Здесь мы использовали результат из примера 29. Подставимфункцию F 0 в уравнение110xF = x c2 δ(x) + P 2 = c2 xδ(x) + xP 2 .xxПо определению δ-функции имеем xδ(x) = 0.
Подействовав1функцией xP 2 на пробную функцию ϕ, получимx1xP 2 , ϕ(x)x= v.p.Z+∞x(ϕ(x) − ϕ(0))1= P 2 , xϕ(x) = v.p.dx =xx2Z+∞−∞ϕ(x) − ϕ(0)dx = v.p.x−∞Z+∞ϕ(x)1dx = P .xx−∞Здесь мы использовали равенство (4). Таким образом, функция F является решением данного уравнения.1Пример 32. x2 F 0 = 1; F (x) = c1 + c2 H(x) + c3 δ − P .xРешение. Подстановкой функции F в уравнение убедимся, что F является решением уравнения. Вычислим производную F 0 :010F = c1 + c2 H(x) + c3 δ − P=x 1 01= c2 δ(x) + c3 δ 0 (x) + P 2 .= c01 + (c2 H(x))0 + (c3 δ)0 − Pxx0Подставим функцию F в уравнение102 02x F = x c2 δ(x) + c3 δ (x) + P 2 =x= c2 x2 δ(x) + c3 x2 δ 0 (x) + x2 P501=x2= 0 + c3 x2 δ 0 (x) + 1 = 1,что доказывает требуемое равенство.Пример 33. Докажем, что ряд+∞Xk=1ck δ (k) (x − k) сходится вD 0 (R) для всех ck ∈ R.Решение.
Сходимость ряда означает, что существуетпредел в D 0 (R) последовательности обобщенных функNXck δ (k) (x − k). Это означает, что для всякойций FN (x) =k=1функции ϕ ∈ C ∞ (R) последовательность FN (ϕ) сходится приN → +∞. Подействовав на пробную функцию ϕ обобщеннойфункцией FN , получимFN (ϕ) =NXk=1(ck δ (k) (x − k))(ϕ) =NXck (−1)(k) (ϕ)(k) (k).k=1Для пробной функции ϕ в силу ее финитности существуетN0 = N0 (ϕ) ∈ N такое, что для всех |x| > N0 и всех k ∈ Nϕ(k) (x) = 0. Отсюда следует, что для всех N ≥ N0 частичнаясумма FN (ϕ) = FN0 (ϕ), следовательно, последовательностьсходится.ЗАДАЧИПримечание. Во всех задачах ϕ является основной (пробной) функцией.1.
Выяснить, есть ли среди последовательностей11а) ϕ(x); б) ϕ(kx), k = 1, 2, . . . , сходящиеся в D(R)?kk2. Пусть P — полином. Доказать ϕ · P ∈ D.3. Доказать, что при любом k = 1, 2, . . . ϕ(k) — пробнаяфункция.514. Доказать, что функцияψ(x) =ϕ(x) − η(x)ϕ(0)α(x)— основная, где η(x) — функция из примера 1 и α ∈ C ∞ (R)имеет единственный нуль порядка 1 в точке x = 0.15. Доказать, что P — сингулярная обобщенная функция.x21− |x|4 ε при ε → 0, n ≥ 1.6. Вычислить в D(R) предел √e(2 π ε)n07. Вычислить пределы в D (R) при t → +∞e−ixte−ixtа); б).x − i0x + i0В задачах 8–10 показать, что в D 0 (R) выполняются равенства.F (x + h) − F (x).8.
F 0 (x) = limh→0hδ(x + 2h) + 2 δ(x − 2h) − δ(x)9. δ 00 (x) = lim.h→04 h2mXk (m−k)(m)(−1)k+m Cmα(0)δ (k) (x),10. α(x) δ (x) =где α(x) ∈ C ∞ (R).k=011. Вычислитьа) (x sign x)0 ; б) H (n) (x0 − x), n ≥ 1 — целое; в) (sign x)(n) .d1112. Доказать, что= ∓πδ 0 (x) − P 2 .dx x ± i0x13. Вычислить все производные 2x , если | x |≤ 1,а) f (x) =0, если | x |> 1;1, если x ≤ 0,x + 1, если 0 < x ≤ 1,б) f (x) = 2x + 1, если x > 1.52−11.14. Вычислить производную f (x) = 1 + e x15. Существуют ли в пространстве D 0 (R) пределы а) lim cos nx;n→∞б) lim sin nx? Если они существуют, то чему равны?n→∞16. Вычислить+∞R−∞x2 δ(x − 3) dx.17.
Упростить выраженияа) (x2 + 3)δ(x + 5); б) δ(2x − 8); в) δ(x2 + x − 2).δ(x − a) + δ(x + a)18. Докажите равенство δ(x2 − a2 ) =.2|a|∞∞XX2πikx19. Докажите равенствоe=δ(x − k).k=−∞k=−∞Ответы1. а) сходится к нулю;4. δ(x).6. δ(x).11. а) sign x;б) не сходится, если ϕ(x) 6= 0.7. а) 0;б) −i 2 π δ(x).б) −δ (n−1) (x − x0 );в) 2δ (n−1) (x).13. а) f 0 = 2H(1 − |x|) x + δ(x − 1) − δ(x + 1),f 00 = 2H(1 − |x|) − 2δ(x − 1) − 2δ(x + 1) − δ 0(x − 1) + δ 0(x + 1),3P2 f (n) =(−1)k−1 δ (n−k) (x + 1) − δ (n−k) (x − 1) ,k=1 (3 − k)!n = 3, 4, . . . ;б) f 0 = H(x) − H(x − 1) + 2H(x − 1) x,f 00 = δ(x) + δ(x − 1) + 2H(x − 1),f (n) = 2δ (n−3) (x − 1) + δ (n−2) (x − 1) + δ (n−2) (x), n = 3, 4, . .
