1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть векторфункция y(t, µ) непрерывно дифференцируема по t и µ. Дифференцируя исходное уравнения y 0 (t, µ) = f (t, y(t, µ), µ) по µ и меняяпорядок дифференцирования в левой части, мы приходим к урав∂нению, которое после ведения обозначения z(t, µ) =y(t, µ) пре∂µвращается в уравнение, фигурирующее в формулировке теоремы.d∂y(t0 , µ) =y0 (µ)Точно так же начальные условия z(t0 , µ) =∂µdµполучается формальным дифференцированием начальных условий для y(t, µ). Итак, доказательство теоремы сводится по существу к обоснованию законности формального дифференцированияпо µ.Приступим теперь к доказательству теоремы.
Пусть y [1] (t) =Лекция №12, НГУ, ММФ, 20094y(t, µ1 ), y [2] (t) = y(t, µ2 ). Тогда агрегат ∆(t) = y [1] (t) − y [2] (t) удовлетворяет уравнению (см. систему (3)):∆0 = f (t, y [1] (t), µ1 ) − f (t, y [2] (t), µ2 ) == A(t)∆(t) + (µ1 − µ2 )b(t).∆(t), получим для zb задачу:Полагая (µ1 =6 µ2 !) zb(t, µ1 , µ2 ) =µ1 − µ2dz (t, µ1 , µ2 ) + b(t, µ1 , µ2 ), zb(t, µ1 , µ2 ) = A(t, µ1 , µ2 )bdt∆(t0 ). zb(t, µ1 , µ2 ) =µ1 − µ2Заметим, что y(t, µ) непрерывно зависит от µ, поэтому коэффициенты матрицы A, компоненты вектора b непрерывно зависят отсвоих аргументов.
Поэтому существуют пределы:lim A(t, µ1 , µ2 ) = A(t, µ, µ) = fy (t, y(t, µ), µ),µ1,2 →µlim b(t, µ1 , µ2 ) = b(t, µ, µ) = fµ (t, y(t, µ), µ).µ1,2 →µСуществование же пределаlim zb(t0 , µ1 , µ2 ) =µ1,2 →µdy0 (µ) = zb(t0 , µ, µ)dµвытекает из дифференцируемости y0 (µ) по µ.
По теореме о непрерывной зависимости решений от параметров можно утверждать,что zb(t, µ1 , µ2 ) имеет при µ1,2 → µ предел zb(t, µ, µ) = z(t, µ). Этапредельная вектор-функция является решением Задачи Коши (4),что и требовалось доказать.Лекция №12, НГУ, ММФ, 2009Упражнения к §121. Рассмотрим Задачу Коши:(y 0 = f (x, y),y(x0 ) = y0 .Найти∂y ∂y,.∂x0 ∂y05§13. Краевые задачи для линейных систем уравненийпервого порядка. Матрица Грина. Собственныезначения.Следуя §9, мы вновь рассмотрим линейную систему с переменными коэффициентамиy 0 = A(t)y + f (t).(1)Кроме того, иногда мы будем считать, что A = A(t, λ), где λ какой-либо параметр (вообще говоря, комплексный).
Мы будемрассматривать систему (1) на отрезке [a, b], но для выделения конкретного решения системы (1) на отрезке [a, b] мы вместо ЗадачиКоши (которая изучалась в §9) будем рассматривать краевую задачу. С этой целью зададим на концах отрезка [a, b], т.е. при t = a иt = b так называемые граничные условия (число таких условиймы будем считать равным N - порядку системы (1)):NXt=a:lij yj (a) = li , i = 1, N − M ;j=1(2)NXt=b:rij yj (b) = ri , i = 1, M .j=1Удобно условия (2) переписать в матричном виде:)Ly(a) = l,Ry(a) = r,гдеL = (lij ) , i = 1, N − M , j = 1, N ;1(20 )Лекция №13, НГУ, ММФ, 20102R = (rij ) , i = 1, M , j = 1, N ;r1l1y1 (t).. , y(t) = .. .r = ...
, l = ..rMlN −MyN (t)Итак, краевая задача (1), (2) состоит в отыскании у системы (1)решения, удовлетворяющего краевым условиям (2).В §9 нами была получена формула (10), дающая решение ЗадачиКоши для системы (1), при условии, что начальные данные длясистемы (1) задаются при t = 0:Zty(t) = Y (t)Y −1 (0)y0 +Y (t)Y −1 (τ )f (τ )dτ,(3)0где Y (t) - фундаментальная матрица решений однородной системы y 0 = A(t)y. Если начальные данные задаются при t = t0 , тоформула (3) перепишется так:Zty(t) = Y (t)Y −1 (t0 )y0 +Y (t)Y −1 (τ )f (τ )dτ.(30 )t0Здесь y0 - вектор начальных условий: y |t=t0 = y0 .
