2 Semenov-converted (825162), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если мы ничегоне знаем о природе ошибки, то нет основания считать появление ошибки +x более вероятной, чемпоявление ошибки -x, т.е. ошибки +x и -x равно вероятны. Тогда наибольшим вероятным−1 nзначением будет являться среднее арифметические результаты замера x =  xб .

Однако неn i =1выполняется автоматически. Нужно заботится о ходе операции. Пример: По распределениюслучайной ошибки по гистограмме внутри  обоймы патрона прокатного стана, чем  400+0,1.Перед навеской на вал подшипника проходит контроль внутри  подшипника, измеряетсямикрометром с ценой деления 0,01 мм. Результаты представлены в таблице как отклонения отноминального значения:0,070,030,050,080,060,050,070,030,080,070,050,060,070,060,040,060,080,070,050,070,060,060,080,040,010,080,060,070,070,120,080,070,070,10,13Всего получено 35 замеров, 3 результата: 0,11; 0,12; 0,13 – отбрасываем, т.к. это промахи. Итого 33результата xmax = 0,1 xmin = 0,03; поле рассеивания xmzx – xmin= = 0,07.

Поле рассеивания делим на 7интервалов по 0,01.5ЛЕКЦИЯ №4Поле рассеивания разделим на 7 интервалов (разница между минимальным и максимальнымзначениями). Если число замеров находится в интервале от 30 до 100, то 6-7 замеров. Если более 100,то 9-15 замеров.Цена деления интервала:С = 0,07/7 = 0,01.Гистограмма (распределение случайной величины)Подсчитаем теперь частоты эмпирического распределения и построим график – гистограмму.(частота – количество значений попавших в данный интервал)ИнтервалВключ От 0,04 От 0,05От 0,06 От 0,07 От 0,08От 0,09.

отдо 0,05 до 0,06до 0,07 до 0,08 до 0,09до 0,10,03 до0,042247962Частота Ni1098765432100,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1Гистограмма – график отражает результат проведения эксперимента.Для построения графиков удобно откладывать по оси координат не Ni (Ni – частота,количество результатов в интервале), а отношение Ni/N. Причем N должна стремится в  (видеальном случае).В этом случае это отношение стремится к определенному пределу, который являетсявероятностью того, что x лежит в соответствующем интервале.

Если одновременно с увеличениемчисла опытов уменьшать величину интервала x, а по оси ординат откладывать отношение Ni/Nx,то при x→0 гистограмма перейдет в плавную кривую распределения0,1x=xu0,040,050,060,070,080,091098765432106N ix →0 N → xNxu – истинное значение (искомое значение)Р(x) – плотность вероятностиP( x) = lim limОрдината данной кривой распределения представляет собой значение плотности вероятностиполучения результатов x = xuКривая распределения результатов характеризует не данную конкретную серию наблюдений(как гистограмма) построен по результатам конкретного замера  подшипника.Она представляет не данную конкретную серию наблюдений, а совокупность бесконечногочисла измерений данной величины данным методом.Мы говорим о вероятности получения того или иного результата в единичном эксперименте,но для раскрытия физического смысла должны рассмотреть N кратное повторение эксперимента иполагать N→.В аналитическом смысле плотность вероятности получения результатов x = xu будет иметьследующий вид:P( x) =−(1 2ex−−x )22 2x – переменная случайная величина. - среднее квадратичное отклонение случайной величины x от−x−x- среднее значение величины xХарактеристика функции:Полученная функция является 2-х параметрической (зависит от 2-х параметров x и ) В точках x = кривая имеет перегибы.Кривая ГауссаP(x)P( x) =X1-X+X1 2X2xX = XuПлощадь под кривой от x1 до x2 определится интегралом:7+xP( x) =1−(ex−−x )22 2dx2Функция P(x) называется функцией распределения зависит от  для того, чтобы ее рассчитать, ееприводят к однопараметрическому виду.

Для этого вводят новую переменную.−x−t=x−x=dполучают (t ) =1 2te−t22dt0Ф(x) функция называется нормированная функция Лапласа, для определенной случайной ошибки.Значения нормированной функции Лапласа приведены в таблицах в зависимости от различныхзначений t.При записи указывают приближенную ошибку измерений с доверительной вероятностью.100  50,95 – доверительная вероятность ошибки−t=x−xпараметр t – относительный критерий (критерий Стьюдента).При небольшом объеме выборок точность среднего оценивают по распределению величины t.−t=x−xuЭто распределение называется распределением Стьюдента (для небольшого количестваопытов).Свойства плотности t – распределения.Рассмотрим на примере следующего графика:P(t)f=f=5f – числостепенейсвободыf=2-3-2-10 123Кривые по форме напоминают плотности нормального распределения, но при t→  .Значительно медленно сближаются с осью абсцисс. При f → выборочное среднеквадратичноеотклонение (S2)→2.

Поэтому распределение Стьюдента сближается с нормальным. Случай f = соответствует нормальному распределению. При малых значениях f распределение Стьюдентасильно отличается от нормального. При малом количестве отсчетов величины, имеющиенормальную генеральную совокупность распределяется по t – критерию Стьюдента, поэтому особоезначение он имеет в статистике малых выборок.8Число степеней свободы f = n – 1, где n – число опытов.Всего 0,27% составляют результаты, не входящие в интервале  3.

