1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда матричное уравнение(1) однозначно разрешимо при любой правой части D. В самомделе, из (2) последовательно находим:D11,X11 = −τ1 + τ 11X1j = −{D1j + aj X1,j−1 }, j ≥ 2,τ 1 + τj1{Di1 + ai Xi−1,1 }, i ≥ 2.Xi1 = −τ i + τ1Затем определяем1X22 = −{D22 + a2 X21 + a2 X12 },τ2 + τ 21X2j = −{D2j + aj X2,j−1 + a2 X1j }, j ≥ 3,τj + τ 21Xi2 = −{Di2 + a2 Xi1 + ai Xi−1,2 }, i ≥ 3τ2 + τ iи т.д. Ясно, что если Dij = 0, i, j = 1, N , то Xij = 0.Пусть A = W −1 T W, det W 6= 0, где матрица T описана вышеи пусть τi + τ j 6= 0 для всех i, j = 1, N .
Рассмотрим матричноеуравнениеHA + A∗ H = −C,(3)где правая часть C - произвольная матрица. Перепишем (3) в виде(1):XT + T ∗ X = −D.(1)ЗдесьD = (W −1 )∗ CW −1 ,X = (W −1 )∗ HW −1 .Последнее уравнение однозначно разрешимо, значит однозначноразрешимо и уравнение (3).Заметим, теперь, что любая матрица A может быть записанав виде A = W −1 T W , причем τj = τi (A), j = 1, N - собственныеЛекция №17, НГУ, ММФ, 20103значения матрицы A; a2 , ..., aN либо 0, либо 1; det W 6= 0.
Итак,справедлива Теорема Ляпунова 1: Если собственные значенияτj (A) удовлетворяют условию:τi + τ j 6= 0, для всех i, j = 1, N ,то матричное уравнение (3) однозначно разрешимо при любой правой части C (Уравнение (3) называется матричным уравнением Ляпунова).Замечание 1.
Если A, C - вещественные матрицы, то матрицаH тоже вещественная. В самом деле, так какHA + A∗ H = −C (A∗ = AT )иHA + A∗ H = −C (H - матрица с комплексно-сопряженнымиэлементами). Поэтому H = H.Замечание 2. Если C = C∗ , то H = H ∗ , т.е. H - эрмитоваматрица. В самом делеHA + A∗ H = −C,H ∗ A + A∗ H ) = −C∗ = −C, т.е. H = H ∗ .Замечание 3. Если A, C - вещественные матрицы, C = CT симметрическая матрица, то H = H T - симметрическая и вещественная матрица.Теорема Ляпунова 2.
Если Reτj (A) < 0, j = 1, N , то матричное уравнение (3) однозначно разрешимо при всех C = C∗ иего решение будет эрмитова матрица H = H ∗ .Пусть, теперь, C = C∗ > 0 и Reτj (A) < 0.Теорема Ляпунова 3. H = H ∗ > 0.Доказательство. Рассмотрим систему y 0 = Ay. Тогда y(t) =::::::::::::::::::::::σetA y(0) и ||y(t)|| ≤ M e− 2 t ||y(0)||.
Далее(Cy, y) ≤ ||C|| · ||y||2 ≤ M 2 ||C|| · e−σt · ||y(0)||2 .С другой стороны(Cy, y) = (CetA y(0), etA y(0)) =∗= (etA CetA y(0), y(0)) ≤ M 2 ||C||e−σt ||y(0)||2 .Лекция №17, НГУ, ММФ, 20104СледовательноZ∞Z∞∗(Cy(t), y(t))dt = (etA CetA y(0), y(0))dt =0Z∞= etA∗00M 2 ||C||Ce dt y(0), y(0) ≤||y(0)||2 ,σtAт.е. матрицаZ∞b=H∗etA CetA dt0b = Hb ∗ (C = C∗ !). Покажем теперь, что Hb > 0.определена и HДействительно, т.к.
C > 0, то(Cy(t), y(t)) ≥ γ||y(t)||2 (γ > 0).С другой стороныy(0) = e−tA y(t)и||y(0)|| ≤ et||A|| ||y(t)||,т.е.||y(t)|| ≥ e−t||A|| ||y(0)||.Тогда∗(etA CetA y(0), y(0)) ≥ γ||etA y(0)||2 ≥ γe−2t||A|| ||y(0)||2 .Интегрируя это неравенство получимγbb > 0.(Hy(0),y(0)) ≥||y(0)||2 , т.е. H2||A||Далее:b ∆A y(0), e∆A y(0)) = (e∆A∗ Heb ∆A y(0), y(0)) =(HeЛекция №17, НГУ, ММФ, 20105Z∞∗∗= (e∆A etA CetA e∆A y(0), y(0))dt =0Z∞Z∞∗∗(e(∆+t)A Ce(∆+t)A y(0), y(0))dt = (etA CetA y(0), y(0))dt.=0∆т.е.Z∞b ∆A =e∆A He∗∗etA CetA dt.∆Продифференцируем обе части полученного равенства по ∆ и устремим далее ∆ → 0:∗b ∆A + e∆A∗ HAeb ∆A = −e∆A∗ Ce∆AA∗ e∆A Heиb + A∗ Hb = −C,HAследовательно в силу теоремы Ляпунова существует единственноеb матричного уравнения (3) и решение это допусрешение H = Hкает следующее интегральное представлениеZ∞∗etA CetA dt, H = H ∗ > 0.H=0Оказывается, справедливо обратное утверждение.Теорема Ляпунова 4.