Применим формулу (30 ) для нахождения краевой задачи (1), (2). Полагая в (30 )t0 = a, t = b, y0 = y(a), мы получим соотношение, связывающееy(a) и y(b):Zby(b) = Y (b)Y −1 (a)y(a) +Y (b)Y −1 (τ )f (τ )dτ =a= Y (b)Y −1 (a)y(a) + g.Привлекая (4) и (20 ), мы имеем:(Ly(a) = l,RY (b)Y −1 (a)y(a) = r − Rg(4)Лекция №13, НГУ, ММФ, 2010или3Ll − · − · − · − y(a) = − · − · − .RY (b)Y −1 (a)r − Rg|{z}|{z}qqeϕK(5)Перепишем (5) так. Пусть z = Y −1 (a)y(a), т.е.
y(a) = Y (a)z. Тогда из (5) получаем для определения вектора z систему линейныхалгебраических уравнений:Kz = ϕ,где(50 )LY (a)K = − · − · − .RY (b)Для того, чтобы система (50 ) была однозначно разрешимой прилюбом векторе ϕ необходимо и достаточно, чтобыdet K 6= 0.(6)Заметим, что все вышесказанное не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений. В самом деле, поскольку две любыефундаментальные матрицы решений Ye (t) и Y (t) связаны междусобой соотношением (см. §§ 3, 4, 9)Ye (t) = Y (t)B,где B - некоторая постоянная невырожденная матрица, т.е.
det B 6=0, то LY (a)BLYe (a)KYe = − · − · − = − · − · − = KY B,RY (b)BRYe (b)т.е. det KYe 6= 0, если det KY 6= 0 и наоборот.Лекция №13, НГУ, ММФ, 20104Вместо det K введем параметр∆=det K.det Y (a)Ясно, что ∆Y = ∆Ye .Пример. Рассмотрим следующую систему (по поводу этой системы см. §3)!à ! µ¶Ã ! Ãyf(t)d y10 −111=+1 0dt y2y2f2 (t)на отрезке [a, b] с краевыми условиями(r11 y1 (b) + r12 y2 (b) = r1 ,l11 y1 (a) + l12 y2 (a) = l1 .Следуя §3, фундаментальную матрицу решений выберем так:µ¶cos(t − a) − sin(t − a)Y (t) =.sin(t − a) cos(t − a)Тогда∆ = (l11 r12 − l12 r11 ) cos(b − a) − (l11 r11 + l12 r12 ) sin(b − a).Следовательно, сформулированная в этом примере краевая задачаоднозначно разрешима для любых r1 , l1 , f1 , f2 , еслиtg(b − a) 6=l11 r12 − l12 r11.l11 r11 + l12 r12∗Далее, мы рассмотрим некоторые элементы техники матрицГрина на примере краевой задачи (1), (2), при условии, что краевые условия - однородные, т.е.
l = 0, r = 0. С этой целью, введемв наше рассмотрение так называемую матрицу Грина G(t, t0 ),которая определяется так:G(t, t0 ) = G0 (t, t0 ) + G1 (t, t0 ),(7)Лекция №13, НГУ, ММФ, 2010где5(G0 (t, t0 ) =0, если a ≤ t < t0 ,Y (t)Y −1 (t0 ), если t0 < t ≤ b;G1 (t, t0 ) = Y (t)B,(8)(80 )причем постоянная матрица B будет выбрана нами ниже. Ясно(докажите!), что матрица G0 (t, t0 ) не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений Y (t). Далее, понятно, что на каждом из интервалов (a, t0 ), (t0 , b) матрица G0 (t, t0 ) удовлетворяетматричному дифференциальному уравнениюdG0 (t, t0 ) = A(t)G0 (t, t0 ),(9)dtа при t = t0 коэффициенты матрицы G0 (t, t0 ) по переменной tимеют скачок (разрыв 1го рода):G0 (t0 + 0, t0 ) − G0 (t0 − 0, t0 ) = IN .(10)Определим теперь матрицу B (см. формулу (80 )) так, чтобы выполнялись соотношения:(LG1 (a, t0 ) = −LG0 (a, t0 ) = 0,(11)RG1 (b, t0 ) = −RG0 (b, t0 ) = −RY (b)Y −1 (t0 )или0KB = − · − · − · − · − .(110 )−RY (b)Y −1 (t0 )Следовательно, если ∆ 6= 0, то матрица B определяется однозначно.
При этом, понятно, что матрица G1 (t, t0 ), a ≤ t ≤ b, a < t0 < bнепрерывна, непрерывно дифференцируема на [a, b] по переменнойt и удовлетворяет на (a, b) матричному дифференциальному уравнениюdG1 (t, t0 ) = A(t)G1 (t, t0 ).(12)dtС учетом формул (8), (80 ), (9), (10), (11), (12) мы убеждаемсяв том, что:Лекция №13, НГУ, ММФ, 201061) На интервалах (a, t0 ), (t0 , b) матрица G(t, t0 ), определяемаясоотношением (7), удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению:dG(t, t0 ) = A(t)G(t, t0 ).(I)dt2) При t = t0 матрица G(t, t0 ) разрывна (точнее, коэффициентыматрицы G(t, t0 ) имеют разрыв 1го рода):G(t0 + 0, t0 ) − G0 (t0 − 0, t0 ) = IN .3)(LG(a, t0 ) = 0,RG(b, t0 ) = 0.(II)(III)Напомним, что построение матрицы G(t, t0 ) велось при условии,что ∆ 6= 0.
