1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема о связи классической иобобщенной производныхОпределение. Пусть G — область в Rn и α — некоторыймультииндекс. Производной порядка α обобщенной функции F ∈ D 0 (G) называется новая обобщенная функция D α F ,которая действует на любую основную функцию ϕ ∈ D(G)по правилу (D α F, ϕ) = (−1)|α| (F, Dαϕ).Пример 18. Производная одномерной δ-функции сопоставляет пробной функции минус значение ее производной в нуле.Решение. В самом деле,(δ 0 (x), ϕ(x)) = −(δ(x), ϕ0 (x)) = −ϕ0 (0).Дифференцируя по x дельта-образную последовательность(и похожую на нее), будем получать последовательности,сходящиеся к производным от дельта-функции.

Например,дифференцируя семействоfε (x) =ε1→ ±δ(x) при ε → ±0,π x2 + ε2приведенное в примере 8, получимfε0 (x) = −2εx→ ±δ 0 (x) при ε → ±0.222π (x + ε )На рис. 7 представлен график стоящей слева функции, иллюстрирующий график производной от дельта-функции. Обозначения на рис.

7 аналогичны обозначениям на рис. 5. Обобщенная функция δ 0 (x) имеет еще более «острую» особенность,чем δ(x), причем принимает значения обоих знаков.Аналогично (δ (k) (x), ϕ(x)) = (−1)k ϕ(k) (0).34Рис. 7. Графики функций fε0 k (x)Пример 19. Производная функции Хевисайда H(x) равнаδ-функции, т. е. H 0 (x) = δ(x).Решение.Z+∞(H 0 (x), ϕ(x)) = −(H(x), ϕ0 (x)) = −H(x)ϕ0 (x) dx =−∞+∞Z+∞= ϕ(0) = (δ(x), ϕ(x)).=−ϕ0 (x) dx = −ϕ(x)0035Определение.

Функцию f (x) : R → R будем называетькусочно-гладкой, если она является кусочно-гладкой в смысле теории рядов Фурье на любом конечном промежутке [a, b],т. е. если в [a, b] найдется конечное число точек a = x0 < x1 <. . . < < xn = b таких, что в каждом открытом промежутке(xj , xj+1 ) функция f (x) непрерывно дифференцируема, а вкаждой точке xj у f существуют конечные пределы слева исправа:f (xj − 0) = lim f (xj − h), f (xj + 0) = lim f (xj + h),h→+0h→+0а также существуют и конечны следующие пределы, похожиена левую и правую производныеf (xj − h) − f (xj − 0),h→+0−hlimf (xj + h) − f (xj + 0).h→+0hlimТеорема (о связи классической и обобщенной производных кусочно-гладкой функции).

Для всякой кусочно-гладкойфункции f : R → C справедливо равенствоX00fоб= fкл+[f ]xk δ(x − xk ),(8)kгде скачок функции f определяется так:[f ]xk = f (xk + 0) − f (xk − 0) = lim f (xk + h) − lim f (xk − h).h→+0h→+0Пример 20. Докажем равенство δ 0 (−x) = −δ 0 (x).Доказательство. Подействуем обобщенной функциейδ 0 (−x) на пробную функцию ϕ(x). Наблюдаем сочетание двухопераций: замены переменной y = −x и дифференцирования обобщенной функции. Сначала совершим замену переменной, а затем возьмем производную(δ 0 (−x), ϕ(x)) = (δ 0 (y), ϕ(−y)) = −(δ(y), (ϕ(−y))0) =36= −(δ(y), −ϕ0 (−y)) = ϕ0 (0).(9)Производную функции (ϕ(−y))0 вычисляем по правилу дифференцирования сложной функции(ϕ(−y))0 = ϕ0 (−y) · (−y)0 = −ϕ0 (−y).Теперь подействуем на пробную функцию ϕ(x) обобщеннойфункцией −δ 0 (x) и получим(−δ 0 (x), ϕ(x)) = (δ(x), ϕ0 (x)) = ϕ0 (0).(10)Сравнивая правые части равенств (9) и (10), заключаемδ 0 (−x) = −δ 0 (x).Пример 21.

Докажем равенство∞∞XXδ(x − 2πk).e2πikx = 2πk=−∞k=−∞Доказательство. Изучив тему «Ряды Фурье», мы научились представлять кусочно-гладкие функции рядами Фурье.Поэтому легко можем показать, что рядsin 2x sin 3xsin x +++ ...23π−xсходится к функции f (x) =при 0 < x < 2π и про2долженной с периодом 2π на всю ось. Продолженная функция f˜ терпит разрывы первого рода в точках x = 2πk, k =0, ±1, ±2, . . .. Формально почленно продифференцировависходный ряд, получим повсюду расходящийся рядcos x + cos 2x + cos 3x + . . . .В [9] показано, что частичные суммы ряда∞Xsin kxk=1kсолютной величине равномерно ограничены числом37по аб-π+ 1.2Также в [9] доказано утверждение, принадлежащее Фату:если в точке x существует конечная производная f 0 (x), торяд Фурье∞Xk(bk cos kx − ak sin kx),k=1полученный почленным дифференцированием ряда∞X(ak cos kx + bk sin kx) = f (x),k=1суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к суммеf 0 (x).Более того, эта теорема может быть обобщена на случайповторного дифференцирования, если в точке x существуетконечная производная f (m) (x), m > 1.∞Xsin kxπ−xТаким образом, ряд=при 0 < x < 2πk2k=1можно почленно дифференцировать и сумма ряда, составленного из производных, равна производной от суммы перво˜ 0 .