Если эрмитовы матрицы H, C > 0 связаны уравнением (3), то все собственные значения τj = τj (A), j =1, N таковы, чтоReτj (A) ≤ −σ (σ > 0)(т.е. тривиальное решение системы y 0 = Ay асимптотически устойчиво).Доказательство. В самом деле, из H, C > 0 следует::::::::::::::::::::::ρ0 (y, y) ≥ (Hy, y) ≥ ρ(y, y),Лекция №17, НГУ, ММФ, 20106γ 0 (y, y) ≥ (Cy, y) ≥ γ(y, y),где ρ, ρ0 , γ, γ 0 > 0 - некоторые постоянные. Рассмотрим функциюh(t) = (Hy(t), y(t)), где y(t) - решение системы y 0 = Ay. Тогдаdh(t)= (Hy 0 , y) + (Hy, y 0 ) = (HAy, y) + (Hy, Ay) =dt= ([HA + A∗ H]y, y) = −(Cy, y) ≤ −γ(y, y) ≤γγ≤ − 0 (Hy, y) = − 0 h(t).ρρТак как ||y(t)|| ≥ e−t||A|| ||y(0)||, то для всех t ≥ 0, ||y(0)|| 6= 0:h(t) > 0. Поэтому, при ||y(0)|| 6= 0:d ln h(t)1γ= h0 ≤ − 0dthρт.е.γh(t) ≤ h(0)e− ρ0 t ,(в случае, если y(0) = 0, то y(t) ≡ 0 и выписанное неравенствосправедливо).
Далееγ11(y(t), y(t)) ≤ (Hy(t), y(t)) ≤ (Hy(0), y(0))e− ρ0 t ≤ρρρ0 − ργ0 t≤ e (y(0), y(0)),ρт.е.sρ0 − 2ργ 0 t||y(t)|| ≤e||y(0)||.ρr1 ρ0Для всех ε > 0 возьмем δ =ε. Тогда если ||y(0)|| < δ, то2 ρsρ0 − 2ργ 0 tε||y(t)|| ≤e||y(0)|| < < ε.ρ2Кроме того, при t → ∞ : ||y(t)|| → 0, т.е.
обоснована асимптотическая устойчивость и тем самым показано, что собственныезначения матрицы A лежат строго в левой полуплоскости.Лекция №17, НГУ, ММФ, 20107Упражнения к §171.Aω= 25x25 −1 10 −10ω0001 0......0,−1 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −1det(Aω − λI25 ) = (−1 − λ)25 + 1024 ω = 0,det A0 = −1,ω0 = 10−24 → det Aω0 = 0.Между тем, матрицы A0 и Aω0 на БЭСМ-6 неотличимы.§18. Функции Ляпунова.При изучении решений системы y 0 = f (y) широко используютсятак называемые функции Ляпунова (вкратце мы уже познакомились с ними в §11).Определение.
Функция H(y) называется функцией Ляпунова для системы y 0 = f (y), которая имеет точку равновесияy = 0, если она обладает следующими свойствами:Λ1. Функция H(y) определена при ||y|| ≤ R и является в этойобласти непрерывной функцией, имеющей непрерывные частныепроизводные∂H(y), j = 1, N .∂yjΛ2.
H(y) ≥ 0 в области ||y|| ≤ R, а именно: H(0) = 0, H(y) > 0при 0 ≤ ||y|| ≤ R.Λ3. Непрерывная функция Y(y), определяемая какY(y) = −NXi=1fi (y)∂H(y) = −(f, Hy ),∂yiт.е. полная производная в силу системы от функции H(y) со знаdком “-”: − H(y) (= −(f, Hy )) удовлетворяет неравенству Y(y) ≥ 0dtв области ||y|| ≤ R.Λ3!. (Усиленный вариант свойства Λ3.) Y(y) > 0 при 0 < ||y|| ≤R.Ляпуновым была доказана следующаяТеорема. Если для системы y 0 = f (y) (f (0) = 0), существуетфункция Ляпунова H(y), удовлетворяющая условиям Λ1, Λ2, Λ3,то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y) устойчивопо Ляпунову.1Лекция №18, НГУ, ММФ, 20102Пример. Рассмотрим линейную систему y 0 = Ay.Пусть H(y) = (Hy, y), Y(y) = (Cy, y), где матрицы H, C связаныматричным уравнением Ляпунова[HA + A∗ H] = −C.ТогдаdH(y)= −Y(y) = −(Cy, y).dtСледовательно, если (Hy, y) > 0, (Cy, y) ≥ 0, то функция H(y) =(Hy, y) и функция Y(y) = (Cy, y) удовлетворяют условиям Λ1,Λ2, Λ3.