Можно показать, что если ∆ 6= 0, то условия (I), (II),(III) определяют матрицу G(t, t0 ) однозначно (см. Упражнение1 к этому параграфу).Определение 1. Матрица G(t, t0 ) порядка N называется матрицей Грина для системыy 0 = A(t)yс однородными граничными условиямиLy(a) = 0, Ry(b) = 0,если она определена при a ≤ t ≤ b, t 6= t0 , a < t0 < b и удовлетворяет условиям (I), (II), (III).∗Пусть A = A(t, λ) (см. начало этого параграфа), R = R(λ), L =L(λ), где λ - некоторый, вообще говоря, комплексный параметр. Втаком случае параметр ∆ тоже зависит от λ:∆ = ∆(λ).Определение 2.
Значения λ, при которых ∆(λ) = 0 называются собственными значениями рассматриваемой краевой задачидля однородной системы y 0 = A(t, λ)y с однородными граничнымиЛекция №13, НГУ, ММФ, 20107условиями L(λ)y(a) = 0, R(λ)y(b) = 0.Пусть λ = λ0 - собственное значение:∗∆(λ0 ) = 0.Система (50 ) в этом случае принимает такой вид:K(λ0 )z = 0.Ясно, что эта система имеет нетривиальное решение z. Положивy(a) = Y (a, λ0 )z, где Y (t, λ0 ) - фундаментальная матрица решенийсистемы y 0 = A(t, λ0 )y, мы видим, что вектор-функцияy(t) = Y (t, λ0 )Y −1 (a, λ0 )y(a)(13)удовлетворяет системеy 0 = A(t, λ0 )y(t)и граничным условиям(L(λ0 )y(a) = 0,R(λ0 )y(b) = 0.Таким образом, если ∆(λ0 ) = 0, то однородная краевая задача 0 y = A(t, λ0 )y, t ∈ (a, b),(∗) L(λ0 )y(a) = 0,R(λ0 )y(b) = 0имеет ненулевое решение y(t) (см.
формулу (13)). Ясно, что такиерешения образуют линейное пространство размерности не меньше1 и не больше N .Рассмотрим вновь краевую задачу (1), (2) с однородными краевыми условиями. Пусть ∆ 6= 0, т.е. в этом случае мы можемпостроить матрицу Грина G(t, t0 ). Тогда, решение задачи (1), (2)записывается так:Zby(t) = G(t, t0 )f (t0 )dt0 .(14)aЛекция №13, НГУ, ММФ, 20108Проверим, что формула (14) и в самом деле дает решение системыy 0 = A(t)y + f (t)на интервале (a, b). Действительно, из (14) следует:0 tZbZ0G(t, t0 )f (t0 )dt0 + G(t, t0 )f (t0 )dt0 =y (t) =atZt=Gt (t, t0 )f (t0 )dt0 + G(t + 0, t)f (t)+aZb+Gt (t, t0 )f (t0 )dt0 − G(t − 0, t)f (t) =tZt=ZbA(t)G(t, t0 )f (t0 )dt0 +aA(t)G(t, t0 )f (t0 )dt0 + IN f (t) =tZb= A(t)G(t, t0 )f (t0 )dt0 + f (t) = A(t)y(t) + f (t).aДалее:ZbLy(a) = LZbG(a, t0 )f (t0 )dt0 ={LG(a, t0 )} f (t0 )dt0 = 0,aaZbZbRy(b) = RG(b, t0 )f (t0 )dt0 =a{RG(b, t0 )} f (t0 )dt0 = 0.aВ заключении этого параграфа еще раз вернемся к случаю, когда L = L(λ), R = R(λ), A = A(t, λ).
Пусть коэффициенты матриц L, R, A - аналитические функции комплексного параметраλ, определенные при всех λ 6= ∞, т.е. коэффициенты этих матриц целые аналитические функции от λ. Тогда ∆ = ∆(λ) - целаяЛекция №13, НГУ, ММФ, 20109аналитическая функция от комплексного параметра λ. В самомделе, фундаментальная матрица решений Y (t, λ), построенная намножестве [a, b] как решение задачи КошиY (t, λ)= A(t, λ)Y (t, λ), Y (a, λ) = IN .dtЕсли коэффициенты матрицы A непрерывно дифференцируемыпо комплексному параметру λ, то коэффициенты матрицы Y будут непрерывно дифференцируемы по λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