Продолженная функция f˜ терпитначального ряда (f)разрывы первого рода в точках x = 2πk, k = 0, ±1, ±2, . . .,поэтому по правилу дифференцирования кусочно-гладкойфункции получаем+∞X1cos x + cos 2x + cos 3x + . . . = − + πδ(x − 2πk).2−∞Пользуясь формулами Эйлера для выражения косинусов, получаем равенствоixi2x1+e +e−ix+e−i2x+e+ . .

. = 2π+∞X−∞или∞Xk=−∞2πikxe= 2π∞Xk=−∞38δ(x − 2πk)δ(x − 2πk).Пример 22. Найдем предел в D 0 (G)δ(x + h) − δ(x − h)hпри h → 0.Решение. Подействуем на пробную функцию ϕ(x) обобδ(x + h) − δ(x − h)щенной функцией. В силу линейностиhимеемlimh→01[(δ(x + h), ϕ(x)) − (δ(x − h), ϕ(x))] =hϕ(0 − h) − ϕ(0 + h)=h→0hϕ(0 + h) − ϕ(0) ϕ(0 − h) − ϕ(0)=−= lim −h→0h−h= lim= −2 ϕ0 (0).Воспользовавшись правилом дифференцирования обобщенной функции, перенесем действие на обобщенную функциюи получим −2 ϕ0 (0) = 2(δ 0 (x), ϕ(x)).Таким образом, при h → 0δ(x + h) − δ(x − h), ϕ(x) = 2(δ 0 (x), ϕ(x)).hПример 23. Докажем, что в D 0 (G) для любых натуральных k и m справедливы равенстваm!δ (m−k) , если 0 ≤ k ≤ m, (−1)k(m−k)!xk δ (m) (x) =0, если k > m.В частности, проверим равенство xδ 0 (x) = −δ(x).39Доказательство. Напомним формулу Лейбница дифференцирования произведения n раз дифференцируемыхфункций f и g(f · g)(n) x0=nXk=0Cnk f (k) (x0 ) · g (n−k) (x0 );производная порядка n ≤ k монома xk вычисляется по формуле(xk )(n) = k · (k − 1) · .

. . · (k − n + 1) · xk−n =k!· xk−n .(k − n)!Воспользуемся правилами умножения на бесконечно дифференцируемую функцию и дифференцирования для обобщенной функции(xk δ (m) (x), ϕ(x)) = (δ (m) (x), xk ϕ(x)) == (−1)m (δ(x), (xk ϕ(x))(m) ) =m= (−1)δ(x),mXnCm(xk )(n) (ϕ(x))(m−n)n=0= (−1)m δ(x),mXn=0В суммеmXn=0!=!m!(xk )(n) (ϕ(x))(m−n) .n!(m − n)!m!(xk )(n)n!(m − n)!будут равны нулю те слагаемые, для которых n > k.Для всех n < k при действии δ-функции на пробнуюфункцию x(k−n) ϕ(x) имеем(δ(x), x(k−n) ϕ(x)) = 0 · ϕ(0) = 0.40Следовательно, в сумме не равно нулю только одно слагаемоес индексом n = k, а значит, мы получаем!mXm!mk (n)(m−n)δ(x),(−1)=(x ) (ϕ(x))n!(m − n)!n=0m!m(m−k)δ(x),= (−1)ϕ(x) =k!(m − k)!m!(δ (m−k) (x), ϕ(x)).= (−1)k(m − k)!В последнем действии мы перенесли операцию дифференцирования с пробной функции на δ-функцию.Равенство xδ 0 (x) = −δ(x) проверяется простой подстановкой значения k = 1 в полученную формулу.Пример 24.Докажем, что обобщенные функцииδ, δ 0 , δ 00 , .

. . , δ (k) линейно независимы.Доказательство. Обобщенные функции, вообще говоря,не имеют значений в отдельных точках, но при наводящихсоображениях для наглядности будем относиться к обобщенным функциям как к обычным функциям. Сначала докажем линейную независимость функций δ и δ 0 . ПустьG = R и ϕ ∈ D(G), покажем, что если a δ(x) + b δ 0 (x) = 0, тоa = b = 0. Доказательство будем вести от противного. Пустьa δ(x) + b δ 0 (x) = 0. Это равенство должно выполняться длявсех x ∈ G, в том числе и для −x, тогда имеем a δ(x) + b δ 0 (x) = 0,a δ(−x) + b δ 0 (−x) = 0.Воспользовавшись тем, что δ-функция четна, а δ 0 нечетна,получим a δ(x) + b δ 0 (x) = 0,a δ(x) − b δ 0 (x) = 0.41Сложив эти равенства, получим 2a δ(x) = 0, из чего заключаем, что a = 0.