. .−2 110xe x x−2 − δ(x). 15. а) 0; б) 0.14. f (x) = 1 + e16. 32 = 9.17. а) 28 δ(x + 5);б)111δ(x − 4); в) δ(x − 1) + δ(x + 2).233533.2.1. Решение дифференциальныхуравнений в пространстве обобщенныхфункций.Определение. Линейным дифференциальным оператором порядка k с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в области G ⊂ Rn называется выражениеXL=aα (x)D α ,(14)|α|≤kгде суммирование ведется по всем мультииндексам порядка|α| ≤ k, aα : G → R — бесконечно дифференцируемая функция, причем хотя бы для одного мультииндекса α порядка kфункция aα не равняется нулю тождественно, и D α —производная порядка α.Линейный дифференциальный оператор (14) действует на Pобобщенную функцию F ∈ D 0 (G) по правилу LF =aα (x)D α F .
Если обобщенные функции F1 и|α|≤kF2 удовлетворяют равенству LF1 = F2 , то говорят, что F1 является решением дифференциального уравнения LF = F2 впространстве обобщенных функций D 0 (G).Определение. Обобщенная функция E называется фундаментальным решением дифференциального оператора L,если LE = δ.Напомним следующую формулу Грина, известную из курса математического анализа:Для любой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром ∂D, в предположении непрерывности функций P , Q и их∂P ∂Qпроизводных,в замыкании области D, справедлива∂y ∂xформулаIZZ ∂Q ∂Pdx dy,−P dx + Q dy =∂x∂y∂DD54контур обходится в положительном направлении против часовой стрелки.Пример 34. Докажем, что в D 0 (R2 ) выполняется равенство∂2F(x, y) = δ(x, y),∂x∂yгде F (x, y) = H(x)H(y) является произведением функцийХевисайда.
Другими словами, докажем, что функция Fявляется фундаментальным решением дифференциального∂2.оператора∂x∂yДоказательство. Функция F (x, y) = H(x)H(y) является локально интегрируемой, поэтому она порождает регулярную обобщенную функцию. Пользуясь правилом дифференцирования обобщенных функций, запишем∂2F,ϕ∂x∂y Z+∞ Z+∞∂2ϕ∂2ϕ=H(x)H(y)= F,dx dy.∂x∂y∂x∂y−∞ −∞Область D, в которой F (x, y) = 1, изображена на рис.
9.Применяя формулу Грина, от интеграла по области перейдемк интегралу по границе областиZ+∞ Z+∞0∂2ϕdx dy = limR→+∞∂x∂y0ZZ∂2ϕdx dy =∂x∂yDRZ∂ϕ∂ϕ2 = P = 0, Q =, ϕ ∈ D(R ) = limdy. R→+∞∂y∂y∂DR55Рис. 9. Область DRГраницами области DR являются: ось Ox, интегрированиевдоль которой будет идти в сторону возрастания x; дуга окружности CR радиуса R, R → +∞, интегрирование вдоль которой будет идти против часовой стрелки; ось Oy, интегрирование вдоль которой будет идти в сторону убывания y.Z+∞∂ϕ(x, 0)dy вдоль оси Ox равен нулю, так какИнтеграл∂y0параметр y = Z0.∂ϕИнтегралdy по дуге окружности CR равен нулю,∂yCRтак как пробная функция ϕ(x, y) = 0 для всех (x, y) : x2 +y 2 >R2 при достаточно большом R.56Интеграл вдоль оси Oy будет равенZ0+∞y=0∂ϕ(0, y)= ϕ(0, 0) − ϕ(0, +∞) = ϕ(0, 0).dy = ϕ∂yy=+∞Мы подставили значение x = 0, так как интегрирование велось вдоль оси Oy, на которой x = 0.Итак, мы получили, что 2∂ F, ϕ = ϕ(0, 0) = δ(x, y).∂x∂yЗначит, обобщенная функция F (x, y) = H(x) H(y) является фундаментальнымрешением дифференциального∂2.оператора∂x∂yПример 35.
Докажем, что в D 0 (R2 ) выполняется равенство1 ∂2F∂2F−= δ(x, y),a2 ∂x2∂y 2где a — некоторая положительная постоянная, а a , если a2 x2 − y 2 ≥ 0 и x ≥ 0,2F (x, y) =0, в противном случае.Другими словами, докажем, что функция F являетсяфундаментальным решением волнового оператора∂2F1 ∂2F−a2 ∂x2∂y 2.57Доказательство. Пользуясь правилом дифференцирования обобщенных функций, запишем 21 ∂2F∂2F1 ∂2F∂ F−,ϕ = 2,ϕ −,ϕ =a2 ∂x2∂y 2a∂x2∂y 2 1∂2ϕ∂2ϕ1 ∂2ϕ ∂2ϕ= 2 F, 2 − F, 2 = F, 2 2 − 2 .a∂x∂ya ∂x∂yЭтим мы перенесли операцию дифференцирования с обобщенной функции F на основную функцию ϕ.Так как функция a , если a2 x2 − y 2 ≥ 0 и x ≥ 0,2F (x, y) =0, в противном случаеявляется локально интегрируемой, то она порождает регулярную обобщенную функцию по правилу Z+∞ Z+∞1 ∂2ϕ ∂2ϕ1 ∂2ϕ ∂2ϕF, 2 2 − 2 =F (x, y) 2 2 − 2 dx dy =a ∂x∂ya ∂x∂y−∞ −∞=ZZD1 ∂2ϕ ∂2ϕF (x, y) 2 2 − 2 dx dy.a ∂x∂yaОбласть D, в которой F (x, y) = , изображена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