Этот интервал считают100% вероятностью. В интервал   входят примерно 2/3 результата. Этот интервал служил дляпервой грубой оценки правильности вычислений  (дисперсии). При x =плотности вероятности P( x) =1 2−x , максимальной значение, поэтому чем больше значений , тем более пологойстановится кривая. Форма кривой нормального распределения характеризует точность эксперимента.Чем более пологая кривая нормального распределения, тем менее точность эксперимента. Есликривая имеет вид острого пика, по обе стороны которого наблюдается резкий спад кривой околоточки x =−x , то данный эксперимент носит высокую точность (большие ошибки встречаются редко).Большая ширина пике означает наличие сильных помех случайного характера.ЛЕКЦИЯ №5.Ошибка в измеренном значении это разница между Xистин.e = xH − xВходящий в выражение для P(x) параметр  - среднеквадратичное отклонение илисреднеквадратичная ошибка.e + e2 + ...

+ ene,n – число опытов= 1nn2 – дисперсия величины x при n →   → 0.Если бы мы при измерении получали генеральную совокупность отсчетов, тосреднеквадратичное отклонение могло бы служить показателем точности измерительной системы. Вреальных условиях нам не известен параметр xистин, т.к. мы всегда проводим конечное число опытов.Поэтому будем оперировать с отклонениями отдельного измеренного значения от среднего сериизамеров.=222n−−di = x − xx=xi =1inОбозначим среднеквадратичные значения отклонений отдельных результатов от среднего изсерии n опытов, через какой-либо параметр S.1 n 2S 2 =  din i =1Величина S называется выборочным среднеквадратичным отклонением. Величины  и Sсвязаны между собой.n =Sn −1В данной серии степень свободы равна n-1.Отсюда вытекает понятие о числе степеней свободы, т.к.

среднее−xявляет собой суммуx1 + x2 + ..., то данное среднее имеет с измеренными значениям линейную связь. Следовательноnчисло степеней свободы в данном случае будет равно n-1.Степени свободы учитываются во всех статистических критериях. Это необходимо дляполучения несмещенных оценок.

Несмещенной называется такая оценка, математической ожиданиекоторой равно истинному значению (нет систематической ошибки). Математическое ожиданиеслучайной величины определяется выражением:+E x =  xp( x)dx−9Понятие математического ожидания очень близко к интуитивному представлению о среднемзначении. Поэтому в качестве точечной (локальной) оценки математического ожидания применяютсреднее значение.В каждой серии замеров, на основании которой определяют параметры−xи S, являетсяслучайной выборкой из генеральной совокупности отдельных измерений.Т.е. таких серий может быть бесконечно много, в каждой серии имеется свое собственнойсреднее значение и обозначается x1 nx =  xin i =1Данное значение отличается от истинного значения xu, т.к. число опытов конечно.Совокупность средних характеризуется своим распределением со среднеквадратичным отклонениемm.

Величину m называют среднеквадратичной ошибкой среднего. При этом параметры  и mсвязаны соотношением  m =измерений в, т.е. среднеквадратичная ошибка среднего из n опытов или nnn раз меньше среднеквадратичной ошибки отдельного измерения. В реальныхусловиях отклонение среднего−xсерии замеров от истинного значения определяют следующимобразом. При большом объеме выборки ошибка среднего оценивается по соотношению Sn,причем параметр S определяют из таблицы.1) доверительная вероятность1 -  =  (самая грубая)2) 1 -  = 0,953) 1 -  = 0,997Sn2Sn3S,,(физ. ядра).n1 -  − доверительный вероятность того, что истинное значение xu, измеряемой величины лежит отсреднего−xне дальше записанных значений. Доверительной вероятностью называется вероятность−P = 1 -  выполнение неравенства: xu − x   , где  - заданная точность (заданное отклонение).−Иногда используют следующую запись: P( xu − x   ) = 1 −  .

Данное выражение показывает, что xuс вероятностью 1 -  может быть заключено внутри интервала−x.Доверительным интервалом называется интервал, накрывающий неизвестный параметр сзаданной доверительной вероятностью p = 1 - . Обычно принимают доверительную вероятность 1  = 0,95 или 0,99 (инженерные расчеты); 0,9973 или 0,999 (точные расчеты квантовой физики).Проверка гипотез с помощью t – критерия Стьюдента.Наиболее часто t – критерий служит для проверки гипотез (применяется при рассмотрении):1) Сравнение 2-х выборок относятся они или нет к одной и той же совокупности. КритерийСтьюдента определяется по формуле:−t=−xa − xbS сум11−n a nb10Sсум.

– это среднее квадратичное отклонение.−−xa , xb - среднее значения из выборки А и В соответственно.−x + x + ... + x anxa = a1 a2nana и nb – объемы выборок соответственно А и В.Sсум рассчитывается для обоих выборок совместно.naS сум =−nb−( x ai − x ) 2 +  ( xbi − x ) 2abi =1i =1n a + nb − 2f = na+nb-2 – число степеней свободы.i – число в выборке Аj – число в выборке ВОпределяется:−−xa , xb2) Sсум3) tрассч4) сравнивается tp с tтаблЕсли tp > tтабл, то две выборки не относятся к одной совокупности численные значения tpсравнивается с табличным. вероятность принимается для инженерных расчетов 5%  =  −  = Если tp > tтабл, то принимается нуль гипотеза, т.е. принадлежность средних 2-х выборокотвергается.1)11ЛЕКЦИЯ №6Пример: из одной поставки стали 18ХНВА изготовили образцы для выполнения временногосопротивления в.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий