1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (826744), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Заметим, что матрица A − IN имеет собственные2Лекция №18, НГУ, ММФ, 20105λзначения τj (A) − . Подберем такое число λ > 0, чтобы среди2λλτj (A)− были числа с Re(τj (A)− ) > 0 и чтобы для всех i, j : τj +22τ i − λ 6= 0. Пусть C = C∗ > 0 - некоторая матрица (например,C = IN ). Построим матрицу K = K ∗ . как решение следующегоматричного уравнения Ляпунова:λλK(A − IN ) + (A∗ − IN )K = −C22илиKA + A∗ K = λK − C.Понятно, что это уравнение однозначно разрешимо, причем K =λK ∗ не является положительно определенной, ибо матрица A− IN2имеет собственные значения лежащие в правой полуплоскости. Поскольку K не является положительно определенной, то существуетвектор yb (||by || 6= 0) такой, что (K yb, yb) ≤ 0.

В качестве функцииK(y) возьмем функцию вида K(y) = (Ky, y). Убедимся, что выполнены условия H1 , H2 , H3 . Условие H1 выполнено с очевидностью. Условие H2 тоже, поскольку в качестве вектора yb[δ] можновзять векторybyb[δ] = δ;2||by ||δпри этом 0 < ||by [δ] || = < δ.2Проверим, теперь, выполнение условия H3 :F(y) = −λK(y) + (f, Ky ) = λ(Ky, y) +dK(y)=dt= λ(Ky, y) − (K[Ay + ϕ], y) − (Ky, [Ay + ϕ]) == −([KA + A∗ K − λK]y, y) − (Kϕ, y) − (Ky, ϕ) == (Cy, y) + Θ(y),Θ(y) = −2Re(Ky, ϕ).Лекция №18, НГУ, ММФ, 20106Далее,|Θ(y)| ≤ 2|(Ky, ϕ)| ≤ 2||Ky|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2β.||y|| · ||ϕ(y)|| ≤ 2βq||y||2+ω (||K|| = β).Ясно, что Θ(y), F(y) определены при ||y|| ≤ Y . Так какγ||y||2 ≤ (Cy, y) ≤ γ 0 ||y||2 ,то|Θ(y)| ≤2βq1+ ω2ω (Cy, y)γ 1+ 2и следовательно2βq1+ ω2=ω (Cy, y)γ 1+ 2½¾½¾ω2βq2βq 0 ωω= (Cy, y) 1 − 1+ ω (Cy, y) 2 ≥ (Cy, y) 1 − 1+ ω (γ ) 2 ||y|| .γ 2γ 2ПустьY,11R = min µ γ ¶ 2 µ γ ¶ ω,γ04βqF(y) = (Cy, y) + Θ(y) ≥ (Cy, y) −то при ||y|| ≤ R:2βq1−γµ 0 ¶ ω2µ 0 ¶ ω2γ2βqγ1||y||ω ≥ 1 −Rω ≥ ,γγγ21т.е.

F(y) ≥ (Cy, y) и условие H3 выполнено.2§19. Критерии устойчивости и неустойчивости.При исследовании на устойчивость тривиального решенияy0 (t) ≡ 0 системы y 0 = f (y), f (0) = 0 широко применяется следующая, принадлежащая Ляпунову теорема о критериях устойчивости и неустойчивости по линейному приближению.Пусть f (y) имеет в окрестности точки y = 0 непрерывные первые и вторые производные.

