1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (826866), страница 6
Текст из файла (страница 6)
10.2Границы области D установим, разрешив равенствоa2 x2 = y 2 : a|x| = |y|, ax = ±y по условию a > 0 x ≥ 0.Область D, заданная неравенством a2 x2 ≥ y 2 , лежит междулучами y = −ax и y = ax.Применяя формулу Грина, от интеграла по области перейдем к интегралу по границе областиZZ 1 ∂2ϕ a ∂2ϕ−dx dy =2a ∂x22 ∂y 2D58 Za ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕa ∂ϕ2 = P =, Q=, ϕ ∈ D(R ) =dx+dy.2 ∂y2a ∂x2 ∂y2a ∂x∂DГраницами области D являются: луч ∂D1 : y = −ax, интегрирование вдоль которой будет идти в сторону возрастанияx; дуга окружности ∂D2 : CR радиуса R, R → +∞, интегрирование вдоль которой будет идти против часовой стрелки; луч ∂D3 : y = ax, интегрирование вдоль которой будетидти в сторону убывания x.Рис.
10. Область DВычислим интеграл по границе ∂D1 . С помощью параметризации x = x(t) = t, y = y(t) = −at, 0 ≤ t < +∞ мыперешли от функции ϕ(x, y) к функции t 7→ ϕ(t, −at) = g(t).59Дифференцирование функции g(t) произведем по правилудифференцирования сложной функцииdg∂ϕdx ∂ϕdy=(t, −at) ·+(t, −at) ·=dt∂xdt∂ydt=∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ(t, −at) · 1 +(t, −at) · (−a) =(t, −at) − a (t, −at).∂x∂y∂x∂yИнтегрируя по границе ∂D1 , получаемZ∂D1Z+∞ a ∂ϕa ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕdx +dy =(t, −at) − a(t, −at) dt =2 ∂y2a ∂x2 ∂y2a ∂x01=−2Z+∞0dg11 +∞1= − (g(+∞) − g(0)) = g(0).dt = g dt2 022Значение функции g в ∞ равно нулю (g(+∞) = 0), так какпробная функция ϕ(t, −at) = 0 при t → +∞.Интеграл по дуге окружностиZ1 ∂ϕa ∂ϕdx +dy = 0,2 ∂y2a ∂xCRтак как пробная функция ϕ(x, y) = 0 для всех x, y таких,что x2 + y 2 > R2 .Вычислим интеграл по границе ∂D2 .
Произведя параметризацию x = x(t) = t, y = y(t) = at, 0 ≤ t < +∞, от функцииϕ(x, y) перейдем к функции t 7→ ϕ(t, at) = g(t). Продифференцировав функцию g(t) по правилу дифференцированиясложной функции, получимdg∂ϕ∂ϕ=(t, at) + a (t, at).dt∂x∂y60Так как ориентация получилась противоположной направлению обхода, то изменим знак перед интегралом на противоположныйZ∂D1Z+∞a ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕa ∂ϕdx +dy = −(t, at) + a(t, at) dt =2 ∂y2a ∂x2 ∂y2a ∂x01=−2Z+∞0dg11 +∞1= − (g(+∞) − g(0)) = g(0).dt = − g dt2 022Используя свойство аддитивности интегралаZZZZf dt,f dt +f dt +f dt =∂D∂D1∂D2∂D3имеемZa ∂ϕ1 ∂ϕdx +dy = ϕ(0, 0) = δ(x, y).2 ∂y2a ∂x∂DИтак, мы получили, что∂2F1 ∂2F−, ϕ = ϕ(0, 0) = δ(x, y).a2 ∂x2∂y 2Значит, обобщенная функция F (x, y) является фундаментальным решением дифференциального оператора1 ∂2F∂2F−.a2 ∂x2∂y 2613.2.2.
Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператораТеорема. ПустьL=kXak−j (x)j=0djdxj— обыкновенный линейный дифференциальный операторв R, причем a0 = 1, а ak (x) бесконечно дифференцируемы.Пусть функция f0 : R → R ∈ C k (R) является «классическим» решением однородного уравнения Lf = 0, которое удо(k−2)влетворяет условиям f0 : f0 (0) = f00 (0) = · · · = f0(0) = 0(k−1)и f0(0) = 1. Тогда регулярная обобщенная функцияE = H(x)f0 (x) является фундаментальным решением оператора L, т. е. удовлетворяет уравнению LE = δ.Пример 36. Найдем фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператораL=d− λ.dxРешение. Сначала найдем решение классического дифференциального уравнения Lf = 0.
Уравнениеdf0− λf0 = 0dxявляется уравнением первого порядка, начальные условия,задаваемые условием теоремы, имеют видf0 (0) = 1.Решим его методом разделения переменных. Преобразуемdf0= λdx. Интегрируя, получимуравнение к видуf0ZZdf0= λdx, или ln |f0 | = λx + C.f062Это общее решение данного уравнения. Приведем его к видуf0 (x) = Ceλx .Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную C; получаем 1 = Ceλ·0 , откуда получаемискомое решение f0 (x) = eλx .По теореме регулярная обобщенная функцияE = H(x)eλxявляется фундаментальным решением оператора L =d−λ.dxПример 37. Найдем фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператораL=d2+ λ2 .dx2Решение.
Найдем решение классического дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиямиf0 (0) = 0 и f00 (0) = 1.(15)Пусть λ 6= 0. Характеристическое уравнение k 2 +λ2 = 0 имееткомплексно сопряженные корни k = ±|λ|i, а потому им соответствуют частные решения cos λx, sin λx.
Следовательно,общее решение имеет видf0 (x) = A cos λx + B sin λx,а его производнаяf00 (x) = −Aλ sin λx + Bλ cos λx.Используя начальные условия, найдем произвольные посто1янные A = 0 и B = , откуда получаем искомое решениеλsin λx.f0 (x) =λ63Если λ = 0, то дифференциальное уравнение второго поd2 f0рядка примет вид= 0. Его решением, удовлетворяd2 xющим начальными условиям (15), является функцияf0 (x) = x.
Так как sin λx ∼ λx при λx → 0, то решениеsin λxприf0 (x) = x является пределом решения f0 (x) =λλ → 0. Таким образом, регулярная обобщенная функцияsin λxλявляется фундаментальным решением линейного дифференd2циального оператора L = 2 + λ2 .dxE = H(x)3.3. Свертка обобщенных функцийОпределение. Пусть F и G — обобщенные функции вR , причем для любой пробной функции ϕ ∈ D(Rn ) функцияy 7→ (G(z), ϕ(y + z)) также является пробной. В этом случае сверткой функций F и G называют новую обобщеннуюфункцию F ∗ G, которая действует на любую основную функцию ϕ ∈ D(Rn ) по правилу (F ∗G, ϕ) = (F (y), (G(z), ϕ(y+z))).Отметим, что если функция y 7→ (G(z), ϕ(y + z)) не являетсяпробной, то свертка F ∗ G не может быть определена длялюбой обобщенной функции F .
Вместе с тем для некоторых«удачно подобранных» F может оказаться, что свертка определена корректно даже в этом случае.Свойства свертки обобщенных функций.1. Для любой обобщенной функции F определена ее сверткас δ-функцией. При этом F ∗ δ = F .Замечание. Смысл этой формулы состоит в том, что всякую обобщенную функцию можно разложитьZ по δ-функциям,а это формально записывают так: f (x) = f (ξ)δ(x − ξ) dξ.n64Именно эту формулу имеют в виду, когда говорят, что всякоематериальное тело состоит из точечных масс, всякий источник состоит из точечных источников и т. д.2.
Свертка линейна по первому аргументу, т. е. для любыхчисел a1 и a2 и обобщенных функций F1 , F2 и G, таких, чтоопределены свертки F1 ∗G и F2 ∗G, определена также свертка(a1 F1 + a2 F2 ) ∗ G, причем имеет место равенство(a1 F1 + a2 F2 ) ∗ G = a1 (F1 ∗ G) + a2 (F2 ∗ G).3. Свертка коммутативна, т. е. для любых обобщенных функций F и G таких, что определены свертки F ∗G и G∗F , имеетместо равенство F ∗ G = G ∗ F .4. Для того чтобы продифференцировать свертку, достаточно продифференцировать любой из сомножителей. Другимисловами, если для обобщенных функций F и G определенасвертка F ∗ G, то для любого мультииндекса α определенытакже свертки (D α F )∗G и F ∗(D α G) и имеет место равенствоD α (F ∗ G) = (D α F ) ∗ G = F ∗ (D α G).Замечание.
Свертка обобщенных функций, вообще говоря, не ассоциативна, т. е. равенство(F1 ∗ F2 ) ∗ F3 = F1 ∗ (F2 ∗ F3 )выполняется не всегда. В качестве примера можно взятьF1 = 1 (функция, тождественно равная единице), F2 = δ 0(производная δ-функции) и F3 = H (функция Хевисайда).Тогда, с одной стороны,(F1 ∗ F2 , ϕ) = (1, (δ 0(z), ϕ(y + z))) == −(1, ϕ0 (y)) = (10 , ϕ) = (0, ϕ),а значит, свертка (F1 ∗ F2 ) определена и равна нулю.
Следовательно,(F1 ∗ F2 ) ∗ F3 = 0 ∗ H = 0.65С другой стороны,(F2 ∗F3 , ϕ) = (δ 0 ∗H, ϕ) = (H ∗δ 0 , ϕ) = (H(y), (δ 0(z), ϕ(y+z))) == −(H(y), ϕ0(y)) = (H 0 , ϕ) = (δ, ϕ),значит, свертка F2 ∗ F3 также определена и равна δ-функции.При этом F1 ∗ (F2 ∗ F3 ) = 1 ∗ δ = 1. Наконец, поскольку 0 6= 1,то (F1 ∗ F2 ) ∗ F3 6= F1 ∗ (F2 ∗ F3 ).Вычислим следующие свертки в D 0(R).Пример 38. δ(x − a) ∗ F (x), где F ∈ D 0 (R).Решение.
Сначала приведем неформальное решение. Поопределению обобщенной функции и свертки имеем#Z+∞" Z+∞(δ(x − a) ∗ F (x), ϕ(x)) =−∞−∞δ(x − a − y)F (y) dy ϕ(x) dx.Поменяем порядок интегрирования (так как ϕ — основнаяфункция, то интегрирование ведется по ограниченному промежутку и изменение порядка интегрирования законно)#Z+∞" Z+∞δ(x − a − y)F (y) dy ϕ(x) dx =−∞−∞#" Z+∞Z+∞δ(x − a − y)ϕ(x) dx dy.=F (y)−∞(16)−∞Выполнив во внутреннем интеграле замену переменнойz = x − y − a, получимZ+∞Z+∞δ(x − a − y)ϕ(x) dx =δ(z)ϕ(z + y + a) dz = ϕ(y + a).−∞−∞66Подставив результат вычисления в (16) и выполнив заменупеременной t = y + a, получим" Z+∞#Z+∞Z+∞F (y)δ(x − a − y)ϕ(x) dx dy =F (y)ϕ(y + a) dy =−∞−∞−∞Z+∞=F (t − a)ϕ(t) dt = (F (t − a), ϕ(t)).−∞Вернувшись к переменной x и соединив начало и конец цепочки рассуждений, получим(δ(x − a) ∗ F (x), ϕ(x)) = (F (x − a), ϕ(x)).Следовательно,δ(x − a) ∗ F (x) = F (x − a).Теперь приведем формальное решение(δ(x − a) ∗ F (x), ϕ(x)) = (δ(x − a), (F (z), ϕ(x + z))) == (F (z), ϕ(a + z)) = (F (z − a), ϕ(z)).Пример 39.δ 00 (x) ∗ |x|.Решение.
По свойствам свертки обобщенных функций(D F ) ∗ G = D α (F ∗ G) и δ ∗ F = F имеемαδ 00 (x) ∗ |x| = (δ(x) ∗ |x|)00 = (|x|)00 .Вторую производную функции |x| мы уже вычислили в примере 26: (|x|)00 = 2δ(x). Следовательно,δ 00 (x) ∗ |x| = 2δ(x).67Пример 40. Пусть f и g локально интегрируемы в R, причем f (x) = g(x) = 0 для всех x < 0. Докажем, что сверткаf ∗ g определена и задается формулой(f ∗ g)(x) = H(x)Zx0f (y)g(x − y) dy.Решение. Так как f и g локально интегрируемы в R иf (x) = g(x) = 0 для всех x < 0, то произведениеесли y < 0, 0,0,если x < yf (y)g(x − y) =f (y)g(x − y), если x > y > 0также является локально интегрируемой функцией и свертка f ∗ g определена. По определению свертки имеемZ+∞(f ∗ g)(x)ϕ(x) dx =(f ∗ g, ϕ) =−∞=Z+∞−∞!Z+∞f (y)g(x − y) dy ϕ(x) dx.(17)−∞Рассмотрим интеграл, стоящий в скобках. Так как f (y) = 0для всех y < 0, тоZ+∞Z+∞f (y)g(x − y) dy =f (y)g(x − y) dy.−∞0По условию g(x) = 0 для всех x < 0, значит,g(x − y), если x > y,g(x − y) =0,если x < y.68Следовательно, xZ+∞ R f (y)g(x − y) dy, если x > y > 0,f (y)g(x − y) dy = 00,если x < y.0Иначе это можно записать так:Z+∞Zxf (y)g(x − y) dy = H(x) f (y)g(x − y) dy,00и (17) примет видZ+∞−∞=Z+∞−∞!Z+∞f (y)g(x − y) dy ϕ(x) dx =−∞H(x)Zx0!f (y)g(x − y) dy ϕ(x) dx.Следовательно, (f ∗ g)(x) = H(x)Zxf (y)g(x − y) dy.0Пример 41.
Вычислим свертку H ∗ H.Решение. Мы уже вычисляли эту свертку, когда изучалитему «Преобразование Фурье», сейчас, просто воспользовавшись результатом примера 40, заключаем(H ∗ H) (x) = H(x)ZxH(y)H(x − y) dy =0= H(x)Zx1 · dy = xH(x).0693.4. Преобразование Фурье обобщенныхфункций медленного ростаПусть f — быстро убывающая функция в Rn , а ϕ — пробная (а значит, тоже быстро убывающая) функция. Прямоеи обратное преобразование Фурье быстро убывающих функций в Rn задается формуламиZ1F± [f (x)](y) = √f (x)e∓i(x,y) dx,2πRnгде (x, y) обозначает скалярное произведение векторов x и yв Rn .Следующие свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций помогут определить преобразование Фурьеобобщенных функций.1.
Равенство Парсеваля:ZZf (x)ϕ(x) dx = F± [f ](y)F± [ϕ](y) dy,RnRnгде черта означает комплексное сопряжение.2. F± [ϕ] = F∓ [ϕ].3. Преобразование Фурье отображает пространство быстроубывающих функций на себя, в частности, для любой пробной функции ϕ найдется быстро убывающая функция ψ такая, что ϕ = F± [ψ]. (Чтобы убедиться в этом, достаточноположить ψ = F∓ [ϕ].) Но тогда ψ = F∓ [ϕ] = F± [ϕ] = F± [ϕ].Определение. Преобразованием Фурье (прямым илиобратным) обобщенной функции F ∈ D 0 (Rn ) называется новая обобщенная функция F± [F ], которая действует на произвольную пробную функцию ϕ ∈ D(Rn ) по правилу (F± [F ], ϕ) =(F, F± [ϕ]).70Таким образом, преобразование Фурье с обобщенной функции переносится на пробную функцию, а преобразование Фурье пробной функции уже будет быстро убывающейфункцией (не финитной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
