1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим одномерный случайG ⊂ R. Показав, что интеграл, определяемый равенством8(1), а) существует; б) линеен; в) непрерывен, мы докажем,что он задает обобщенную функцию.Интеграл, определяемый равенством (1), сходится (существует и конечен) для любой функции ϕ ∈ D: если ϕ ∈ D, тосуществует отрезок [a; b] ⊃ supp ϕ, причем по теореме Вейерштрасса функция ϕ, будучи непрерывной, ограничена на[a; b], т.

е. существует такая постоянная M > 0, что для всехx ∈ [a; b] выполняется неравенство |ϕ(x)| ≤ M. Поэтому на[a; b] верно неравенство |f (x)ϕ(x)| ≤ M|f (x)|, а значит, интегралZbZb|f (x)ϕ(x)| dx ≤ M |f (x)| dxaaсходится, так как f является локально интегрируемой функцией. Для всех x, лежащих вне отрезка [a; b], имеем|f (x)ϕ(x)| = 0, поэтомуZG|f (x)ϕ(x)| dx =Zba|f (x)ϕ(x)| dx ≤ MZba|f (x)| dx < +∞.Следовательно, он абсолютно, а потому и просто, сходится.Таким образом, интеграл существует.Линейность функционала (1) следует из линейности интеграла.

Докажем непрерывность этого функционала. Пустьlim ϕn = ϕ в D. Тогда существует такой отрезок [a; b], чтоn→∞для всех n = 1, 2, . . . имеют место включения supp ϕn ⊂ [a; b]и supp ϕ ⊂ [a; b]. Следовательно, в силу равномерной сходимости ϕn ⇒ ϕ при n → +∞, имеемZ|(f, ϕ) − (f, ϕn )| ≤ |f (x)||ϕ(x) − ϕn (x)| dx =GZbZb= |f (x)||ϕ(x)−ϕn (x)| dx ≤ sup |ϕ(x)−ϕn (x)| |f (x)| dx → 0.ax∈[a;b]9aТаким образом, мы доказали существование, линейность инепрерывность функционала, задаваемого формулой (1), следовательно, он является обобщенной функцией.Определение. Обобщенная функция F называетсярегулярной, если для нее найдется «обычная» функцияf ∈ L1,loc (G), которая порождает F по формуле (1).Определение. Обобщенная функция, не являющаясярегулярной, называется сингулярной.Приведем примеры наиболее важных сингулярных обобщенных функций.Пример 3 (современное определение δ-функции Дирака).Зададим функционал δ : D(Rn ) → C с помощью формулыδ(ϕ) = ϕ(0).(2)Линейность и непрерывность функционала, заданноготакой формулой, очевидны.

Покажем, что функционал, заданный формулой (2), нельзя представить в виде (1) ни прикакой локально интегрируемой функции f .Действительно, рассмотрим для простоты одномерныйслучай и предположим, что для некоторой локально интегрируемой функции f и любой основной функции ϕ имеетместо равенствоZ+∞f (x)ϕ(x) dx = ϕ(0).−∞Взяв в качестве основной функцию ϕ, задаваемую равенствомa2 e− a2 −x2 , если |x| < a,ϕ(x) =0, если |x| ≥ a,10получимZ+∞1f (x)ϕ(x) dx = ϕ(0) = .e(3)−∞Но в силу непрерывности интеграла ЛебегаlimZaa→0−a|f (x)| dx = 0.−Так как при |x| < a выполняется ea2a2 −x21< , тоe +∞ +∞ ZZZa2 1a−22 f (x)ϕ(x) dx = f (x)e a −x dx ≤ e |f (x)| dx, −∞−∞−aпоэтому левая часть равенства (3) при a → 0 стремится к нулю, а правая нет.

Полученное противоречие доказывает нашеутверждение.1Пример 4. Сингулярная обобщенная функция P задаетxся следующим образом:Z+∞ϕ(x)1dx,P , ϕ = v.p.xx−∞где интеграл в смысле главного значения (valeur principale)вычисляется по формуле −ε +∞Z+∞ZZϕ(x)ϕ(x)v.p.dx = lim+ dx.ε→+0xx−∞−∞11ε1Обобщенная функция P есть продолжение регулярной обобx1с множества x 6= 0 на всю ось R. Отмещенной функцииx1тим, что P совпадает с локально интегрируемой функциейx111при x 6= 0, т.