Пусть¯∂f1 ¯¯∂f1 ∂y . . . ∂y ¯1N ¯¯A = fy (0) = ......¯ . ∂fN∂fN ¯¯...∂y1∂yN ¯y=0Тогда, если Reτj (A) < 0 , j = 0, N , то решение y0 (t) ≡ 0 асимптотически устойчиво. Если же есть хотя бы один корень τj0 сReτj0 > 0, то тривиальное решение y0 (t) ≡ 0 неустойчиво по Ляпунову.Это утверждение получается как простое следствие соответствующих утверждения для почти линейного уравнения (см. §18):y 0 = Ay + ϕ(y),||ϕ(y)|| ≤ q||y||1+ωпри ||y|| ≤ Y (q, ω, Y > 0 - некоторые постоянные). В самом деле,если f (y) имеет в некоторой окрестности точки y = 0 непрерывные первые и вторые производные, которые можно предполагатьограниченными и если эта окрестность звездна относительно точки y = 0, то в этой звездной окрестности можно воспользоваться1Лекция №19, НГУ, ММФ, 20102формулой Тейлораfj (y) = fj (0) +N1 X ∂ 2 fj(0)yk +(a)yk yl =∂yk2∂yk ∂ylNX∂fjk=1=k,l=1NXAjk yk + ϕj (y),k=1где a = ρy, 0 ≤ ρ ≤ 1.В силу очевидного неравенства¯¯ NN¯X¯X¯¯yi yj ¯ ≤ N|yj |2¯¯¯i,j=1имеемi=1¯ 2¯ N¯ ∂ fj¯XN|ϕj (y)| ≤max ¯¯(a)¯¯|yj |2 ≤2 ||y||≤Y ∂yk ∂yli=1≤ const||y||2 .Итак, при ||y|| ≤ Y :f (y) = Ay + ϕ(y),причем||ϕ(y)||≤ q||y||2 .ksNP|ϕj (y)|2j=1Это обстоятельство позволяет переписать уравнение y 0 = f (y) ввиде y 0 = Ay + ϕ(y), где ϕ(y) при ||y|| ≤ Y удовлетворяет оценке ||ϕ(y)|| ≤ q||y||2 .

В этой записи уравнение y 0 = f (y) являетсяпочти линейным (ω = 1 > 0), и следовательно, мы можем воспользоваться критериями устойчивости и неустойчивости из §18.Пример. Рассмотрим систему(y10 = sin(y1 + y2 ),y20 = cos(y1 − y2 ).Лекция №19, НГУ, ММФ, 2010Точка равновесия y1 = a1 , y2 = a2 определяется из равенств:(à !sin(a1 + a2 ) = 0a1, y=,cos(a1 − a2 )a2т.е. a1 + a2 = mπ, a1 − a2 = π( 1 + n), m = 0, ±1, ...; n = 0, ±1, ...;2или1 π a1 = (m + n + ) ,2 2 a2 = (m − n − 1 ) π .2 2Матрица A имеет вид:Ã! µ¶cos mπcos mπ(−1)m (−1)mA==,11(−1)n+1 (−1)n− sin(n + )π sin(n + )π22при этом характеристическое уравнение имеет видdet(A − λI2 ) = λ2 − λ[(−1)m + (−1)n ] + 2(−1)m+n = 0.При( различных n, m получаем:n − четное,1)m − четное;(2)(2)λ2 − 2λ + 2 = 0 : λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i.n − четное,m − нечетное;√λ2 − 2 = 0 : λ1,2 = ± 2.n − нечетное,m − четное;√λ2 − 2 = 0 : λ1,2 = ± 2.31Ÿ20.

Ïåðâûå èíòåãðàëû îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÍà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ Φ(y, t) = Φ(y1 , . . . , yN , t) íàçûâàåòñÿ ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéy 0 = f (y, t), åñëè Φ(y, t) 6≡ const, íî â òî æå âðåìÿ Φ(y, t) ïîñòîÿííà âäîëüëþáîãî ðåøåíèÿ y = y(t) ñèñòåìû y 0 = f (y, t).Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ Φ(y, t) áûëà ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû y 0 = f (y, t) íåîáõîäèìî, ÷òîáû:NPà) (Φt )2 + (Φyi )2 6≡ 0 â îáëàñòè Ω;i=1á)dΦ(y, t)dt= Φt +NPi=1Φyi fi (y, t) = 0,ò.å.

ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè Φ(y, t) â ñèëó ñèñòåìû y 0 = f (y, t)(ò.å. âäîëü ëþáîãî ðåøåíèÿ y = y(t) ñèñòåìû y 0 = f (y, t)) ðàâíà íóëþ(ñì. Ðèñ.1).0t00tÐèñ. 1Äàëüíåéøèé õîä ðàññóæäåíèé ðàçîáú¼ì íà íåñêîëüêî ÷àñòåé.1) Åñëè {Φ(i) (y, t)}, i = 1, K ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû y 0 = f (y, t),òî ëþáàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ îò íèõ ÿâëÿåòñÿ òîæå ïåðâûìèíòåãðàëîì ñèñòåìû y 0 = f (y, t).  ñàìîì äåëå, ïóñòüF(y, t) = F (Φ(1) (y, t), . . . , Φ(K) (y, t)).ÒîãäàFt +NXi=1Fyi fi (y, t) =KXj=1(j)FΦ(j) Φt +NXi=1fi (y, t)(KXj=1)FΦ(j) Φ(j)yi=2=KX(FΦ(j)(j)Φt +j=1NX)fi (y, t)Φ(j)yi= 0.i=1Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì íàçûâàòü ïåðâûå èíòåãðàëû Φ(i) (y, t),i = 1, Kôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûìè â íåêîòîðîé îáëàñòè ïåðåìåííûõ y , t, åñëè â ýòîé îáëàñòè ìàòðèöà ßêîáèµ (i)¶∂Φ(y, t) , i = 1, K, j = 0, N∂yj(ìû ïîëàãàåì äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè y0 = t) ïðè j > 1 èìååò ðàíã K .Óæå èç Îïðåäåëåíèÿ 2 ÿñíî, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâñèñòåìû y 0 = f (y, t): 6 N + 1.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêóNX∂Φ(i)∂Φ(i)∂Φ(i)==−fj (y, t),∂y0∂t∂yjj=1òî íà ñàìîì äåëå ÷èñëî ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâäëÿ ñèñòåìû y 0 = f (y, t): 6 N .

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé y 0 = f (y, t) ñóùåñòâóåò ðîâíî Nôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.2) Ïóñòü {Φ(i) (y, t)}, i = 1, N íàáîð íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâñèñòåìû y 0 = f (y, t) è ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïåðåìåííûõ y , t ÿêîáèàíµ (i)¶∂Φdet(y, t) 6= 0, i, j = 1, N .∂yjÏóñòü F(y, t) åù¼ êàêîé-ëèáî ïåðâûé èíòåãðàë òîé æå ñèñòåìûy 0 = f (y, t):NXFt +Fyj fj (y, t) = 0.j=1Ïîñêîëüêóµdet¶∂Φ(i)(y, t) 6= 0∂yjâ íåêîòîðîé îáëàñòè Ω, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé âåêòîð-ôóíêöèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè(y0 , t0 ) ∈ Ω ñóùåñòâóþò ïðåäñòàâëåíèÿ:¡¢yj = Yj Φ(1) , .

. . , Φ(N ) , t ,3ïðè ýòîì ãëàäêîñòü ôóíêöèé Φ(i) (y, t) îáåñïå÷èâàåò ãëàäêîñòü ôóíêöèé¡¢Yj Φ(1) , . . . , Φ(N ) , t .Äàëåå¡¢F(y, t) = F(Y, t) = H Φ(1) , . . . , Φ(N ) , tè0 = Ft +NXfj (y, t)Fyj = Ht +j=1NX"HΦ(k)(k)Φt+NX#= Ht = 0,fj (y, t)Φ(k)yjj=1k=1¡¢ò.å. H Φ(1) , . . . , Φ(N ) . Èòàê, åñëè íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü N ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû y 0 = f (y, t), òî ëþáîé äðóãîéïåðâûé èíòåãðàë ýòîé ñèñòåìû äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå¡¢F(y, t) = H Φ(1) , .