Вычтя из первого равенства второе, имеем2b δ 0 (x) = 0, отсюда делаем вывод, что b = 0. Это были наводящие соображения.Теперь рассмотрим общий случай. Покажем, что еслиa1 δ(x) + a2 δ 0 (x) + . . . + ak δ (k) (x) = 0,(11)то a1 = a2 = . . . = ak = 0.Возьмемпоследовательностьосновныхфункций(k)ϕn ∈ D(G), n = 1, 2, . . . , k. Зная, что δ (k) = (−1)k ϕn (0),запишем равенство (11) для каждой функции ϕn и получимсистему уравнений(k)0k a1 ϕ1 (0) − a2 ϕ1 (0) + . . .

+ (−1) ak ϕ1 (0) = 0,...(k)a1 ϕk (0) − a2 ϕ0k (0) + . . . + (−1)k ak ϕk (0) = 0или в матричном виде(12)AX = B,где(k)ϕ1 (0) . . . (−1)k ϕ1 (0)A = ..., X = (k)ϕk (0) . . . (−1)k ϕk (0)a1.. , B = . ak0.. .. 0Так как равенство (12) должно выполняться для любойматрицы A, то вектор X равен нулю, т.

е. a1 = a2 = . . . =ak = 0, а это доказывает линейную независимость функцийδ, δ 0 , δ 00 , . . . , δ (k) .42В примерах 25–27 вычислим производные f (k) ,для кусочно-гладких функций.k ≥ 1,Пример 25. f (x) = H(x).Решение. Первую производную функции Хевисайда H(x)мы вычислили в примере 19: H 0 (x) = δ(x). Производная порядка k > 1 будет равна H (k) (x) = δ (k−1) (x).Пример 26. f (x) = |x|.Решение. Функция |x| является непрерывной кусочногладкой функцией, и ее классическая производная равна(|x|)0 = sign x. Скачок функции |x| в точке излома x = 0 равен 0, поэтому по формуле (8) для обобщенной производнойимеем0fоб= sign x + 0 · δ(x − 0) = sign x.Функцию sign x можем представить через функцию Хевисайда sign x = −1+2H(x).

Вторую производную запишем так:(|x|)00 = (sign x)0 = (−1 + 2H(x))0 . Так как классическая производная функции sign x равна 0, а скачок функции 2H(x) вточке излома x = 0 равен 2, то по формуле для обобщеннойпроизводной имеем(−1 + 2H(x))0 = 2δ(x).Производная порядка k, k > 2 будет равна(|x|)(k) = 2δ (k−2) (x).Пример 27. f (x) = sign(sin x).Решение.

График функции f (x) приведен на рис. 8.43Рис. 8. График функций f (x) = sign (sin x).В точках x = kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . функция терпит разрывпервого рода, причем в точках x = 2kπ скачок [f (x)] = 2,а в точках x = π + 2kπ скачок [f (x)] = −2. Следовательно,обобщенная производная первого порядка равна0fоб =+∞X2δ(x−2jπ)−2δ(x−π+2jπ) = 2j=−∞+∞X(−1)j δ(x−jπ).j=−∞Обобщенную производную порядка k, k > 1 вычислим поформуле+∞X(k)(−1)j δ (k−1) (x − jπ).f =2обj=−∞Пример 28. Докажем равенствоd1ln|x| = P ,dxxZ+∞где (ln|x|, ϕ) = v.p.ln|x|ϕ0 (x) dx.−∞Доказательство.

По правилу дифференцирования обобщенной функции и по определению регулярной обобщенной44функции имеемZ+∞d0ln|x|, ϕ(x) = −(ln|x|, ϕ (x)) = −v.p.ln|x|ϕ0 (x) dx.dx−∞Здесь мы записали обобщенную функцию как интеграл всмысле главного значения, так как функция ln|x| не является локально интегрируемой функцией в окрестности нуля.Поскольку ϕ — основная функция и зануляется вне промежутка [−R, R], то интеграл в смысле главного значенияимеет видZ+∞−v.p.ln|x|ϕ0 (x) dx =−∞= − lim ε→+0Z−εZRln|x|dϕ(x) +ε−Rln|x|dϕ(x) =−εZ−εsign x= − lim ln|x|ϕ(x) −ϕ(x) dx −ε→+0|x|−R−RR ZRsign xϕ(x) dx =− lim ln|x|ϕ(x) −ε→+0|x|εεZ−εϕ(x) dx −= − lim ln(ε)ϕ(−ε) −ε→+0x−R− lim −ln(ε)ϕ(ε) −ε→+0ZRεϕ(x) dx =x= − lim ln(ε)ϕ(−ε) − ln(ε)ϕ(ε) + v.p.ε→+045Z+∞−∞ϕ(x)dx.xПользуясь дифференцируемостью функции ϕ, запишемϕ(−ε) − ϕ(ε)lim ln(ε)ϕ(−ε) − ln(ε)ϕ(ε) = lim ε ln(ε)= 0.ε→+0ε→+0εПрименяя правило Лопиталя, легкоlim εln(ε) = 0.

Характеристики

Список файлов книги