е. для любой ϕ ∈ D(R\{0}) (P , ϕ) =,ϕ .xxxПокажем, что для всякой основной функции ϕ : R → Cсправедливо равенствоv.p.Z+∞ϕ(x)dx = v.p.xZ+∞ϕ(x) − ϕ(0)dx.x(4)−∞−∞Доказательство. Так как ϕ является основной функцией,то ∃R > 0 : supp ϕ ∈ [−R; R]. Рассмотрим интеграл, стоящийв левой части уравнения,Z+∞ϕ(x)v.p..x−∞Особыми точками для этого интеграла −∞ и +∞ не являются, так как основная функция ϕ зануляется вне промежутка[−R; R], поэтомуZRZ+∞ϕ(x)ϕ(x)= v.p..v.p.xx−∞−RНо x = 0 будет особой точкой для подынтегральной функцииϕ(x), следовательно, интеграл в смысле главного значенияxбудет иметь вид −εZZRZRϕ(x) ϕ(x)ϕ(x)dx = lim dx +dx . (5)v.p.ε→+0xxx−R−R12εДокажем вспомогательное равенствоZ−εϕ(0)dx = −x−RZRϕ(0)dx.xεДля этого в интеграле, стоящем в левой части равенства,сделаем замену переменной x = −t, тогдаZ−εZεϕ(0)dx =x−Rϕ(0)dt = −tZRϕ(0)dt,tεRчто и доказывает вспомогательное равенство.Преобразуем первый интеграл, стоящий в правой части равенства (5): к числителю подынтегральной функциидобавим ϕ(0) − ϕ(0) и сгруппируем слагаемые следующимобразом: −εZZRϕ(x)ϕ(x) lim dx +dx =ε→+0xxε−R −ε−εZZRZϕ(x) ϕ(0)ϕ(x) − ϕ(0)dx +dx +dx .= lim ε→+0xxxε−R−RВоспользовавшись вспомогательным равенством, получим −εZZRZRϕ(x) − ϕ(0)ϕ(0)ϕ(x) lim dx −dx +dx =ε→+0xxxε−R= lim ε→+0Z−εϕ(x) − ϕ(0)dx +xεZRε−R= v.p.ZRϕ(x) − ϕ(0) dx =xϕ(x) − ϕ(0)dx.x−R13Последнее равенство следует из определения интеграла всмысле главного значения.Итак, левую часть равенства (4) мы привели к видуv.p.Z+∞ϕ(x)dx = v.p.x−∞ZRϕ(x) − ϕ(0)dx.x(6)−RРассмотрим интеграл, стоящий в правой части равенства(4),Z+∞ϕ(x) − ϕ(0)dx.v.p.x−∞Основная функция ϕ(x) зануляется вне промежутка [−R; R],но функция ϕ(x) − ϕ(0) не зануляется вне этого промежутка,поэтому интеграл имеет особенности в −∞ и +∞.

Точкаx = 0 не будет особой для подынтегральной функцииϕ(x) − ϕ(0),xтак какϕ(x) − ϕ(0)→ ϕ0 (0) при x → 0.xСледовательно, интеграл в смысле главного значения будетиметь видv.p.Z+∞ϕ(x) − ϕ(0)dx = lima→+∞x= lim −a→+∞ϕ(x) − ϕ(0)dx =x−a−∞Z+aZ−R−aϕ(0)dx +xZRϕ(x) − ϕ(0)dx −x−RZaR14ϕ(0) dx .xЗдесь a > R, и мы воспользовались тем, что ϕ(x) = 0 приx > R. Используя вспомогательное равенство, имеем aZZRZaϕ(0)ϕ(x) − ϕ(0)ϕ(0) lim dx +dx −dx =a→+∞xxxR= lim−RZRa→+∞−RRZRϕ(x) − ϕ(0)dx = v.p.xϕ(x) − ϕ(0)dx.x−RТаким образом, правую часть равенства (4) мы привелик видуv.p.Z+∞ϕ(x) − ϕ(0)dx = v.p.x−∞ZRϕ(x) − ϕ(0)dx.x(7)−RСравнивая (6) и (7), убеждаемся в справедливости равенства(4).Пример 5. Приведем еще две сингулярные обобщенныефункции из D 0 (R), соответствующие выбору либо верхнего,либо нижнего знака, по формуле1,ϕx ± i0= limZ+∞ε→0+−∞ϕ(x)dx.x ± iεФормула Сохоцкого связывает последние функции1с δ-функцией Дирака и функцией P следующим образом:x11= ∓iπ δ + P .x ± i0x151.2.