. . , Φ(N ) .3) Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ïðîáëåìå íàõîæäåíèÿ ó ñèñòåìû y 0 = f (y, t)íàáîðà èç N ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè½ 0y = f (y, t),y|t=t0 = y0(ñì. Ðèñ.1) è ïóñòü y = y(t, y0 ) å¼ ðåøåíèå (ïðè ýòîì ìû ïðåäïîëàãàåì,÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü f (y, t) íåïðåðûâíàÿ è íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿïî yj , j = 1, N ïî âåêòîð-ôóíêöèÿ). Ïóñòüµ¶∂yj (t, y0 )Y (t) =.∂yi0Òîãäà det Y (t) 6≡ 0 (ïî êðàéíåé ìåðå, â îêðåñòíîñòè t = t0 ).  ñàìîì äåëå,ïîñêîëüêóµ¶ XNd ∂yj∂fj ∂yk=dt ∂yi0∂yk ∂yi0k=1èëèY 0 (t) = fy (y, t)Y (t),y = y(t, y0 ).Îòñþäà tZdet Y (t) = expt0Tr(fy (y(τ, y0 ), τ ))dτdet Y (t0 ).4Ïîñêîëüêó det Y (t0 ) = 1 (Y (t0 ) = IN ), òî det Y (t) 6= 0.

Èòàê, âåêòîðôóíêöèÿ y = y(t, y0 ) íåïðåðûâíàÿ, íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïîâñåì ïåðåìåííûì, ïðè÷¼ì ÿêîáèàí det Y (t) 6= 0. Ïî òåîðåìå î íåÿâíîçàäàííûõ âåêòîð-ôóíêöèÿõ ìû ìîæåì îäíîçíà÷íî ðàçðåøèòü ñèñòåìóy(t, y0 ) = yîòíîñèòåëüíî âåêòîðà y0 , ïðè÷¼ì âåêòîð-ôóíêöèÿ y0 = y0 (t, y) áóäåòíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé îòíîñèòåëüíî t, y (â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè t0 , y0 ). Ïîñêîëüêó âäîëü ëþáîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû y 0 = f (y, t) çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà y0 (t, y) ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè, òîdyj0 (t, y(t, y0 )) = 0 (ñì. Ðèñ.2).dty,ty0,t0Ðèñ.

2Ñëåäîâàòåëüíî, yi0 (t, y), i = 1, N ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû y 0 =f (y, t). Äàëåå, ïîñêîëüê󵶵¶∂yj∂yj0YZ =(t, y0 )(t, y(t, y0 )) = IN ,∂yi0∂yiòî det Z = 0 è {yi0 (t, y)}, i = 1, N ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíî-íåçàâèñèìûõïåðâûõ èíòåãðàëîâ.Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó½u0 = −v,v 0 = u.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîΦ(1) = u2 + v 2 , Φ(2) = t + arctg uv ïåðâûå èíòåãðàëû.Ôóíêöèèb (1) = u cos(t0 − t) − v sin(t0 − t),Φb 2) = u sin(t0 − t) + v cos(t0 − t),Φòîæå ïåðâûå èíòåãðàëû (îíè ïîëó÷åíû ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèu0 = −v, u|t=t0 = u0 ,v 0 = u, v|t=t0 = v05è ðåøåíèÿ ñèñòåìûu = u(t, u0 , v0 ),îòíîñèòåëüíî u0 , v0 ).v = v(t, u0 , v0 )§2. Линейное однородное уравнение первого порядка.Квазилинейные уравнения с частными производными.Уравнение Гамильтона-Якоби.1. Линейное однородное уравнение первого порядка.(1) Lu = ut +nXfk (t, x)uxk = 0k=1или(1) Lu = ut + (f, ∇u) = 0,∂(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 , L =+ (f, ∇).∂tЗдесь:µ f = (f1 , ..., f¶n ); fk (t, x) - некоторые известные функции,∂∂, ...,∇=, u = u(t, x) - искомое решение.∂x1∂xnСопутствующая система обыкновенных диф.

Характеристики

Список файлов лекций