Если же (Cy, y) > 0. то выполнено условие Λ3! При этомбудет иметь место асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения y 0 = Ay, откуда следует, что для всех собственныхзначений τj = τj (A), j = 1, N выполнены неравенства:Reτj (A) < 0.Ляпуновым были введены, также, вспомогательные функцииK(y), для того, чтобы с их помощью доказать при некоторых предположениях о правой части f (y) системы y 0 = f (y) неустойчивостьтривиального решения y0 (t) ≡ 0. Пусть функция K(y) обладаетследующими свойствами:H1 . Функция K(y) определена, непрерывна и имеет частные про∂изводныеK(y) в области ||y|| ≤ R.∂yjH2 .
K(0) = 0 и для всех δ > 0 (0 < δ ≤ R) существует такойвектор y = yb[δ] (0 < ||by [δ] || < δ), что K(by [δ] ) ≥ 0.H3 . Непрерывная функцияF(y) = −λK(y) +NXi=1fi (y)∂K(y),∂yiгде λ > 0 - некоторое число, такое, что F(y) > 0 при 0 < ||y|| < Rи F(0) = 0.Ляпуновым была доказана следующая теорема о неустойчивости тривиального решения y0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y).Лекция №18, НГУ, ММФ, 20103Теорема. Если для системы y 0 = f (y), f (0) = 0 существуетфункция K(y), удовлетворяющая при некотором λ > 0 условиямH1 , H2 , H3 , то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 уравнения y 0 = f (y)неустойчиво по Ляпунову.Будем говорить, что система y 0 = Ay + ϕ(y), где A - постояннаяматрица, является почти линейной, если для всех y : ||y|| ≤ Y :||ϕ(y)|| ≤ q||y||1+ω (q, ω > 0).Ляпуновым доказано, что если собственные значения матрицы Aлежат строго в левой полуплоскости, то нулевое решение y0 (t) ≡ 0системы y 0 = Ay + ϕ(y) асимптотически устойчиво.
Если же средисобственных значений матрицы A существует корень τ0 с Reτ0 > 0,то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 неустойчиво по Ляпунову.Итак, пусть собственные значения матрицы A таковы, чтоReτj (A) < 0, j = 1 < N . Тогда по матрице C = C∗ > 0 (пусть,например, C = IN ) найдем матрицу H = H ∗ > 0, как решениематричного уравнения Ляпунова:HA + A∗ H = −C.Обозначим через H(y) = (Hy, y). Покажем, что для пункции H(y)выполнены условия Λ1, Λ2, Λ3! Выполнение условий Λ1, Λ2 очевидно.
Проверим, теперь, выполнение условия Λ3! Вдоль некоторого решения y = y(t) имеемY(y) = −(f, H(y)y ) = −d(Hy, y) =dt= −(H[Ay + ϕ(y)], y) − (Hy, [Ay + ϕ(y)]) == −(HAy, y) − (Hy, Ay) − (Hϕ(y), y) − (Hy, ϕ(y)) == −([HA + A∗ H]y, y) − (ϕ(y), Hy) − (Hy, ϕ(y)) == (Cy, y) + ∆(y),где∆(y) = −(ϕ(y), Hy) − (Hy, ϕ(y)) =Лекция №18, НГУ, ММФ, 20104= −(Hy, ϕ(y)) − (Hy, ϕ(y)) = −2Re(Hy, ϕ(y)).Далее||Hy||||ϕ(y)||↓pp ↓|∆(y)| ≤ 2|(Hy, ϕ(y))| ≤ 2 (Hy, Hy) · (ϕ(y), ϕ(y)) ≤≤ 2α||y|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2αq||y||2+ω (||Hy|| ≤ ||H|| · ||y||),где α = ||H||. Далее, т.к.γ||y||2 ≤ (Cy, y) ≤ γ 0 ||y||2 ,то·(Cy, y)|∆(y)| ≤ 2αqγСледовательно¸ 2+ω2=2αq1+ ω2.ω (Cy, y)γ 1+ 22αq1+ ω2=ω (Cy, y)γ 1+ 2·½¸¾ω2αq2αq 0 ω= (Cy, y) 1 − 1+ ω (Cy, y) 2 ≥ (Cy, y) 1 − 1+ ω (γ ) 2 ||y||ω .γ 2γ 2ПустьY,1 µµ¶¶ ω12R = minγγ.γ04αqТогда, при ||y|| ≤ R:Y(y) = (Cy, y) + ∆(y) ≥ (Cy, y) −1−т.е.2αq 0 ω ω 12αq 0 ωω22≥1−≥ ,ω (γ ) ||y||ω (γ ) R2γ 1+ 2γ 1+ 21Y(y) ≥ (Cy, y),2и условие Λ3! выполнено, что и требовалось доказать.Рассмотрим случай, когда у матрицы A существует корень τ0λс Reτ0 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