Дельта-образные последовательностиДирак ввел понятие дельта-функции одной вещественнойпеременной как «функции», для которой выполняются следующие равенства: +∞, если x = 0,δ(x) =0, если x 6= 0;Z+∞δ(x) dx = 1.−∞Т. е. эта функция не равна нулю только в точке x = 0, гдеона обращается в бесконечность таким образом, чтобы ее интеграл по любой окрестности x = 0 был равен 1. Графическиее можно представить следующим образом (рис. 2).Рис.

2. График дельта-функции Дирака δ(x)16Такое определение дельта-функции является некорректнымс точки зрения математики, и мы будем смотреть на дельтафункцию как на предел дельта-образных последовательностей.Определение.Говорят,чтопоследовательностьh1 , . . . , hk , . . . вещественно-значных функций, определенныхво всем пространстве Rn , является δ-образной, если(1) для каждого k ∈ N функция hk : Rn → R интегрируема в Rn ;(2) для любых x ∈ Rn и k ∈ N справедливо неравенствоhk (x) ≥ 0;(3) для каждого k ∈ N существует положительное числоεk такое, что hk (x) = 0 для всех x ∈ Rn таких, что |x| > εk ,причем εk → 0 при k → +∞;R(4) hk (x) = 1 для всех k ∈ N.RnДельта-образных последовательностей существует бесконечно много.

Каждую из них можно использовать для записиточечного воздействия, сосредоточенной силы (или сосредоточенного момента), приложенной в одной точке.Пример 6. Примером дельта-образной последовательности может служить следующая последовательность функций, график которой приведен на рис. 3, 1, если | x |≤ εk ,2εkhk =0, если | x |> εk .17Рис. 3. График дельта-образной последовательности hk (x)В примерах 7–10 докажем, что пределами указанных функций в D 0 (R) является дельта-функция.Пример 7.x21√ e− 4ε → δ(x) при ε → +0.2 πεДоказательство.

Покажем,чтопределфункx21ции fε (x) = √ e− 4ε при ε → +0 действует на основную2 πεфункцию ϕ(x) так же, как дельта-функция Дирака δ(x), т. е.lim (fε (x), ϕ(x)) = (δ(x), ϕ(x)).ε→+0При фиксированных значениях аргумента x (x 6= 0) функцияfε (x) → 0 при ε → +0. При x = 0 функция fε (x) → +∞при ε → +0. На рис. 4 приведены графики функции fε (x)при различных значениях ε, кривые с меньшим значением εотмечены бо́льшим номером.18Рис. 4. График функции f (x)Функция fε (x) является непрерывной, следовательно, локально интегрируемой, поэтому она порождает регулярную обобщенную функцию по правилу1F (ϕ) = √2 πεZ+∞ 2xe− 4ε ϕ(x) dx.−∞xВыполним в интеграле замену переменной t = √ . Пределы2 εинтегрирования не изменятся, а интеграл примет вид1√2 πεZ+∞Z+∞√√√122e−t ϕ(2 εt)2 ε dt = √e−t ϕ(2 εt) dt.π−∞−∞19Оценим подынтегральную функцию√ √ 2 −t2e ϕ(2 εt) ≤ ϕ(2 εt) e−t .Так как функция ϕ(x) является основной (т. е.

Характеристики

Список файлов книги